人教版九年級下冊數(shù)學 27.2.1.2 相似三角形的判定（第二課時） 導(dǎo)學案

27.2.1.2相似三角形的判定第二課時導(dǎo)學案一、學習目標1、掌握“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”“三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似”和“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”的判定方法．并能運用這三個判定定理證明兩個三角形相似。2、結(jié)合全等三角形的SSS和SAS的證明方法，通過類比觀察、猜想、證明等活動，探索相似三角形判定定理證明的過程，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。3、進一步積累研究幾何圖形問題的經(jīng)驗。二、復(fù)習鞏固問題1相似三角形的概念問題2如何判斷兩個三角形是否相似？問題3判定兩個三角形全等有幾種方法？三、核心知識1.判定三角形相似的（預(yù)備）定理：三角形一邊的直線和其他兩邊，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.2.利用三邊判定三角形相似的定理：三邊的兩個三角形相似.3.利用兩邊和夾角判定三角形相似的定理：兩邊且的兩個三角形相似.四、新知探究思考：如圖，在△ABC中，DE//BC，且DE分別交AB，AC于點D，E，△ADE與△ABC有什么關(guān)系？【鞏固練習】1.如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是AD邊上的任意一點，連接BF并延長交CD的延長線于點E，則圖中與△DEF相似的三角形共有()A.1個B.2個C.3個D.4個2.如圖，DE/BC，DF//AC，則圖中相似三角形一共有()A.1對B.2對C.3對D.4對3.如圖，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE，GF交于點O，則圖中與△ABC相似的三角形共有多少個？請你寫出來.4.如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AB、AC于點D、E，試證明：ADAB=DO【課堂練習】1.如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交子點G，且AG=2，GD=1，DF=5，求BCCE2.如圖，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2.寫出圖中的相似三角形，并指出其相似比.【新知探究】【問題】類比三角形全等的判定方法(sss)，我們能不能通過三邊來判定兩個三角形相似呢?【動手操作】任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的k倍.度量這兩個三角形的角，它們分別相等嗎？這兩個三角形相似嗎？【想一想】改變k的大小，以上結(jié)論還成立嗎?【證明】如圖，在△ABC和△A′B′C′中，ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'，求證△ABC∽【鞏固練習】1.判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由.2.圖中每個小方格都是邊長為1的正方形，若A，B，C，D，E，F(xiàn)都是格點，試說明△ABC∽△DEF.3.已知△ABC的三邊長分別是2，5，6，△DEF的三邊長如以下四個選項所列，若要使△ABC∽△DEF，則△DEF的三邊長分別是()A.3，6，7B.18，6，15C.3，8，9D.10，12，84.下列四個三角形中，與圖中的三角形相似的是（）【新知探究】問題：類比判定三角形全等的SAS方法，能不能通過兩邊和夾角來判定兩個三角形相似呢？動手操作：用刻度尺和量角器畫△ABC和△A′B′C′，使ABA'B'=BCB'C'

=k，∠B=∠B′，量出它們的第三組對應(yīng)邊AC和A′C′【想一想】改變k的大小，以上結(jié)論還成立嗎?【證明】如圖，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，ABA'B'=ACA'C'，求證：△ABC∽△【鞏固練習】1.如圖，已知△ABC中，D為邊AC上一點，P為邊AB上一點，AB=12，AC=8，AD=6，當AP的長度為時，△ADP和△ABC相似.2.如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的是()A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.APAB=ABACD.AB3.如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形(陰影部分)與△A1B1C1相似的是()4.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求證：△DEF∽△ABC.5.如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點，AE=1.5，AC=2，BC=3，且ADAB=34，求DE【課堂檢測】1.已知：點D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點.求證：△EFD∽△ABC.2.如圖，D是△ABC一邊BC上一點，連接AD，使△ABC∽△DBA的條件是（）A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC3.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求證：△DEF∽△ABC.4.如圖，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求證：△ABC∽△ADE.5、如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB=6BC=4，AC=5，CD=712，求AD（三）鏈接中考（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為對角線BD，AC的三等分點，連接AE并延長交CD于點G，連接EF，F(xiàn)G，若∠AGF=α，則∠FAG用含α的代數(shù)式表示為()A.45°-α2B.90【參考答案】二、復(fù)習鞏固問題1相似三角形的概念如果三角分別相等、三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.問題2如何判斷兩個三角形是否相似？(1)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似.(2)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.問題3判定兩個三角形全等有幾種方法？1.邊邊邊（SSS）：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。2.邊角邊（SAS）：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等。3.角邊角（ASA）：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等。4.角角邊（AAS）：兩個角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。5.斜邊直角邊（HL）：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。三、核心知識1.判定三角形相似的（預(yù)備）定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.2.利用三邊判定三角形相似的定理：三邊成比例的兩個三角形相似.3.利用兩邊和夾角判定三角形相似的定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.四、新知探究思考：如圖，在△ABC中，DE//BC，且DE分別交AB，AC于點D，E，△ADE與△ABC有什么關(guān)系？△ADE∽△ABC證明：在△ADE與△ABC中，∠A=∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.再證明兩個三角形的邊成比例.過點E作EF∥AB，交BC于點F.∵DE∥BC，EF∥AB，∴ADAB=AEAC，BF∵四邊形DBEF是平行四邊形，∴DE=BF.∴DEBC=AE∴ADAB=AEAC=【鞏固練習】1.如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是AD邊上的任意一點，連接BF并延長交CD的延長線于點E，則圖中與△DEF相似的三角形共有(B)A.1個B.2個C.3個D.4個解析：由于四邊形ABCD是平行四邊形，因此FD//BC，DE//AB.于是可從圖中找出符合“A”型相似的△DEF與△CEB，符合“X”型相似的△DEF與△ABF.故選B.2.如圖，DE/BC，DF//AC，則圖中相似三角形一共有(C)A.1對B.2對C.3對D.4對3.如圖，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE，GF交于點O，則圖中與△ABC相似的三角形共有多少個？請你寫出來.解：與△ABC相似的三角形有3個：△ADE△GFC△GOE4.如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AB、AC于點D、E，試證明：ADAB=DO證明：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，∴ADAB=DEBC

，∴ADAB=DO【課堂練習】1.如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交子點G，且AG=2，GD=1，DF=5，求BCCE解：∵AB∥CD∥EF，∴BCCE

=AD∵AD=AG+GD=3，DF=5，∴BCCE的值為32.如圖，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2.寫出圖中的相似三角形，并指出其相似比.解：△ADE∽△ABC，相似比為3:5.解析：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∵AD=3，DB=2，∴AB=3+2=5，∴ADAB=3【新知探究】【問題】類比三角形全等的判定方法(sss)，我們能不能通過三邊來判定兩個三角形相似呢?【動手操作】任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的k倍.度量這兩個三角形的角，它們分別相等嗎？這兩個三角形相似嗎？通過測量不難發(fā)現(xiàn)∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，又因為ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=k，所以△ABC∽△A′B′C【想一想】改變k的大小，以上結(jié)論還成立嗎?依然成立。△ABC∽△A′B′C′.【證明】如圖，在△ABC和△A′B′C′中，ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'，求證△ABC∽證明：在線段A′B′

(或它的延長線)上截取A′D=AB，過點D作DE//B′C′，交A′C′于點E.根據(jù)前面的定理，可得△A′DE∽△A′B′C′.∴A'DA'B'=DEB'C'=A'EA'C'，又ABA'B'∴DEB'C'=BCB'C'，A'EA'C∴DE=BC，A′E=AC.∴△A′DE≌△ABC.∴△ABC∽△A′B′C′.【鞏固練習】1.判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由.解：由圖可知，在△ABC中，AB>BC>CA在△DEF中，DE>EF>FD.而DEAB=2.44=0.6，EFBC=2.13.5=0.6，∴DEAB=EFBC=∴△ABC∽△DEF.2.圖中每個小方格都是邊長為1的正方形，若A，B，C，D，E，F(xiàn)都是格點，試說明△ABC∽△DEF.解：因為AC=2，BC=12+32

AB=4，DF=22+22EF=22+62

=210

∴ACDF=BCEF=ABDE=∴△ABC∽△DEF.3.已知△ABC的三邊長分別是2，5，6，△DEF的三邊長如以下四個選項所列，若要使△ABC∽△DEF，則△DEF的三邊長分別是(B)A.3，6，7B.18，6，15C.3，8，9D.10，12，8【詳解】解：A.∵23≠56≠67，∴△DEF的三邊長不可能是3，6，7B.∵26=515=618=13，∴△DEF的三邊長可能是18，6，15C.∵23=69≠58

，∴△DEF的三邊長不可能是3，8，9D.∵28≠510=612

，∴△DEF的三邊長不可能是10，12，84.下列四個三角形中，與圖中的三角形相似的是（B）【詳解】解：設(shè)單位正方形的邊長為1，給出的三角形三邊長分別為2，22

，A、三角形三邊2，10

，32

，與給出的三角形的各邊不成比例，故B、三角形三邊2，4，25

，與給出的三角形的各邊成正比例，故BC、三角形三邊2，3，13

，與與給出的三角形的各邊不成比例，故CD、三角形三邊5

，4，13

，與給出的三角形的各邊不成比例，故D【新知探究】問題：類比判定三角形全等的SAS方法，能不能通過兩邊和夾角來判定兩個三角形相似呢？動手操作：用刻度尺和量角器畫△ABC和△A′B′C′，使ABA'B'=BCB'C'

=k，∠B=∠B′，量出它們的第三組對應(yīng)邊AC和A′C′等于，相似【想一想】改變k的大小，以上結(jié)論還成立嗎?結(jié)論成立【證明】如圖，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，ABA'B'=ACA'C'，求證：△ABC∽△證明：在線段A′B′

(或它的延長線)上截取A′D=AB，過點D作DE//B′C′，交A′C′于點E.∵DE//B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.∴A'DA'B'=A'EA'C'又∵ABA'B'=ACA'C'，A′D=∴B'C'DE=B'C'BC，A'C'A∴A′E=AC.DE=BC，而∠A=∠A′，∴△A′DE≌△ABC.∴△ABC∽△A′B′C′.【鞏固練習】1.如圖，已知△ABC中，D為邊AC上一點，P為邊AB上一點，AB=12，AC=8，AD=6，當AP的長度為4或9時，△ADP和△ABC相似.解析：當△ADP∽△ACB時，AP：AB=AD：AC，AP：12=6：8，解得AP=9；當△ADP∽△ABC時，AD：AB=AP：AC，∴6：12=AP：8，解得AP=4.∴當AP的長度為4或9時，△ADP和△ABC相似.2.如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的是(D)A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.APAB=ABACD.AB3.如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形(陰影部分)與△A1B1C1相似的是(B)4.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求證：△DEF∽△ABC.證明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，∴DFAC=EFBC=又∵∠C=∠F=70°，∴△DEF∽△ABC.5.如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點，AE=1.5，AC=2，BC=3，且ADAB=34，求DE解：∵AE=1.5，AC=2，∴AEAC=34=又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=34∴DE=34BC=9【課堂檢測】1.已知：點D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點.求證：△EFD∽△ABC.證明：∵點D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點.∴DE=12AC，EF=12AB，DF=1∴DEAC=DFBC=EF∴△EFD∽△ABC.2.如圖，D是△ABC一邊BC上一點，連接AD，使△ABC∽△DBA的條件是（）A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC【解析】AB2=BD·BC，ABBD=BC故選D.3.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求證：△DEF∽△ABC.證明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，∴DFAC=EFBC=又∵∠C=∠F=70°，∴△DEF∽△ABC.4.如圖，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求證：△ABC∽△ADE.證明：∵AD=AE，AB=AC，∴ADAB=AE又∵∠DAB=∠CAE，