2026年高考數學一輪復習講義：空間距離及立體幾何中的探索性問題（附答案）

§7.8空間距離及立體幾何中的探索性問題

【課標要求】1.會求空間中點到直線以及點到平面的距離2以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的

位置關系或空間角存在的條件.

j----------------------------------------落實主干知識--------------------------1

I.點到直線的距離

如圖，已知直線/的單位方向向量為〃，A是直線/上的定點，P是直線/外一點，設而飛，則向量而

在直線/上的投影向量而=3〃)〃，在RtZXAAQ中，由勾股定理，得PQ=J|而『-|湎『二

2.點到平面的距離

如圖，已知平面。的法向量為mA是平面。內的定點，尸是平面a外一點.過點尸作平面Q的垂線/,

交平面a于點。，則〃是直線/的方向向量，且點P到平面Q的距離就是而在直線/上的投影向最?

的長度，因此也二同湍卜|誓卜----------------?

B自主診斷

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“4”或“X”)

(1)平面。上不共線的三點到平面夕的距離相等，貝Ija〃4.()

(2)點到直線的距離也就是該點與直線上任一點連線的長度.()

(3)直線/平行于平面a,則直線/上各點到平面。的距離相等.()

(4)直線I上兩點到平面?的距離相等，則/平行于平面a.()

2.空間點A(-l,1,1),8(-1,2,3),C(l,2,4),則點A到直線8c的距離d等于()

A苧B.V5C?D.萼

3.已知棱長為2的正方體ABCQ-AIBIGDI中，E,M,N分別是4辦，A。，CG的中點，則直線AC與平面

EMN之間的距離為（）

A.lB.—

3

C.yD.V3

4.設正方體A8CD-A山CQ的校長為2,則點。到平面A山。的距離是.

---------------------------探究核心題型---------------------------

題型一空間距離

命題點1點線距離

例1如圖，尸為矩形ABC。所在平面外一點，241.平面A8co.若己知A8=3,AO=4,PA=1,貝ij點尸

到直線BD的距離為.

命題點2點面距離

例2在棱長為2的正方體A8cz中，E,尸分別為棱A4,3S的中點，G為棱4囪上的一

點，且A|G=2（0Q<2）,則點G到平面。泡尸的距離為（）

A.2V3B.V2C.—D.—

35

命題點3異面直線的距寓

例3己知和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，公垂線與兩條直線相交的

點所形成的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段.兩條異面直線的公垂線段的長度，叫做這兩條異面

直線的距離.在四棱錐/M8C。中，底面ABC。是邊長為3的正方形，PA_L底面ABC。，PA=6,，點、G

在側棱夕8上，且滿足2QG=G8,則異面直線QC和OG的距離為（）

A3VH?3715c3vH?3y/77

A.-------fc>.——C.L）.

思維升華（1）點到直線的距盅

①設過點P的直線/的單位方向向量為〃，A為直線/外一點，點A到直線I的距離d1兩2一（而.n）2.

②若能求出點在直線上的射影坐標，可以直接利用兩點間距離公式求距離.

（2）求點面距一般有以下三種方法

①作點到面的垂線，求點到垂足的距離.

②等體積法.

③向量法.

跟蹤訓練1（多選）如圖，在棱長為1的正方體ABCZXABiG。中，點E在BD上，且BE=：BD；點F

在C8］上，且。尸三。5.則下列結論正確的是（）

A.線段EF是異面直線8。與CBi的公垂線段

B.異面直線A4與BD的距離為:

C.點D.到直線EF的距離為手

?5

D.點Dt到平面DEF的距離為亭

題型二立體幾何中的探索性問題

例4如圖，在四棱錐尸-ABC。中，平面POC_L平面ABC。，ADLDC,AB//DC,AB=^CD=AD=\fM

為棱PC的中點.

（1）證明：8M〃平面PAO；

（2）若PC=V5,PD=1,

①求平面PD歷與平面夾角的余弦值；

②在線段PA上是否存在點Q,使得點Q到平面8OM的距離是手？若存在，求出PQ的值；若不存在,

請說明理由.

思維升華(1)對于存在判斷型問題的求解，應先假設存在，把要成立的結論當作條件，據此列方程或方程

組，把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解，是否有規定范圍內的解”.

(2)對于位置探究型問題，通常借助向量，引進參數，綜合已知卻結論列出等式，解出參數.

跟蹤訓練2如圖，直四棱柱A8CD-A由iGd的底面是菱形，120°,AB=2,且直線8。與平面

BCGBi所成的角為30。.

(1)求直四棱柱ABCD-ASG。的高；

(2)在棱A4上是否能找到一點M,使得平面CAM與平面BCG巴的夾角為30。？若能，求出等的值;

AAy

若不能，說明理由.

答案精析

落實主干知識

\.y/a2—(a?u)2

?麻〃I

mi

自主診斷

1.⑴X(2)X(3)<(4)X

2.D3.B4.—

3

探究核心題型

例1

解析如圖，分別以A8,AO,A尸所在直線為x軸、)，軸、z軸建立空間直角坐標系，

'B

貝I」P(o,0,1),

8(3,0,0),

0(0,4,0),

則喬=(-3,0,1),BD=(-3,4,0),

故點P到直線4。的距離

例2D［以。為坐標原點，D4所在直線為x軸，。C所在直線為)?軸，。口所在直線為n軸，建立如圖

所示的空間直角坐標系,則G(2,"2),Di(0,0,2),

E(2,0,1),F(2,2,1),

所以蘇=(-2,0,1),

EF=(0,2,0),EG=(0,2,1).

設平面AE尸的法向量為n=(.x,y,z),

則pi-百D；=-2x+z=0,

(n-FT=2y=0,

取x=l,得?=(1,0,2),

所以點G到平面OE少的距離為

仁需奈乎］

例3A|如圖，以點A為原點，而，而，Q的方向分別為/,)，，z軸正方向，建立空間直角坐標系，

則B(3,0,0),C(3,3,0),D(0,3,0),P(0,0,6),G(1,0,4).

所以說二(1,-3,4),

PC=(3,3,-6),DC=(3,0,0),

設n=(x,y,z)為直線PC和DG的公垂線的方向向量，

n?尻=%—3y+4z=0,-r小-

則有一,可取〃二(1,3n,2),

n-PC=3x4-3y-6z=0,

所以異面直線QC和DG的距離為

\DCn\_3_3\/14,

|n|714-14」

跟蹤訓練1ACD［以。為坐標原點，0A,/JC,所仕直線分別為x軸、y軸、z粘，建立如圖所示的

空間直角坐標系.則0(0,0,0),A(1,0,0),

,1,0),C(0,1,0),Aid,0,1),

B.(l,1,D,/)i(0,0,1),

喇麗鳴r0)-

存三函需，o,i),

所以E6，I，o),唱1,i).

對于A,FF=(-1./§，

DB=(1,1,0),

cK=(i,0,1),

所以麗?麗=44=0,

33

函麗智4=o,

即EFLDB,EFLCBi,所以線段E尸是異面直線BD與CBi的公垂線段，故A正確；

對于B,由正方體的性質可得異面直線A4與8。的公垂線的一個方向向量為冠=(-1,1,0),

又罰=(1,0,0),所以異面直線M與8。的距離為嚅里+=乎，故B錯誤；

\AC\V22

對于C,雇=(|,|,-1),

麗=(TrD1

所以庠在而方向上的投影向量的長度為/『叵需1=4,所以點力到直線4/的距離為

I七尸I3

J取|2_/二耳_』當，故C正確；

對于D,設平面DEf的法向量為n=(x,y,z),DF=Q,1,,

則卜?四=0,

\n-DF=0,

rx+y=0,

即

l-1x_+LyJ+-z=A0,

J?5

令x=\,得y=-\,z=2,

所以/i=(l,-1,2),又西二(0,0,1),

所以點。到平面DEF的距離上喀巴毛罟，故D正確」

|n|V63

例4⑴證明取PO的中點N,連接AN,MN,如圖所示.

小

為棱PC的中點，

：.MN//CD,MN=^CD,

,:AB〃CD,AB=^CD,

:?AB〃MN,AB二MN,

，四邊形A8MN是平行四邊形，

C.BM//AN,

又BMG平面PAD,

ANu平面PAD,???8M〃平面PAD

(2)解VPC=V5,PD=\,CD=2,

/.PC^PI^+CD2,：.PDLDC,

???平面PDC_L平面AI3CD,

平面POCn平面ABCD=DC,

POu平面PDC,

，PO_L平面A8CO,

又AD,COu平面ABCD,

：.PD±AD,PDLCD,而ADLDC,

???以點。為坐標原點，DA,OC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖.

則尸(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),8(1,1,0),

,?，M為棱PC的中點，???M(0,1,0.

①兩二(0,1,I),DB=(\,1,0),

設平面8QM的法向量為〃=(x,y,z),

?.n-DM=y4--z=0,

則_2

n?麗=x+y=0,

令=，則｛；I1，

,-1,2),

平面PQM的一個法向量為萬5=(1,0,0),

/.|cos〈〃,DA)I

_|n-D4|_1_>/6

一|n畫「VSxl-6'

則平面POM與平面BOM夾角的余弦值為手.

6

②假設在線段PA上存在點Q,使得點Q到平面8DM的距離是竽，

設西二必,0W/IW1,

又朋=(1,0,-1),

則ea

BQ=(k-\,-1,1-A),

由①知平面BDM的一個法向量為ra=(l,-1,2),PQ.rt=l-l+l+2(l-A)=2-A,

，點Q到平面AQM的距離是

\BQn\_2-A_2yf6.】_2

F=詞=丁*,*3*

:.PQ吟.

跟蹤訓練2解⑴設ACQBD=O,4C￡8|O尸。，

因為棱柱是直棱柱，且底面是菱形，故。4,08,OOi兩兩垂直，

如圖，以。4,08,001所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，因為在菱形A8CZ)中，Z

ABC=120°,

所以0A=V3,0B=\,

則B(0,1,0),C(-V3,0,0),

Ci(-V3,0,力，Di(0,-1,h),

所以方二(6,1,0),CC\=(0,0,/?),西二(0,-2,h).

設平面BCCyBy的法向量為〃尸(汨，y