遵義市高一下學期數學期末考試練習題及答案解析

遵義市南白中學2025-2026學年高一下學期期中考試數學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】由已知，故.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【詳解】命題“，”為全稱命題，則其否定為“，”.3.已知角的終邊經過點，則（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【詳解】設點P到坐標原點的距離為，則.4.一個扇形的弧長和面積都為，則這個扇形的圓心角的弧度數為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設扇形的半徑為，圓心角的弧度數為，結合扇形的弧長、面積公式列方程組求解即可.【詳解】設該扇形的半徑為，圓心角的弧度數為（），由題意可得方程組：

，解得，，因此該扇形的圓心角弧度數為，故A正確.5.已知為單位向量，，，則在上的投影數量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先計算向量的模長，對兩邊平方求出，再代入投影數量公式計算即可.【詳解】由，可得，已知，將等式兩邊平方并展開得，又因為，所以解得；則在上的投影數量為，故B正確.6.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據二倍角公式及同角的三角函數關系求解即可.【詳解】因為，故，則原式.7.已知函數的圖象的一部分如圖1，則圖2中的函數圖象所對應的函數解析式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據，結合誘導公式確定每個選項對應函數解析式，先由圖象的周期進行排除不符合的選項，再結合函數的圖象所過的特殊點進行排除錯誤的選項，從而找出正確的選項即可．【詳解】若，則，，，，由已知圖象可知，右圖的周期是左圖函數周期的，從而可排除選項B，C；對于選項A，，當時函數值為，從而排除選項A.故選：D．8.已知，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，將目標式轉化為的模長的二次函數，配方求最值，并驗證等號成立條件.【詳解】設，則由題設知，且.于是.由向量數量積的性質得，所以.令

，

.該二次函數在處取得最小值.等號可驗證成立：當，且與同向，時，.因此的最小值為.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的．全部選對得6分，部分選對得2分或4分，有選錯的得0分．9.下列等式計算正確的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用三角恒等變換公式依次化簡選項即可求解.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，,故B正確；對于C，,故C正確；對于D，,故D正確.10.已知隨機事件、發生的概率分別為，，則下列說法正確的是（）A.若與互斥，則B.若，則事件與相互獨立C.若發生時一定發生，則D.【答案】BD【解析】【分析】根據互斥事件和獨立事件的概率公式逐項判斷.【詳解】對于A，若A與B互斥，則，故A錯；對于B，因為，，則，因為，所以事件與相互獨立，故B對；對于C，若發生時一定發生，則，則，故C不對；對于D，，因為，，所以，故D正確.11.已知函數是定義在上的偶函數，且，當時，．則（）A.的最小正周期為4B.的圖象關于點對稱C.為奇函數D.的解集為【答案】ACD【解析】【分析】根據已知得到的圖象關于直線、對稱，進而得到的最小正周期為4，利用奇偶性和周期性依次判斷各項的正誤即可.【詳解】因為

是定義在上的偶函數，所以，即，函數的圖象關于直線對稱，因為，所以，函數的圖象關于點中心對稱，由，令，則，因為，即，所以，即，進一步得，所以是函數的一個周期，若存在更小的正周期，則，而上，結合其對稱性，在上的唯一解是，故不存在小于的正周期，最小正周期為，A正確，由，則，由于，顯然不恒為，因此圖象不關于對稱，B錯誤，令，則，且，由得，由得，因為，所以，即為奇函數，C正確，當時，，結合函數的對稱性，當時，函數表達式為，此時，即，解得，結合最小正周期為，解集為，D正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，，若，則__________．【答案】【解析】【分析】計算的坐標，利用向量垂直的坐標表示列方程求解即可.【詳解】因為，，則.又，則

.即

，整理得，解得.13.已知函數，則__________．【答案】【解析】【詳解】因為，所以.14.已知外接圓圓心是，兩條邊上的高線相交于點，是內一點，且滿足，則__________．【答案】【解析】【分析】設外心為原點，由重心性質得三頂點向量和，證明該向量對應點即為垂心，從而建立向量關系，求得比值.【詳解】設為原點，記.由于在同一圓上，則.由題意，所以.即①.取點

，使，則，于是.因此

，同理可得

，所以

就是三角形

的垂心

.故.結合①得，從而.因此.?四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要得文字說明、證明過程或演算步驟．15.某校為了調查學生的課外閱讀情況，從全校學生中隨機抽取名學生，將他們的周平均課外閱讀時間（單位：小時）數據按照，，，，分成組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）根據頻率分布直方圖求出的值，并用樣本數據估計該校學生周平均課外閱讀時間的分位數；（2）用分層抽樣的方法從，兩組中抽取人，再從這人中隨機選出人，這人恰好在同一組的概率．【答案】（1），分位數為（2）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖面積之和為求出的值，根據累計頻率確定分位數所在區間并列方程求解；（2）根據頻率比確定分層抽樣各組抽取人數，利用古典概型概率公式計算即可．【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，，解得，前組的頻率之和為，前組的頻率之和為，所以分位數位于第組，設分位數為，則，解得，所以該校學生周平均課外閱讀時間的分位數為；【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知，組的頻率為，組的頻率為，兩組頻率之比為，利用分層抽樣的方法從這兩組中抽取人，則從組中抽取人，記為，從組中抽取人，記為，從這人中隨機選出人，樣本空間，共個樣本點，其中人恰好在同一組的為，共個樣本點，所以所求概率為．16.（1）計算；（2）已知．（ⅰ）化簡；（ⅱ）關于的方程有解，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(ⅰ)，定義域；(ⅱ)【解析】【分析】（1）由對數的運算性質和冪的運算性質可直接得到計算結果；（2）（i）由誘導公式可直接得到化簡結果，注意求函數的定義域，需要考慮分母不為零和正切函數自身的定義域；（ii）運用“參變分離法”，原方程有解就是新方程有解，求函數的值域即可解決問題.【詳解】（1）；（2）（i），其中，，所以，即，其定義域為；（ii），由題意可知，方程有解，令，則的取值范圍就是函數的值域，，令，則且，于是可化為，所以且，所以函數的值域為，即的取值范圍是.17.已知，（，），函數，若的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為．（1）求函數的解析式；（2）求函數的單調遞減區間，最值和最值點．【答案】（1）（2）單調遞減區間為；最大值為，最大值點為；最小值為，最小值點為【解析】【分析】（1）由平面向量數量積的計算公式和三角恒等變換的“二倍角公式”、“輔助角公式”即可求出函數的解析式；（2）使用三角函數的“整體代換法”，將函數化歸為，結合函數的圖象和性質即可求出函數的單調遞減區間、最值和最值點.【小問1詳解】，因為的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，所以，因為，所以，即函數的解析式為；【小問2詳解】令，，則，，所以函數的單調遞減區間為，當，即時，取得最大值，最大值為；當，即時，取得最小值，最小值為；所以函數的最大值為，最大值點為；最小值為，最小值點為.18.已知，.（1）求和的值；（2）若，為銳角，求的值；（3）若，為銳角，求角.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）先利用同角基本關系式和的范圍求，接著利用二倍角公式求；（2）先求，再利用得解；（3）利用二倍角正切公式得，再求，結合角的范圍得解.【小問1詳解】因為，且所以，又，所以，因此，；【小問2詳解】因為，，所以，又，則，則，則，所以；【小問3詳解】因為，，則，且，則，又，所以.19.（1）證明：（ⅰ）（ⅱ）（2）利用及（1）的恒等式證明：（3）化簡或求值：.【答案】（1）（i），