高中數學 加練 專題8　第83練　定比點差法_第1頁
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第83練定比點差法(分值：30分)定比點差法是一種在解析幾何中應用的方法，在解析幾何中，它主要用于處理非中點弦問題，通過設定線段上的定比分點，利用圓錐曲線上兩點坐標之間的聯系與差異，通過代點、擴乘、作差等步驟，解決相應的圓錐曲線問題.定比點差法的核心思想是“設而不求”，即設定未知數但不直接求解，而是通過代數運算消去未知數，得到所需的結果.這種方法在處理復雜問題時具有獨特的優勢，能夠簡化計算過程，提高解題效率.1.(15分)已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0(1)求橢圓C1的標準方程；(5分)(2)已知拋物線C2的焦點與橢圓C1的右焦點重合，過點P(0，-2)的動直線與拋物線C2相交于A，B兩個不同的點，在線段AB上取點Q，滿足|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|，證明：點Q總在定直線上.(10分)(1)解由題意可知c解得a故橢圓C1的標準方程為x22+y2(2)證明由已知可得拋物線C2的標準方程為y2=4x，設點Q，A，B的坐標分別為(x，y)，(x1，y1)，(x2，y2)，由題意知|PA||AQ|=PBBQ，不妨設設PA=λAQ(λ>0)，又點Q在P，B之間，故PB=-λBQ，∵|PB|>|BQ|，∴λ>1，由PA=λAQ可得(x1，y1+2)=λ(x-x1，y-y1)，解得x1=λx1+λ，y1=∵點A在拋物線C2上，∴-2+λy1+λ2即(λy-2)2=4λ(λ+1)x， ①由PB=-λBQ可得(x2，y2+2)=-λ(x-x2，y-y2)，解得x2=λxλ-1，y2=∵點B在拋物線C2上，∴λy+2λ-12即(λy+2)2=4λ(λ-1)x， ②由②-①可得8λy=4λ(-2x)，又λ>1，∴x+y=0，∴點Q總在定直線x+y=0上.2.(15分)已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為23，半焦距為c(c>0)，且a-c=1.經過橢圓的左焦點F，斜率為k1(k1≠0)的直線與橢圓交于(1)求橢圓Γ的標準方程；(3分)(2)當k1=1時，求S△AOB的值；(5分)(3)設R(1，0)，延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為k2，求證：k1k2為定值.((1)解由題意，得ca=∴b2=a2-c2=5，故橢圓Γ的標準方程為x29+y(2)解由(1)知F(-2，0)，∴直線AB的方程為y=x+2，聯立y=x+2，x29+設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=-187，x1x2=-9∴|AB|=2|x1-x2|=2·(x1+設點O到直線AB的距離為d，則d=|0-0+2|2∴S△AOB=12|AB|·d=12×307×2(3)證明由題意知直線AB的方程為y=k1(x+2)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由AR=λRC(λ>0且λ≠1)和定比分點坐標公式得x由于A，C滿足橢圓方程，故得x兩式作差得(x1=1，

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