南寧市高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試練習(xí)題及答案解析

南寧北附實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025~2026學(xué)年度下學(xué)期高一月考（一）數(shù)學(xué)試題2026.3一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.【詳解】，虛部為.故選：C2.在中，，，若點(diǎn)D滿足，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義，結(jié)合共線向量的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋杂校?故選：A3.已知非零向量，滿足，向量在向量上的投影向量為，則（）A.0 B.1 C.8 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的投影向量的定義，列式求解，即可得答案.【詳解】由于向量在向量上的投影向量為，故可得，即，所以，故選：C4.已知某平面圖形的直觀圖是如圖所示的梯形，且，則原圖形OABC的面積為（）A. B. C.12 D.10【答案】D【解析】【分析】求出梯形的面積，再利用斜二測(cè)畫法直觀圖與原圖形面積關(guān)系求解即得.【詳解】梯形中，，而，則梯形的高，因此梯形的面積，而在斜二測(cè)畫法中，直觀圖面積是原圖形面積的，所以原圖形OABC的面積為.故選：D5.若且，則與的夾角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)垂直的向量表示及數(shù)量積的運(yùn)算律得，再利用數(shù)量積的夾角公式求解即可.【詳解】根據(jù)，有，即，所以，設(shè)與的夾角為，所以，又，所以.故選：B6.桂林日月塔又稱金塔銀塔?情侶塔，日塔別名叫金塔，月塔別名叫銀塔，所以也有金銀塔之稱.如圖1，這是金銀塔中的金塔，某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測(cè)量該塔的高度，在塔底的同一水平面上的兩點(diǎn)處進(jìn)行測(cè)量，如圖2.已知在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°，米，，則該塔的高度（）A.米 B.米 C.50米 D.米【答案】B【解析】【分析】利用仰角的定義及銳角三角函數(shù)，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】由題意可知，,,設(shè)米，則在中，米，在中，米.由余弦定理可得，即，解得.因?yàn)槊祝悦?故選：B.7.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且=，則B=()A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)正弦定理可得,由已知可得,整理可得,,在中.故C正確.考點(diǎn)：1正弦定理;2余弦定理.8.已知三角形ABC滿足，則三角形ABC的形狀一定是（）A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)單位向量的定義及加法的幾何意義有對(duì)應(yīng)向量在的角平分線上，進(jìn)而有的角平分線與邊垂直，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可得.【詳解】由幾何意義知，對(duì)應(yīng)向量在的角平分線上，由，即的角平分線與邊垂直，所以三角形ABC的形狀一定是等腰三角形.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得零分.9.關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合為以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓C.如果，那么是純虛數(shù)D.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是【答案】ABD【解析】【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)冪的周期性可判斷A項(xiàng)，運(yùn)用復(fù)數(shù)的模的幾何意義可判斷B項(xiàng)，運(yùn)用復(fù)數(shù)分類可判斷C項(xiàng)，運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算及幾何意義可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由虛數(shù)單位的定義，，則，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)為，由，即，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，那么是實(shí)數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，故D項(xiàng)正確．故選：ABD．10.（多選題）下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法正確的是（）A.棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形 B.棱錐的側(cè)面只能是三角形C.由四個(gè)平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐 D.棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐【答案】ABC【解析】【詳解】選項(xiàng)A，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形，A正確；選項(xiàng)B，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形，B正確；選項(xiàng)C，四個(gè)平面圍成的封閉多面體，每個(gè)面都是三角形，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)，這是三棱錐（四面體）的定義，C正確；選項(xiàng)D，如下圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐，D錯(cuò)誤．11.在中，角的對(duì)邊分別為,則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則的外接圓的面積為B.若，，，則有兩解C.若，則是銳角三角形D.若，則為銳角三角形【答案】AD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)條件，利用正弦定理，可得，即可求解；對(duì)B，根據(jù)條件，數(shù)形結(jié)合，即可求解；對(duì)C，根據(jù)條件，利用余弦定理得，即可求解；對(duì)D，利用，得到，，進(jìn)而可得，再利用余弦定理，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由正弦定理（其中是外接圓的半徑），得到，所以，則的外接圓的面積為，所以A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，如圖，，，過(guò)作于，則，所以在射線上不存在，使，，，即無(wú)解，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼茫郑裕适氢g角三角形，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋瑒t，且，所以，則，所以，得到，即，由余弦定理得，又，所以，故是銳角三角形，所以D正確，故選：AD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)，，為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____．【答案】2【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的減法結(jié)合復(fù)數(shù)的概念可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解之即可．【詳解】由復(fù)數(shù)，，可得為純虛數(shù)，則，解得．故答案為：2．13.已知鈍角的面積為，，，則該三角形的外接圓半徑為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)面積公式求得，結(jié)合鈍角三角形分類討論角B的取值，結(jié)合正弦定理即可得解.【詳解】由題的面積為，，解得，若，根據(jù)余弦定理，結(jié)合正弦定理得，三角形為直角三角形與題目鈍角三角形矛盾，所以，根據(jù)余弦定理，根據(jù)正弦定理可得：該三角形的外接圓半徑為.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查利用正余弦定理結(jié)合三角形面積公式求解三角形，尤其注意三角形為鈍角三角形不一定是B為鈍角，需要分類討論清楚再求解.14.如圖，點(diǎn)，是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，，則圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)圓的性質(zhì)可判斷為優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)陰影部分的面積取最大值，分別求出相關(guān)邊和角，利用三角形面積公式和扇形面積公式計(jì)算即得.【詳解】如圖，取圓心為點(diǎn)，連接，由圓的性質(zhì)可知當(dāng)為優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，到的距離最大，此時(shí)陰影部分的面積取最大值，因?yàn)椋藭r(shí)，故陰影部分的面積的最大值為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分，其中第15題13分，第16?17題15分，第18?19題17分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量，，．（1）若與向量垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量，且與向量平行，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得的值.（2）根據(jù)向量平行列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【小問(wèn)1詳解】向量，，．，，與向量垂直，，解得．【小問(wèn)2詳解】向量，，與向量平行，，解得．16.在△ABC中，已知（1）求角A；（2）若求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理將已知等式中的角化為邊，再根據(jù)余弦定理求出角；（2）已知、和角，先根據(jù)余弦定理求出的值，再利用三角形面積公式求出面積.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)正弦定理將邊角互化，得到.化簡(jiǎn)可得，即.再根據(jù)余弦定理，因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】已知，，，根據(jù)余弦定理，可得.即，整理得.解得或（邊長(zhǎng)不能為負(fù)舍去）.最后根據(jù)三角形面積公式，可得.17.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中，，且（1）求角A；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合正弦定理邊化角以及兩角和的正弦公式即可求解；（2）由根據(jù)面積公式，結(jié)合余弦定理求出，即可求解；【小問(wèn)1詳解】由，得，利用正弦定理，得，又，代入上式，，整理得，，因，兩邊除以，得，即，又，故；【小問(wèn)2詳解】由面積公式，，，，，結(jié)合，由余弦定理：，代入，，則，故周長(zhǎng)為18.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，求邊上的中線長(zhǎng)度的最小值；（3）若，，若為角平分線，求的長(zhǎng)度．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦求解.（2）利用余弦定理、中點(diǎn)向量公式，結(jié)合基本不等式求出最小值.（3）利用三角形面積公式列式求解.【小問(wèn)1詳解】在中，由及正弦定理，得，即，而，則，又，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，則，又，因此，所以當(dāng)時(shí)，邊上的中線取得最小值.【小問(wèn)3詳解】依題意，，，，由，得，則，解得，所以的長(zhǎng)度為.19.在中，角的對(duì)邊分別為，已知．（1）若，求的外接圓的周長(zhǎng)；（2）若為銳角三角形，且，①求角的取值范圍；②求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）①；②．【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，利用二