第3章《圓的基本性質》單元檢測2026-2027學年上學期浙教版九年級數學上冊

第3章《圓的基本性質》單元檢測2026-2027學年上學期浙教版九年級數學上冊全卷共三大題，24小題，滿分為120分．第一部分選擇題一、選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分．在每小題只有一項是符合題目要求的．1．已知的半徑為5，，則點A在（

）A．內 B．上 C．外 D．無法確定2．如圖，在⊙O中，∠ABC=50°，則∠AOC等于（

）

A．50° B．80° C．90° D．100°如圖，在中，半徑交弦于點，點為中點，若，，則的長為（

）A．8 B．5 C．4 D．3如圖，一塊含角的直角三角板內接于，其中，，若是上的一點（不與點重合），則的度數是（

）A． B．或C．或 D．隨著點的變化一直在變如圖，在中，，，．將繞點A旋轉，使點C的對應點落在上，點B的對應點為，則的長度是（

）A． B．1 C． D．6．已知是的外接圓，且，要求僅用直尺作出圓周角的平分線．嘉嘉說：“對于圖1的情況，連接，即為的平分線．”淇淇說：“對于圖2的情況，的延長線與交于點Q，連接，即為的平分線．”對于嘉嘉和淇淇的說法，判斷正確的是（

）A．只有嘉嘉說的對 B．只有淇淇說的對C．嘉嘉和淇淇說的都對 D．嘉嘉和淇淇說的都不對如圖，將邊長均為的正方形和正六邊形拼在一起，以公共頂點為圓心，邊長為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．8.如圖，將半徑為的沿折疊，使得折痕垂直半徑，當恰好經過的三等分點（靠近端點）時，折痕長為（

）A． B． C． D．9．如圖，的半徑為2，圓心M的坐標為，點P是上的任意一點，，且與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點O對稱，則的最小值（

）A．4 B．5 C．6 D．710.如圖①，A，B是上的兩定點，圓上一動點P從點A出發，按逆時針方向勻速運動到點B，運動時間是，線段AP的長度是，圖②是y隨x變化的關系圖象．①的半徑為；②A，B兩點間的距離為；③點P的運動速度為；④的度數為．以上說法正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④第二部分非選擇題二、填空題：本大題共6個小題．每小題3分，共18分．把答案填在答題卡的橫線上．11．如圖，繞點O逆時針旋轉得到，若，則_____．12．如圖，內接于，是直徑，若，則_____．13.如圖，的半徑為8，直角三角板角的頂點落在，兩邊與分別交于，兩點，則弦的長為．如圖，正六邊形的邊長為6，點B，F在上，若圖中陰影部分恰好是一個圓錐的側面展開圖，則這個圓錐的底面圓的半徑為________．15.一次綜合實踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，測量一次性紙杯杯口的直徑．小明同學所在的學習小組設計了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯口，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A、B、C、D四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為，，．請你根據上述數據計算紙杯的直徑是．如圖，是的直徑，點，點是半圓上兩點，連結相交于點，連結．已知于點，；下列結論：①；②若點為的中點，則；③若，則；④；其中正確的是．三、解答題：本大題有8個小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．如圖，為⊙的直徑，是弦，且于點E，連接、、，若，，求弦的長．18.如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在圓O上且∠1＝∠C．（1）求證：CB∥PD；（2）若BC＝3，BE＝2，求CD的長．如圖，A是上一點，是直徑，點D在上且平分．

連接，求的度數；(2)若，求的長．如圖，為的直徑，點C和點D為上位于直徑同側的兩點，且，連接．求證：；連接，若，求的度數．21．如圖，是半圓的直徑，、是半圓上的兩點，且，與交于點．(1)求證：為的中點．(2)若＝，＝，求的長．22.如圖1，是的直徑，點D為下方上一點，點C為弧的中點，連結，，．(1)求證：平分．(2)如圖2，延長，相交于點E．①求證：．②若，，求的半徑．問題情境：筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，既經濟又環保．明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉一周用時120秒．問題設置：把筒車抽象為一個半徑為r的，如圖②，始終垂直于水平面，設筒車半徑為2米，當時，某盛水筒恰好位于水面A處，，經過95秒后該盛水筒運動到點B處．問題解決：求該盛水筒從A處逆時針旋轉到B處時，的度數；求筒車水面的寬度；求該盛水筒旋轉至B處時，它到水面的距離．（結果精確到米）（參考數據，）24．如圖1，是的外角的角平分線，與的外接圓交于點．(1)若，①求所對圓心角的度數；②連結，，求證：是等邊三角形．(2)如圖2，若，，求的面積．第3章《圓的基本性質》單元檢測2026-2027學年上學期浙教版九年級數學上冊（解析版）全卷共三大題，24小題，滿分為120分．第一部分選擇題一、選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分．在每小題只有一項是符合題目要求的．1．已知的半徑為5，，則點A在（

）A．內 B．上 C．外 D．無法確定【答案】A【分析】此題考查了點與圓的位置關系，點在圓上，則；點在圓外，；點在圓內，即點到圓心的距離，即圓的半徑），據此求解即可．【詳解】解：，點A在內．故選：A．2．如圖，在⊙O中，∠ABC=50°，則∠AOC等于（

）

A．50° B．80° C．90° D．100°【答案】D【詳解】試題分析：因為同弧所對圓心角是圓周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°．故選D．如圖，在中，半徑交弦于點，點為中點，若，，則的長為（

）A．8 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理．根據垂徑定理，可得，再根據勾股定理，即可求解．【詳解】解：∵點為中點，∴，∴，在中，，故選：D．如圖，一塊含角的直角三角板內接于，其中，，若是上的一點（不與點重合），則的度數是（

）A． B．或C．或 D．隨著點的變化一直在變【答案】C【分析】本題主要考查了圓周角定理、圓內接四邊形的性質，熟練掌握圓周角定理及分類討論點的位置是解題的關鍵．先利用“直角三角形的斜邊為外接圓直徑”確定是的直徑，再結合已知條件求出的度數．接著分點在上方和下方兩種情況，根據“同弧所對的圓周角相等”及“圓內接四邊形對角互補”分別計算的度數．【詳解】解：∵在中，，，∴，當點在下方時，∵弧所對的圓周角與相等，∴當點在上方時，∵四邊形為圓內接四邊形∴∴綜上，的度數為或故選：．如圖，在中，，，．將繞點A旋轉，使點C的對應點落在上，點B的對應點為，則的長度是（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】本題考查旋轉性質、勾股定理、等腰三角形的性質、銳角三角函數，理解銳角三角函數定義是解答的關鍵．過A作于D，先利用勾股定理求得，則，在中，利用銳角三角函數求得，由旋轉性質得，進而利用等腰三角形的三線合一性質可求解．【詳解】解：過A作于D，則，∵在中，，，．∴，則，在中，，由旋轉性質得，∴．故選：D．6．已知是的外接圓，且，要求僅用直尺作出圓周角的平分線．嘉嘉說：“對于圖1的情況，連接，即為的平分線．”淇淇說：“對于圖2的情況，的延長線與交于點Q，連接，即為的平分線．”對于嘉嘉和淇淇的說法，判斷正確的是（

）A．只有嘉嘉說的對 B．只有淇淇說的對C．嘉嘉和淇淇說的都對 D．嘉嘉和淇淇說的都不對【答案】C【分析】如圖1，首先根據易得，再根據“同弧或等弧所對的圓周角相等”可得，即為的平分線，故嘉嘉說的對；在圖2中，連接，首先證明，由全等三角形的性質可得，進而證明，由垂徑定理可得，易知，即為的平分線，故淇淇說的也對．【詳解】解：如圖1，∵是ABC的外接圓，且，∴，∴，即為的平分線，故嘉嘉說的對；在圖2中，連接，如下圖，∵，∴，∴，又∵，∴，∵為半徑，∴，∴，即為的平分線，故淇淇說的也對．綜上所述，嘉嘉和淇淇說的都對．如圖，將邊長均為的正方形和正六邊形拼在一起，以公共頂點為圓心，邊長為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】正方形邊長，正六邊形的邊長，圓的半徑三者相等，，，則，再根據扇形面積的計算即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，，∴，∴．8.如圖，將半徑為的沿折疊，使得折痕垂直半徑，當恰好經過的三等分點（靠近端點）時，折痕長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查圓的基礎知識，垂徑定理，勾股定理，折疊的性質．根據點經過的三等分可求出、的長，延長交于點，連接，根據折疊的性質可求出的長，根據垂徑定理，勾股定理即可求解．【詳解】解：延長交于點，連接，，為的中點，，，，，，，，在中，，，，故選：A．9．如圖，的半徑為2，圓心M的坐標為，點P是上的任意一點，，且與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點O對稱，則的最小值（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本題主要考查點與圓的位置關系．由中知要使取得最小值，則需取得最小值，連接，當點在線段上時，取得最小值，據此求解可得．【詳解】解：連接，，，，，若要使取得最小值，則需取得最小值，連接，當點在線段上時，取得最小值，過點作軸于點，圓心的坐標為，則，，，又的半徑為2，的最小值為，，故選：C10.如圖①，A，B是上的兩定點，圓上一動點P從點A出發，按逆時針方向勻速運動到點B，運動時間是，線段AP的長度是，圖②是y隨x變化的關系圖象．①的半徑為；②A，B兩點間的距離為；③點P的運動速度為；④的度數為．以上說法正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】本題考查的是動點圖象問題，由題圖②得，拋物線頂點坐標，即時，最長，即此時是直徑，據此可判定①、②、③，最后根據可對④進行判斷．【詳解】解：由題圖②得，當時，，即此時A、O、P三點共線，則的半徑，故①正確，不符合題意；當時，點P到達點B處，此時，∴A、B兩點間的距離為，故②正確，不符合題意；點P從點A運動到A、O、P三點共線的位置時，走過的角度為，則走過的弧長為，運動時間為，∴點P的運動速度是，故③正確，不符合題意；當點P運動到點B時，，即，∴是等邊三角形，∴，故④錯誤，符合題意．綜上，正確的說法是①②③．故選：A．第二部分非選擇題二、填空題：本大題共6個小題．每小題3分，共18分．把答案填在答題卡的橫線上．11．如圖，繞點O逆時針旋轉得到，若，則_____．【答案】25【分析】本題主要考查了旋轉的性質，根據旋轉的性質得，再根據得出答案．【詳解】解：將繞點O逆時針旋轉得到，且，∴，∴．故答案為：25．12．如圖，內接于，是直徑，若，則_____．【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的兩個銳角互余，連接，根據直徑所對的圓周角是直角得出，根據同弧所對的圓周角相等得出，進而根據直角三角形的兩個銳角互余，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵內接于，是直徑，∴，∵,，∴∴，故答案為：．13.如圖，的半徑為8，直角三角板角的頂點落在，兩邊與分別交于，兩點，則弦的長為．【答案】8【分析】本題主要考查了圓周角定理，連接，，根據圓周角定理得出，繼而得出是等邊三角形，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，，∵，，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，故答案為：8．如圖，正六邊形的邊長為6，點B，F在上，若圖中陰影部分恰好是一個圓錐的側面展開圖，則這個圓錐的底面圓的半徑為________．【答案】【分析】本題考查了求圓錐底面半徑，正多邊形和圓的綜合，求弧長等知識點，解題關鍵是熟練掌握以上知識點．根據正六邊形的外角和，即可求得內角的度數，進而根據邊長等于圓的半徑，根據弧長公式求得弧的長，再根據底面圓的周長求得底面圓的半徑．【詳解】解：∵正六邊形的邊長為6，∴，，∴弧的長為：，∵圖中陰影部分恰是一個圓錐的側面展開圖，∴弧的長即為圓錐底面的周長，設圓錐底面圓的半徑為，則，解得：，故答案為：2．15.一次綜合實踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，測量一次性紙杯杯口的直徑．小明同學所在的學習小組設計了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯口，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A、B、C、D四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為，，．請你根據上述數據計算紙杯的直徑是．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質，垂徑定理，勾股定理等知識．熟練掌握矩形的性質，垂徑定理，勾股定理是解題的關鍵．如圖，記圓心為，連接，作于，作于，則，，由矩形的性質可知，，則三點共線，設，則，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，則，進而可求紙杯的直徑．【詳解】解：如圖，記圓心為，連接，作于，作于，∴，，由矩形的性質可知，，∴三點共線，設，則，由勾股定理得，，即；，即；∵，∴，解得，，∴或（舍去），∴紙杯的直徑是，故答案為：．如圖，是的直徑，點，點是半圓上兩點，連結相交于點，連結．已知于點，；下列結論：①；②若點為的中點，則；③若，則；④；其中正確的是．【答案】①②③【分析】由垂徑定理，圓周角定理的推論得出，由是的直徑，進而根據等角的余角相等進而判斷①；點為的中點，得出，進而證明全等三角形的判定和性質，得出，進而根據三角形中位線定理得出，等量代換得出即可判斷②，連接，根據垂徑定理得出，根據得出，則，得出為等邊三角形，由，即可得出繼而判斷③；勾股定理得出，當時，，即可判斷④．【詳解】解：①∵，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴故①正確，符合題意；②∵點為的中點，∴，∵為直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故②正確，符合題意；③連接，∵∴∵，∴∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∵，∴，故③正確，符合題意；④∵，∴，當時，，故④錯誤，不符合題意；故答案為：①②③．三、解答題：本大題有8個小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．如圖，為⊙的直徑，是弦，且于點E，連接、、，若，，求弦的長．【答案】【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握垂徑定理．根據勾股定理及垂徑定理求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵AB⊥CD，∴，∴．18.如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在圓O上且∠1＝∠C．（1）求證：CB∥PD；（2）若BC＝3，BE＝2，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）要證明CB∥PD，只要證明∠1＝∠P；根據圓周角定理可得∠P＝∠C，可得∠1＝∠P，即可解決問題；（2）首先運用勾股定理求出CE的長度，然后運用垂徑定理證明CE＝DE，即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖，∵∠1＝∠C，∠P＝∠C，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD．（2）解：∵CE⊥BE，∴CE2＝CB2﹣BE2，∵CB＝3，BE＝2，∴CE＝，∵AB⊥CD，AB為直徑，∴DE＝CE，CD＝2CE＝2．如圖，A是上一點，是直徑，點D在上且平分．

連接，求的度數；(2)若，求的長．【答案】(1)(2)6【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，掌握“直徑所對的圓周角是直角”是解題的關鍵．（1）根據是直徑，求出，再根據點D在上且平分，求出的度數；（2）由題意得，利用勾股定理求出的長，即可求得的長．【詳解】（1）解：∵是直徑，∴，∵點在上且平分，，；（2）解：點D在上且平分，，，，，．如圖，為的直徑，點C和點D為上位于直徑同側的兩點，且，連接．求證：；連接，若，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質，圓心角、弧、弦的關系，根據題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．（1）根據直徑所對的圓周角是直角可得：，再根據已知易得：，然后證明，即可解答；（2）利用（1）的結論可得：，再根據垂徑定理可得：，從而可得，然后利用等弧所對的圓周角相等即可解答．【詳解】（1）證明：∵為的直徑，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：如圖：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．21．如圖，是半圓的直徑，、是半圓上的兩點，且，與交于點．(1)求證：為的中點．(2)若＝，＝，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、三角形中位線定理以及等腰三角形的性質．熟練掌握圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的性質以及三角形中位線的性質是解此題的關鍵．（1）根據已知可得，根據垂徑定理，即可求解；（2）根據勾股定理求得，進而根據（1）的結論可得是的中位線，求得，進而求得，即可求解．【詳解】（1）證明：是半圓的直徑，＝，，，，是半圓的半徑，為的中點；（2）解：由（1）可知，＝，是半圓的直徑，＝＝＝＝，由（）可知，為的中點，是的中位線，＝＝，＝﹣＝﹣＝，即的長為．22.如圖1，是的直徑，點D為下方上一點，點C為弧的中點，連結，，．(1)求證：平分．(2)如圖2，延長，相交于點E．①求證：．②若，，求的半徑．【答案】(1)證明見解析(2)5【分析】(1)由點C為的中點，得，所以，由垂徑定理得，即可根據等腰三角形的三線合一證明結論；(2)由直徑所對的圓周角為直角得，則，再根據垂徑定理得：，得結論；②連接，則，由，，由平行線的性質再證，得，由，得，，求出，設的半徑為r，由勾股定理求出符合題意的r值即可．【詳解】（1）證明∵點C為弧的中點，∴，∴，，∴平分；（2）①證明：∵是的直徑，∴，∴，∵，∴②如圖2，連接，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設的半徑為r，則，∵，∴，∵，∴，整理得，解得，（不符合題意，舍去），∴的半徑為5．問題情境：筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，既經濟又環保．明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻