人教版九年級下冊數學 27.2.1.2 相似三角形的判定（第二課時） 教案

27.2.1.2相似三角形的判定第二課時教案【教學目標】1、掌握“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”“三邊對應成比例，兩個三角形相似”和“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”的判定方法．并能運用這三個判定定理證明兩個三角形相似。2、結合全等三角形的SSS和SAS的證明方法，通過類比觀察、猜想、證明等活動，探索相似三角形判定定理證明的過程，體會轉化的數學思想。3、進一步積累研究幾何圖形問題的經驗。【重難點】重點：掌握三個判定定理，并能運用三個判定定理證明兩個三角形相似.難點：會用已知條件證明三角形相似并解決一些簡單的問題.【教學過程】（一）復習鞏固問題1相似三角形的概念問題2如何判斷兩個三角形是否相似？問題3判定兩個三角形全等有幾種方法？師生活動:教師提出問題，學生通過之前所學知識嘗試回答問題.【設計意圖】通過回顧之前所學內容，為接下來探究相似三角形的判定打好基礎(二)探究新知思考：如圖，在△ABC中，DE//BC，且DE分別交AB，AC于點D，E，△ADE與△ABC有什么關系？明確：△ADE∽△ABC師生括動:先由學生嘗試在紙上寫出完成的證明過程，教師巡視，給出答案：證明：在△ADE與△ABC中，∠A=∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.再證明兩個三角形的邊成比例.過點E作EF∥AB，交BC于點F.∵DE∥BC，EF∥AB，∴ADAB=AEAC，BF∵四邊形DBEF是平行四邊形，∴DE=BF.∴DEBC=AE∴ADAB=AEAC=這樣，我們證明了△ADE和△ABC的角分別相等，邊成比例，所以△ADE∽△ABC.因此，我們有如下判定三角形相似的（預備）定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似.幾何語言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.【鞏固練習】1.如圖，在平行四邊形ABCD中，F是AD邊上的任意一點，連接BF并延長交CD的延長線于點E，則圖中與△DEF相似的三角形共有()A.1個B.2個C.3個D.4個2.如圖，DE/BC，DF//AC，則圖中相似三角形一共有()A.1對B.2對C.3對D.4對3.如圖，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE，GF交于點O，則圖中與△ABC相似的三角形共有多少個？請你寫出來.4.如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AB、AC于點D、E，試證明：ADAB=DO【課堂練習】1.如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交子點G，且AG=2，GD=1，DF=5，求BCCE2.如圖，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2.寫出圖中的相似三角形，并指出其相似比.【新知探究】【問題一】類比三角形全等的判定方法(sss)，我們能不能通過三邊來判定兩個三角形相似呢?【探究】任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的k倍.度量這兩個三角形的角，它們分別相等嗎？這兩個三角形相似嗎？師生活動:學生按要求畫出圖形，通過測量計算，小組交流討論后回答問題.教師通過多媒體展示符合題目要求的三角形，并標注對應邊和對應角的測量結果，【設計意圖】在教師的指導下，學生通過自己動手，探索新知，體驗探索過程，積累活動經驗通過測量不難發現∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，又因為ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=k，所以△ABC∽△A【想一想】改變k的大小，以上結論還成立嗎?師生活動:學生認真觀察，回答問題，此環節鼓勵學生積極回答問題，師生共同探索相似三角形判定方法.【證明】如圖，在△ABC和△A′B′C′中，ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'，求證△ABC∽師生活動:先由學生嘗試在紙上寫出證明過程，教師巡視，針對不能寫出證明過程的學生，數師適當給出提示:通過上節課的學習可知，平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交所構成的三角形與原三角形相似,那么我們是否可以在大的三角形(△ABC)內部構造一個小的三角形(△ADE)，使△ABC∽△ADE，再通過已知條件證明△A′DE≌△ABC.，從而△ABC∽△A′B′C′.具體證明過程如下：證明：在線段A′B′

(或它的延長線)上截取A′D=AB，過點D作DE//B′C′，交A′C′于點E.根據前面的定理，可得△A′DE∽△A′B′C′.∴A'DA'B'=DEB'C'=A'EA'C'，又ABA'B'∴DEB'C'=BCB'C'，A'EA'C∴DE=BC，A′E=AC.∴△A′DE≌△ABC.∴△ABC∽△A′B′C′.思路梳理:在△A′B′C′上通過平行線構造相似三角形，同時使新構造的△A′DE≌△ABC.△A′DE是證明的中介，它把△ABC和△A′B′C′聯系起來.由此我們得到利用三邊判定三角形相似的定理(如圖)：三邊成比例的兩個三角形相似.:三邊成比例的兩個三角形相似.幾何語言：在△ABC和△A′B′C′中，∵ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'，∴△ABC∽【設計意圖】通過完成證明過程，掌握利用三邊成比例判定三角形相似的方法.【方法提煉】注意：利用三邊成比例判定兩個三角形相似時，一定要注意邊與邊之間的對應關系，主要根據最長邊與最長邊對應，最短邊與最短邊對應的思路找對應邊.利用三邊成比例判定兩個三角形是否相似的步驟：(1)排序：將兩個三角形的邊長分別按從小到大(或從大到小)的順序排列；(2)計算：計算最長邊與最長邊、最短邊與最短邊、第三邊與第三邊的比值；(3)判斷：若比值相等，則這兩個三角形相似.【鞏固練習】1.判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由.2.圖中每個小方格都是邊長為1的正方形，若A，B，C，D，E，F都是格點，試說明△ABC∽△DEF.3.已知△ABC的三邊長分別是2，5，6，△DEF的三邊長如以下四個選項所列，若要使△ABC∽△DEF，則△DEF的三邊長分別是()A.3，6，7B.18，6，15C.3，8，9D.10，12，84.下列四個三角形中，與圖中的三角形相似的是（）【新知探究】問題：類比判定三角形全等的SAS方法，能不能通過兩邊和夾角來判定兩個三角形相似呢？小組討論：用刻度尺和量角器畫△ABC和△A′B′C′，使ABA'B'=BCB'C'

=k，∠B=∠B′，量出它們的第三組對應邊AC和A′C′師生活動:學生按要求畫出圖形，通過測量計算，小組交流討論后回答問題.教師通過多媒體展示符合題目要求的三角形.【設計意圖】在教師的指導下，學生通過自己動手，探索新知，體驗探索過程，積累活動經驗【想一想】改變k的大小，以上結論還成立嗎?【證明】如圖，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，ABA'B'=ACA'C'，求證：△ABC∽△師生活動:先由學生嘗試在紙上寫出完成的證明過程，教師巡視，針對不能寫出證明過程的學生，教師適當給出提示:證明方法和剛才的證明三邊成比例兩個三角形相似類似,那么我們是否可以在大的三角形(△A′B′C′)內部構造一個小的三角形(△A′DE)，使△A′DE∽△A′B′C′.再通過已知條件證明△A′DE≌△ABC.從而△ABC∽△A′B′C′.具體證明過程如下：證明：在線段A′B′

(或它的延長線)上截取A′D=AB，過點D作DE//B′C′，交A′C′于點E.∵DE//B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.∴A'DA'B'=A'EA'C'又∵ABA'B'=ACA'C'，A′D=∴B'C'DE=B'C'BC，A'C'A∴A′E=AC.DE=BC，而∠A=∠A′，∴△A′DE≌△ABC.∴△ABC∽△A′B′C′.思路梳理:在△A′B′C′上通過平行線構造相似三角形，同時使新構造的△A′DE≌△ABC.△A′DE是證明的中介，它把△ABC和△A′B′C′聯系起來.由此我們得到利用兩邊和夾角判定三角形相似的定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.幾何語言:在△ABC和△A′B′C′中，∵∠A=∠A′，ABA'B'=ACA'C'，∴△ABC∽△【設計意圖】通過完成證明過程，掌握利用兩邊成例且夾角相等判定三角形相似的方法.【小組討論】對于△ABC和△A′B′C′，使ABA'B'=ACA'C'

，∠B=∠師生活動:先由學生回答問題，再由教師總結，并通過多媒體展示具體原因.【設計意圖】通過此環節，使學生理解不能通過此方法判定相似三角形的原因.【鞏固練習】1.如圖，已知△ABC中，D為邊AC上一點，P為邊AB上一點，AB=12，AC=8，AD=6，當AP的長度為時，△ADP和△ABC相似.2.如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的是()A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.APAB=ABACD.AB3.如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形(陰影部分)與△A1B1C1相似的是()4.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求證：△DEF∽△ABC.5.如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點，AE=1.5，AC=2，BC=3，且ADAB=34，求DE【典例解析】例1根據下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由：(1)AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A′B′=12cm，B′C′=18cm,A′C′=24cm；解：∵ABA'B'=412BCB'C'=618ACA'C'=824∴ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'，(2)∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm.解：∵ABA'B'=73，ACA'∴ABA'B'=AC又∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.【課堂練習】1.根據下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由：(1)∠A=40°，AB=8cm，AC=15cm，∠A′=40°，A′B′=16cm，A′C′=30cm；(2)AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm，A′B′=16cm,，B′C′=12.8cm，A′C′=25.6cm.2.圖中的兩個三角形是否相似？為什么？3.要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形框架的三邊長分別為4cm，5cm和6cm，另一個三角形框架的一邊長為2cm，它的另外兩條邊長應當是多少？你有幾種制作方案？【課堂檢測】1.已知：點D，E，F分別是△ABC三邊的中點.求證：△EFD∽△ABC.2.如圖，D是△ABC一邊BC上一點，連接AD，使△ABC∽△DBA的條件是（）A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC3.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求證：△DEF∽△ABC.4.如圖，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求證：△ABC∽△ADE.5、如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB=6BC=4，AC=5，CD=712，求AD（三）鏈接中考（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別為對角線BD，AC的三等分點，連接AE并延長交CD于點G，連接EF，FG，若∠AGF=α，則∠FAG用含α的代數式表示為()A.45°-α2B.90(四)歸納小結1.通