高中數(shù)學(xué) 加練 專題3　第31練　主元變換

第31練主元變換(分值：30分)對(duì)于題目涉及的兩個(gè)變?cè)阎渲幸粋€(gè)變?cè)陬}設(shè)給定的范圍內(nèi)任意變動(dòng)，求另一個(gè)變?cè)娜≈捣秶鷨?wèn)題，這類問(wèn)題我們稱為“偽雙變量”問(wèn)題，這種“偽雙變量”問(wèn)題，往往會(huì)利用我們習(xí)慣將字母x作為自變量的誤區(qū)來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)，此時(shí)，我們可以變更主元，“反客為主”，將另一個(gè)變量作為自變量，從而使問(wèn)題得以解決，我們稱這種方法為變更主元法.1.(15分)已知a∈R，設(shè)函數(shù)f(x)=(ax2+2ax+1)ex-2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(7分)(2)若a<-17，求證：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)<0.(8(1)解f'(x)=(ax2+4ax+2a+1)ex，記Δ=16a2-4a(2a+1)=8a2-4a.當(dāng)a=0時(shí)，f'(x)=ex>0，f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，Δ>0，令f'(x)=0，得x1=-2x2=-2所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(x1，x2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，x1)和(x2，+∞)；當(dāng)a>0時(shí)，若Δ≤0，即0<a≤12，f'(x)≥0，f(x)在(-∞，+∞若Δ>0，即a>12，令f'(x)=0，得x3=-2a-所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，x3)，(x4，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(x3，x4).(2)證明當(dāng)x≥0時(shí)，令g(a)=(ax2+2ax+1)ex-2，則g'(a)=(x2+2x)ex≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，所以g(a)單調(diào)遞增，當(dāng)a<-17時(shí)，g(a)<g-17=-1令h(x)=-17x2-27x+1則h'(x)=-17(x2+4x-5)e=-17(x+5)(x-1)ex令h'(x)=0，則x=1或x=-5(舍去)，所以h(x)在[0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減，所以h(x)max=h(1)=4e-147<0即當(dāng)x≥0時(shí)，h(x)<0，得證.2.(15分)已知函數(shù)f(x)=emx-1-lnx(1)若m=1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(6分)(2)若f(x)的最小值為m，求m的最小值.(9分)解(1)當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=ex-1-lnxx，f'(x)=ex-1-1-lnxx2令u(x)=x2ex-1+lnx-1，易知u(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，且u(1)=0，所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，u(x)<0，此時(shí)f'(x)<0；當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，u(x)>0，此時(shí)f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+∞).(2)依題意可得，emx-1-lnxx≥m恒成立，構(gòu)造關(guān)于m的函數(shù)g(m)=emx-1-lnxx-g'(m)=xemx-1-1，令g'(m)>0，得m>1-lnx令g'(m)<0，得m<1-ln所以g(m)在1-lnxx，+∞上單調(diào)遞增，在-∞，1-lnxx上單調(diào)遞減，故g(m)min=而g1-lnxx=e1-lnxx·x即g(m)≥g1-lnxx依題意，不等式g(m)≥g1-lnxx=0中的等號(hào)可以取到，即方程m=1-ln令h(x)=1-lnxx(x>0)，則h'(x)