第1章 特殊平行四邊形 單元測試卷（含詳解）2026-2027學年北師大版數學九年級上冊

\o"第一章特殊平行四邊形"第1章特殊平行四邊形一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）下列各命題的逆命題成立的是（）A．同旁內角互補，兩直線平行 B．如果兩個角是直角，那么它們相等 C．全等三角形的對應角相等 D．對頂角相等2．（5分）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且AC＝BD，則下列條件能判定四邊形ABCD為矩形的是（）A．AB＝CD B．OA＝OC，OB＝OD C．AC⊥BD D．AB∥CD，AB＝BC3．（5分）如圖，DE∥AC，DF∥AB，則下列說法不正確的是（）A．四邊形AEDF是平行四邊形 B．如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB≠AC，那么四邊形AEDF是菱形4．（5分）如圖所示，已知正方形ABCD，點E為線段BC上異于端點的一動點，DH⊥AE于點F，交AB于點H，AE、BD交于點P，FG平分∠DFE交DB于點G．下列結論正確的有（）①若∠BAE＝∠HDB，則S△BHD=1②若CE＝3BE，則DG=52③若S△ABF＝S△BDF，則BE＝2CE；④若AB＝10，DP＝2BP，則FG=10A．①③ B．①④ C．②③ D．②④5．（5分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，若菱形ABCD的面積是12，則△AOB的面積為（）A．3 B．6 C．24 D．486．（5分）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E在對角線BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足為F，則EF的長為（）A．2?1 B．2?2 C．22?27．（5分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BAD＝60°，E，F是對角線AC上的動點且EF=13AC，連接DE，BF，則DE+A．43 B．33 C．88．（5分）下列判斷錯誤的是（）A．四個角都相等的四邊形是矩形 B．四條邊都相等的四邊形是正方形 C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．正方形有矩形和菱形的一切性質二．填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）1．（4分）已知菱形的周長為30cm，兩個相鄰內角的度數之比為1：2，則較短對角線的長為．2．（4分）如圖所示，直線a經過正方形ABCD的頂點A，分別過正方形的頂點B、D作BF⊥a于點F，DE⊥a于點E，若DE＝5，BF＝8，則EF的長為．3．（4分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝5，則四邊形OCED的周長為．4．（4分）在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，E，F是對角線BD上的動點，且BE＝DF，M，N分別是邊AD，邊BC上的動點，下列說法正確的是．①存在無數個平行四邊形MENF；②當BE=25?2，且四邊形MENF是矩形，③當四邊形MENF是菱形時，AM的長度為3；④不存在正方形MENF．5．（4分）擺一擺，找規律．（1）擺第7個圖形需要根小棒．（2）有19根小棒的是第個圖形．6．（4分）將n個邊長都為2的正方形按如圖所示的方法擺放，點A1，A2，…，An分別是正方形的中心，則2027個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為．三．解答題（共8小題，滿分86分）1．（10分）如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC交DC的延長線于點E．（1）求證：BD＝BE；（2）若∠DBC＝30°，BO＝1，求四邊形ABED的面積．2．（10分）如圖，在?ABCD中，E、F為邊BC上兩點，且BE＝CF，AF＝DE．（1）求證：△ABF≌△DCE；（2）四邊形ABCD是矩形嗎？為什么？3．（10分）如圖，已知菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求：∠CEF．4．（10分）已知：矩形ABCD中，點E在BC邊上，AD＝DE，AF⊥DE于點F．（1）如圖1，求證：AF＝DC；（2）如圖2，連接CF，若CD＝CF，CE＝2，求線段BE的長．5．（10分）如圖，在正方形ABCD的內部作等邊△ABE，連接DE、CE，對角線BD交AE于點F．（1）求∠DAE的度數；（2）求證：△CDE是等腰三角形．6．（12分）如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，一動點P從A點出發沿射線AE方向移動，連接BP，問：（1）如圖（1），將BP繞點B順時針旋轉90°，點P到達點F，連接CF，當△BCF的面積是矩形ABCD面積的一半時，求PA的長；（2）如圖（2），將△ABP沿BP翻折，點A到達點G，連接CG，當BG＝CG時，求PA的長．7．（12分）如圖，從①BE平分∠ABC、②CE平分∠ACD、③∠A＝2∠E中選出兩個作為已知條件，另一個作為結論可以組成3個命題．（1）這3個命題中，真命題的個數為；（2）選擇一個真命題并證明．如圖，已知，求證：．證明：8．（12分）如圖1，在等邊三角形ABC內有一點P．（1）若PA＝2，PB=3，PC＝1，求∠BPC（2）若等邊三角形邊長為4，求PA+PB+PC的最小值；（3）如圖2，在正方形ABCD內有一點P，且PA=5，PB=2，PC＝1，求正方形答案一、選擇題1．【解答】解：A、同旁內角互補，兩直線平行，逆命題是兩直線平行，同旁內角互補，成立，符合題意；B、如果兩個角是直角，那么它們相等，逆命題是如果兩個角相等，那么這兩個角是直角，不成立，不符合題意；C、全等三角形的對應角相等，逆命題是對應角相等的三角形全等，不成立，不符合題意；D、對頂角相等，逆命題是相等的角是對頂角，不成立，不符合題意；故選：A．2．【解答】解：A、由AB＝CD，AC＝BD無法判斷四邊形ABCD是矩形，故此選項錯誤，不符合題意；B、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形，故此選項正確，符合題意；C、由AC⊥BD，AC＝BD無法判斷四邊形ABCD是矩形，故此選項錯誤，不符合題意；D、由AB∥CD，AB＝BC，AC＝BD，無法判斷四邊形ABCD是矩形，故此選項錯誤，不符合題意．故選：B．3．【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形AEDF是平行四邊形；又有∠BAC＝90°，根據有一角是直角的平行四邊形是矩形，可得四邊形AEDF是矩形．故A、B正確；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝FD，那么根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得四邊形AEDF是菱形，故C正確；如果AD⊥BC且AB≠AC，無法判斷四邊形AEDF是菱形．故D錯誤．故選：D．4．【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝AD，∠DAH＝∠ABE＝90°，∠ABD＝45°，∵DH⊥AE，∴∠DAE+∠ADH＝∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ADH，∵∠BAE＝∠HDB，∴∠ADH＝∠HDB，過點H作HK⊥BD于K，如圖1，則HA＝HK，∠BKH＝90°，DK＝AD，∴BK＝HK，BH=2HK=2設AH＝HK＝BK＝x，則BH=2x∴AD＝AB＝DK＝（2+1）x∴DH2＝AH2+AD2＝x2+（2+1）2x2＝（4+22）x2∵S△BHD=12BH?AD=12×2x（2∴S△BHD=14DH2，故②∵CE＝3BE，設BE＝a，則CE＝3a，∴正方形ABCD的邊長為4a，BD=2AB＝42a在△ADH和△BAE中，∠DAH=∠ABEAD=AB∴△ADH≌△BAE（ASA），∴AH＝BE＝a，DH＝AE，∴DH=AH∵∠DFA＝∠DAH，∠ADF＝∠HDA，∴△ADF∽△HDA，∴DFAD=AF∴DF=161717a，AF∵AD∥BC，∴△ADP∽△EBP，∴DPBP∴DP=45BD=1625a，AP∵FG平分∠DFE，∴∠DFG=12∠∴∠DFG＝∠DBH，∵∠FDG＝∠BDH，∴△DFG∽△DBH，∴DGDH=DF∴DG＝22a，∴PG＝DP﹣DG=1625a﹣22a∴DGPG∴DG=53PG，故③如圖2，延長BF交AD于K，分別過點A，D作BF的垂線，垂足分別為M，N，∵S△ABF＝S△BDF，∴AM＝DN，在△AKM和△DKN中，∠AKM=∠DKN∠AMK=∠DNK∴△AKM≌△DKN（AAS），∴AK＝DK=12AD，設AK＝DK＝b，則正方形ABCD的邊長為2∴BK=AK∵∠AFD＝90°，∴FK=12AD＝∴BF＝BK﹣FK＝（5?1）b∵AK＝FK，∴∠DAF＝∠AFK，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFK＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF＝（5?1）b∴CE＝BC﹣BE＝2b﹣（5?1）b＝（3?5）∴BECE∴BE=5+12CE④∵AB＝10，DP＝2BP，∴BD＝102，DP=20∵AD∥BC，∴△ADP∽△EBP，∴BEAD∴BE=12∴AH＝BE＝BH＝5，DH＝AE＝55，∵△ADF∽△HDA，∴DFAD=AF∴DF＝45，AF＝25，由②知△DFG∽△DBH，∴FGBH=DF∴FG=10，故④故選：B．5．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴S△ABC＝S△ACD=12S菱形＝6，AO＝∴S△ABO＝S△CBO=12S△故選：A．6．【解答】解：設EF＝x，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∴BD=2AB＝22，EF＝BF＝x∴BE=2x∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝ED，∴BD＝BE+ED=2x+2＝22解得：x＝2?2即EF＝2?2故選：B．7．【解答】解：過點E作EG∥BF，使EG＝BF，連接BG，DB，DG，∵AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∴DB＝6，DE＝DB＝3，∴AC＝63，∴EF=13AC＝2∵EG∥BF，EG＝BF，∴四邊形EGBF是平行四邊形，∴EF＝BG＝23，∵EG＝BF，∴DE+BF＝DE+EG，∵DE+EG≥DG，∴DE+EG＝DG時，有最小值，∴DG=BD2故選：A．8．【解答】解：A、四個角都相等的四邊形是矩形，故A選項正確，不符合題意；B、四條邊都相等的四邊形是菱形，故B選項錯誤，符合題意；C、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C選項正確，不符合題意；D、矩形和菱形的性質一定符合正方形的性質，故D選項正確，不符合題意，故選：B．二、填空題1．【解答】解：相鄰兩個內角的度數之比是1：2，∴兩個相鄰角度分別為60°、120°，∵較長的對角線所對的角為120°，∴較短的對角線所對的角為60°，較短的對角線與菱形的一組鄰邊構成的是等邊三角形，那么較短的對角線長為30÷4＝7.5（cm）．故答案為：7.5cm．2．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AB＝AD，∵BF⊥a于點F，DE⊥a于點E，∴∠DEA＝∠BFA＝∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝90°，∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠DAE＝∠ABF，且AB＝AD，∠DEA＝∠BFA，∴△ABF≌△DAE（SAS）∴DE＝AF＝5，BF＝AE＝8，∴EF＝AF+AE＝13，故答案為：13．3．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形，又∵ABCD是矩形，∴OC=OD=∴四邊形OCED是菱形，∴四邊形OCED的周長為2.5×4＝10．故答案為：10．4．【解答】解：如圖1所示，連接MN與EF交于點O，連接ME、EN、NF、MF，∵四邊形ABCD為矩形，∴OB＝OD，又∵BE＝DF，∴EO＝FO，只需使OM＝ON，即可使四邊形MENF為平行四邊形，又∵E，F是對角線BD上的動點，故存在無數個平行四邊形MENF，故①正確；∵AD＝2AB＝8，∴AB＝4，BD＝AC=4當BE=25∴EO＝OF＝BO﹣BE=1又∵四邊形MENF是矩形，則OM＝ON＝2=12AB，MN＝4＝AB，此時易知MN故∠AMO＝90°，此時AM=A故②正確；當四邊形MENF是菱形時，如圖3所示，由菱形性質可得∠MOD＝90°，∴tan∠MDO＝tan∠BDA，即MODO∴MO=1在Rt△MDO中，由勾股定理可得DM=M故AM＝AD﹣DM＝8﹣5＝3，故③正確；只需使MN＝EF，MN⊥EF，ON＝OM，則四邊形MENF為正方形，而符合要求的正方形只有一個，故④錯誤．綜上，正確的序號有：①②③．故答案為：①②③．5．【解答】解：由題意可得：第n個圖形需要小棒的數量為：3+2x（n﹣1）＝3+2n﹣2＝2n+3﹣2＝（2n+1）根；（1）當n＝7時，2n+1＝2x7+1＝14+1＝15，故答案為：15；（2）2n+1＝19，解得：n＝9，故答案為：9．6．【解答】解：作A1E⊥A2G于點E，A1F⊥A2H于F．則∠FA1E＝∠HA1G＝90°，∴∠FA1H＝∠GA1E，在△A1HF和△A1GE中，∠FA∴△A1HF≌△A1GE（ASA），∴四邊形A2HA1G的面積＝四邊形A1EA2F的面積=1同理，各個重合部分的面積都是1，則n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為1×（n﹣1）＝n﹣1，∴2027個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為：2027﹣1＝2026．故選：2026．三、解答題1．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD．AB∥CD．∵BE∥AC，∴四邊形ABEC是平行四邊形．∴AC＝BE，∴BD＝BE．（2）解：在矩形ABCD中，BO＝1，∴2×1＝2，∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝90°﹣30°＝60°，∴△OCD是等邊三角形．∴CD＝OD＝1．∴AB＝CD＝1．DE＝CD+CE＝CD+AB＝1+1＝2．在Rt△BCD中，BC=B∴四邊形ABED的面積=12．【解答】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∵BE＝CF，∴BF＝CE，在△ABF和△DCE中，AB=CDAF=DE∴△ABF≌△DCE（SSS）；（2）四邊形ABCD是矩形；證明：∵△ABF≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵在平行四邊形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°，∴四邊形ABCD是矩形；3．【解答】解：如圖，連接AC，在菱形ABCD中，AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∵∠BAE+∠CAE＝∠BAC＝60°，∠CAF+∠EAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵∠B＝∠ACF＝60°，在△ABE和△ACF中，∠B=∠ACFAB=AC∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AEF＝60°，由三角形的外角性質，∠AEF+∠CEF＝∠B+∠BAE，∴60°+∠CEF＝60°+20°，解得∠CEF＝20°．4．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠C＝90°，∴∠ADF＝∠DEC，∵AF⊥DE于點F∴∠AFD＝90°，又∵AD＝DE，∴△ADF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC．（2）解：作CH⊥DE于點H，連接AE，設BE＝x，∵△ADF≌△DEC，CE＝2，∴EC＝FD＝2，∵CD＝CF，∴DH=FH=1∵AD＝DE，EC＝FD＝2，BE＝x，∴BE＝EF＝x，∵∠DEC＝∠DEC，∠CHE＝∠BCD＝90°，∴△EHC∽△ECD，∴ECED=EHEC，即EC2＝∵EC＝FD＝2，DH=FH=12CE=1，BE＝EF∴代入上式可得：4＝（x+1）（x+2），即x2+3x﹣2＝0，解得：x1=17∴BE=175．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∵△ABE是等邊三角形，∴∠EAB＝60°，∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°；（2）證明：同（1）可得∠ABC＝90°，∠ABE＝60°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，∴∠DAE＝∠EBC，∵在正方形ABCD中，AD＝BC，在等邊△ABE中，AE＝BE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴DE＝CE，∴△CDE是等腰三角形．6．【解答】解：（1）過點F作FH⊥BC于點H，如圖1所示：∵四邊形ABCD是矩形，且AB＝5，BC＝8，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝8，∠A＝∠ABC＝90°，∴S矩形ABCD＝AB?BC＝5×8＝40，∵△BCF的面積是矩形ABCD面積的一半，∴S△BCF＝20，∴12BC?FH∴12×8×FH∴FH＝5，由旋轉性質得：BF＝BP，∠PBF＝90°，∴∠PBF＝∠ABC＝90°，∴∠PBF﹣∠PBC＝∠ABC-∠PBC，即∠FBH＝∠PBD，∵FH⊥BC于點H，∠A＝90°，∴∠FHB＝∠A＝90°，在△AHF和△BPA中，∠FBH=∠PBD∠FHB=∠A=90°∴△AHF≌△BPA（AAS），∴FH＝PA＝5；（2）∵四邊形ABCD是矩形，且AB＝5，BC＝8，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝8，AB∥CD，∠A＝∠ABC＝90°，∵動點P從A點出發沿射線AE方向移動，∴有以下兩種情況：①當點P在線段AD上時，點G在BC的上方，過點G作直線GM⊥BC于點M，交AD于點N，如圖2所示，∴∠BMN＝∠A＝∠ABC＝90°，∴四邊形ABMN是矩形，∴MN＝AB＝5，AN＝BM，∵BG＝CG，GM⊥BC于點M，∴BM＝CM=12∴AN＝BM＝4，設PA＝a，則PN＝AN﹣PA＝4﹣a，由翻折性質得：PG＝PA＝a，GB＝AB＝5，在Rt△BGM中，由勾股定理得：MG=B∴GN＝MN﹣MG＝5﹣3＝2，在Rt△PGN中，由勾股定理得：PG2＝PN2+NG2，∴a2＝（4﹣a）2+22，解得：a＝2.5，∴PA＝a＝2.5；②當點P在AD的延長線上時，點G在BC的下方，過點G作直線GM⊥BC于點M，交AD于點K，交BP于點K，如圖3所示，同①得：四邊形ABMN是矩形，MG＝3，BM＝CM＝4，∴MN＝AB＝5，AN＝BM＝4，AB∥MN，∴∠ABK＝∠GKB，由翻折性質得：∠GBK＝∠ABK，GB＝AB＝5，∴∠GKB＝∠GBK，∴GK＝GB＝5，∴MK＝GK﹣GM＝2，∴KN＝MN﹣MK＝3，∵AB∥CD，∴△PKN∽△BKM，∴PNBM∴PN4∴PN＝6，∴PA＝PN+AN＝6+4＝10，綜上所述：PA的長為2.5或10．7．【解答】（1）解：利用角平分線定義和三角形外角性質，進行判定，可知真命題的個數為3，故答案為：3；（2）證明如下：（答案不唯一）已知：①②，求證：③．∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠ABC+∠A．同理∠4＝∠2+∠E，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC＝2∠2，∠ACD＝2∠4，∴2∠4＝2∠2+∠A．∵∠4＝∠2+∠E，∴2∠4＝2∠2+2∠E，∴2∠2+∠A＝2∠2+2∠E，∴∠A＝2∠E．已知：①③，求證：②．證明如下：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠ABC+∠A，同理∠4＝∠2+∠E，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠2．∵∠A＝2∠E，∴∠ACD＝2∠2+2∠E．∵∠4＝∠2+∠E，∴2∠4＝2∠2+2∠E，∴∠ACD＝2∠4，∴CE平分∠ACD．已知：②③，求證：①．證明如下：∵∠A