高中數學 加練 專題7　第64練　向量法求空間角

第64練向量法求空間角(分值：30分)1.(13分)如圖，四邊形ACFE為矩形，AE=1，平面ACFE⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=1，CD=2，AD=1，平面ADF與棱BE交于點G.(1)求證：AG∥DF；(5分)(2)求直線CF與平面ADF所成角的正弦值.(8分)(1)證明因為CD∥AB，CD?平面CDF，AB?平面CDF，所以AB∥平面CDF，又CF∥AE，CF?平面CDF，AE?平面CDF，所以AE∥平面CDF，又AB∩AE=A，且AB，AE?平面ABE，所以平面ABE∥平面CDF，又因為平面ADF∩平面CDF=DF，平面ADF∩平面ABE=AG，所以AG∥DF.(2)解因為平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，AE⊥AC，AE?平面ACFE，所以AE⊥平面ABCD，又AB，AD?平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AD，又AB⊥AD，故以A為原點，AB，AD，AE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖，則A(0，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，F(2，1，1)，所以CF=(0，0，1)，AD=(0，1，0)，DF=(2，0，1)，設平面ADF的法向量為n=(x，y，z)，則AD·n令x=1，則y=0，z=-2，所以n=(1，0，-2)，則|cos〈CF，n〉|=|CF·n||所以直線CF與平面ADF所成角的正弦值為252.(17分)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側面A1ACC1為菱形，∠A1AC=60°，底面ABC為等邊三角形，平面A1ACC1⊥平面ABC，點D，E分別是A1B1，A1C1的中點.(1)證明：平面DEC⊥平面ABC；(7分)(2)若AB=2，點F在直線CC1上，且平面DEF與平面ABC夾角的余弦值為1717，求線段CF的長.(10分(1)證明如圖，取AC的中點O，連接A1O，因為側面A1ACC1為菱形，∠A1AC=60°，所以A1O⊥AC.又因為平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，A1O?平面A1ACC1，所以A1O⊥平面ABC.又因為E是A1C1的中點，且A1O⊥AC，所以四邊形A1OCE為矩形，所以A1O∥CE，所以CE⊥平面ABC.又CE?平面DEC，所以平面DEC⊥平面ABC.(2)解連接OB，因為△ABC為等邊三角形，則OB⊥OC，所以OB，OC，OA1兩兩垂直.則以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為AB=2，所以OB=OA1=3，故O(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，E(0，1，3)，C1(0，2，3)，OC=(0，1，0)，CC1=(0，1，3設CF=λCC1，λ∈R則OF=OC+λCC1=(0，1，0)+(0，λ，3λ)=(0，1+λ，3λ)，即F(0，1+λ，3λ所以EF=(0，λ，3λ-3)，又DE=12B1C1設平面DEF的法向量為m=(x，y，z)，則m·DE取z=λ，則y=3-3λ，x=1-λ，故平面DEF的一個法向量為m=(1-λ，3-3λ，λ).又由(1)可知平面ABC的一個法向量為n=(0，0，1)，則|c