2026年北京師范大學(xué)大同附屬中學(xué)校高一期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁北師大大同附中2025-2026學(xué)年第二學(xué)期高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試題考試時長：120分鐘命題人：注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上相應(yīng)的位置．2．全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上．一、單選題（每小題5分，共40分）1．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．12．從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．3．若數(shù)據(jù)，，，，的方差為9，則數(shù)據(jù)，，，，的方差為（

）A．2007 B．1989C．36 D．184．在，已知角，，所對的邊分別為，，，，，，則角的大小為（

）A． B． C．或 D．或5．已知向量，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．如圖，電路中、、三個電子元件正常工作的概率分別為，，，則該電路正常工作的概率為（

）

A． B． C． D．7．如圖，南北分界線是蚌埠的標(biāo)志性建筑，小明為了測量其高度，在地面上選擇一個觀測點，在處測得處的無人機和該建筑的最高點的仰角分別為，無人機距地面的高度為20米，且在處無人機測得點的仰角為，點B，C，N在同一條直線上，則該建筑的高度（單位：米）為（

）A． B． C． D．408．在中，已知為線段上的一點，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．二、多選題（每小題6分，共18分）9．將顏色分別為紅、綠、白、藍的4個小球隨機分給甲、乙、丙、丁4個人，每人一個，則（

）A．事件“甲分得紅球”與事件“乙分得白球”是互斥不對立事件B．事件“甲分得紅球”與事件“乙分得紅球”是互斥不對立事件C．事件“甲分得綠球，乙分得藍球”的對立事件是“丙分得白球，丁分得紅球”D．當(dāng)事件“甲分得紅球”的對立事件發(fā)生時，事件“乙分得紅球”發(fā)生的概率是10．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，下列四個命題中正確的是（

）A．若，則一定有B．若是銳角三角形，則一定有成立C．若，則一定是直角三角形D．若，則一定是銳角三角形11．如圖，在等腰梯形中，，E為的中點，點在菱形的內(nèi)部及邊界上運動．設(shè)，其中（

）A．若B，P，D三點共線，則B．x，y的約束條件為C．若，則的取值范圍是D．若，則的取值范圍是三、填空題（每小題5分，共15分）12．小胡同學(xué)記錄了10次上學(xué)途中所花的時間（單位：分鐘）分別為：13，12，14，13，13，15，11，16，15，17，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為________.13．中，，D在上，，，則______.14．?dāng)?shù)學(xué)中的“對稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問題中．請你從“對稱性”的角度完成下面概率問題：已知有，，，，，，，八名運動員參加比賽，按照下圖進行單敗淘汰制（贏者晉級下一輪，敗者被淘汰）.其中在圖示中①的位置，在圖示中⑤的位置，其余運動員抽簽決定自己第一輪的比賽位置.已知與除以外的運動員比賽勝率為，與除以外的運動員比賽勝率為，除此以外其余場次比賽（包括間的比賽）每位運動員勝率都為，則運動員奪得冠軍的概率為________．四、解答題（共77分）15．已知復(fù)數(shù)（），且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）.(1)設(shè)復(fù)數(shù)，求；(2)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍.16．已知，，是平面內(nèi)的三個向量，其中，為單位向量，且．(1)求與夾角的大小；(2)設(shè)，求；(3)設(shè)，求的取值范圍．17．統(tǒng)計局就某地居民的月收入（單位：元）情況調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本頻率分布直方圖（如圖），每個分組包括左端點不包括右端點，如第一組表示月收入在內(nèi)．(1)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000人中用分層隨機抽樣的方法抽出100人進行下一步分析，則月收入在內(nèi)的應(yīng)抽取多少人？(2)估計該地居民的月收入的中位數(shù)；(3)假設(shè)同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，估計該地居民月收入的平均數(shù)．18．在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足．(1)求角；(2)求的取值范圍；(3)當(dāng)時，角的平分線交于，求長度的最大值．19．“費馬點”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬提出并征解的一個問題，該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小．”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于120°時，使得的點O即為費馬點；當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于120°時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點．試用以上知識解決下面問題：已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且設(shè)點P為的費馬點．(1)若，且面積為．（i）求角B；（ii）求；(2)若，，，的面積為，，，求的最小值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算得到，從而虛部為.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，，則的虛部為.故選：A.2．C【分析】首先計算樣本空間，再代入古典概型概率公式，即可求解.【詳解】從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中無放回隨機抽取2張，樣本空間包含，共個，抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是偶數(shù)包含的基本事件為，個數(shù)，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為.故選：C.3．C【分析】根據(jù)方差的意義分析，每個數(shù)據(jù)都減去2025，方差不變，原數(shù)據(jù)都乘2，則方差是原來的4倍即可.【詳解】因數(shù)據(jù)，，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，，的方差應(yīng)是.故選：C.4．A【分析】由正弦定理求得，再根據(jù)角的范圍求出角.【詳解】由正弦定理，，又，則，所以.故選：A.5．A【分析】利用向量模長得出向量，的數(shù)量積，再根據(jù)投影向量的定義計算可得結(jié)果.【詳解】由，得，由，得，則，因此在上的投影向量為．故選：A．6．A【分析】分析可知，該電路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一個能正常工作，利用獨立事件和對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由題知該電路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一個能正常工作，因為該電路正常工作為事件，則，故選：A．7．D【分析】在中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出.【詳解】在中，，則，由圖，可知，，則，在中，由正弦定理，得，在中，.故選：D.8．C【分析】根據(jù)題設(shè)化簡可得，，從而將向量等式化簡，根據(jù)平面向量基本定理可得，再利用基本不等式求解即可.【詳解】，，在中，，，為線段上的一點，，且易得，.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故的最小值為.故選：C9．BD【分析】利用互斥事件，對立事件的概念求解.【詳解】事件“甲分得紅球”與事件“乙分得白球”可以同時發(fā)生，不是互斥事件，A錯誤；事件“甲分得紅球”與事件“乙分得紅球”不能同時發(fā)生，是互斥事件，除了甲分得紅球或者乙分得紅球以外，丙或者丁也可以分得紅球，B正確；事件“甲分得綠球，乙分得藍球”與事件“丙分得白球，丁分得紅球”可以同時發(fā)生，不是對立事件，C錯誤；事件“甲分得紅球”的對立事件是“甲沒有分得紅球”，因此乙、丙、丁三人中有一個人分得紅球，事件“乙分得紅球”發(fā)生的概率是，D正確.故選：BD10．ABC【分析】根據(jù)正弦定理以及三角形的性質(zhì)，即可判斷A，根據(jù)銳角三角形角的關(guān)系，以及三角函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B，根據(jù)余弦定理角化邊，即可判斷C，利用正弦定理，結(jié)合余弦定理，以及三角形的性質(zhì)，即可判斷D.【詳解】對于A，若，根據(jù)正弦定理得，結(jié)合三角形中“大邊對大角”，可得，故A項正確；對于B，若是銳角三角形，則?均為銳角，且，可得，兩邊取正弦得，即，故B項正確；對于C，若，則，去分母得，整理，可知是以為斜邊的直角三角形，故C項正確；對于D，若，則，即，由正弦定理得，可得，結(jié)合，可知為銳角，但不能得到是銳角三角形，故D項不正確.故選：ABC.11．BC【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量以及數(shù)量積、向量的模分析求解即可.【詳解】由題意，等腰梯形中是邊長為1的菱形，，設(shè)，在軸上.設(shè)..由，則.選項A.三點共線，直線方程為，將代入，即，化簡得，A錯誤.選項B.因為在菱形內(nèi)部及邊界，菱形四個頂點對應(yīng)為，四條邊界為，，，，故約束條件為，B正確.選項C.即，滿足條件且在菱形內(nèi)的點是單位圓上弧.，則，參數(shù)化，得，C正確.選項D.由，根據(jù)圓周角定理，的軌跡由以?為圓心的劣弧和以?為圓心的劣弧組合而成(不包含點E，C)，到圓心?距離為，圓的半徑為，最小值為??，到圓心?距離為，圓的半徑為，最大值為??，且，則的取值范圍是，D錯誤.12．14.5##【分析】先將數(shù)據(jù)從小到大排列，再根據(jù)百分位數(shù)求解方式求解即可.【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：11，12，13，13，13，14，15，15，16，17，又10×60%=6，所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為.故答案為：14.513．【分析】方法一：根據(jù)的面積等于面積與面積之和即可求解；方法二：利用直角三角形邊與角的關(guān)系表示出，再用正弦定理表示出即可求解.【詳解】解法1：的面積等于面積與面積之和，所以，即.于是.解法2：直角中，因為，所以.因為，所以.在中，由正弦定理可得，從而.所以.于是.故答案為：.14．【分析】根據(jù)相互獨立事件的概率公式求出奪冠，奪冠的概率，再由對立事件的概率關(guān)系和概率的對稱性可得解.【詳解】進入決賽的概率為，進入決賽的概率為，奪冠有兩種情況，進入決賽和沒進入決賽，所以奪冠的概率為，奪冠有兩種情況，進入決賽和沒進入決賽，所以奪冠的概率為，所以或奪冠的概率為，由概率的對稱性可得，奪冠的概率為.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）化簡得到，根據(jù)純虛數(shù)得到方程和不等式，求出，利用除法法則得到，求出模長；（2）化簡得到，根據(jù)所在象限，得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），∵是純虛數(shù)，，解得，，則；（2），復(fù)數(shù)，∵在復(fù)平面對應(yīng)的點在第一象限，，解得，實數(shù)的取值范圍是.16．(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)向量垂直以及向量的內(nèi)積公式求解即可.（2）根據(jù)向量的模以及向量內(nèi)積代入求解即可.（3）根據(jù)向量內(nèi)積以及向量的模不等式求解即可.【詳解】（1）已知，為單位向量，且，則，解得.因為，所以.（2）已知，則，化簡，又，，所以，解得或.（3）已知等式，展開得，代入?，整理得.，，代入得，設(shè)，不等式化為，解得.17．(1)25(2)3900(3)3900【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1求解，即可根據(jù)抽樣比求解，（2）根據(jù)中位數(shù)的計算公式即可求解.（3）根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可求解.【詳解】（1）因為，所以，月收入在的頻率為0.25，所以分層抽樣抽出100人中月收入在的人數(shù)為；（2）收入在的頻率是，收入在的頻率是，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在，且為（元）.（3）（元），所以平均數(shù)為3900元.18．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理化簡得到，再利用余弦定理，求得，進而求得的大小；（2）由正弦定理，可得，根據(jù)為銳角三角形，求得，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（3）設(shè)長度為，由，求得，得到，再由余弦定理，化簡得到，設(shè)，進而求得長度的最大值.【詳解】（1）因為，由正弦定理，可得，整理得，又由余弦定理，可得，又因為，所以.（2）由正弦定理，可得，因為為銳角三角形，且，可得，則，可得，則，所以，即，所以的取值范圍.（3）設(shè)長度為，由，可得，因為，可得，所以，可得，又由余弦定理得，所以，則，設(shè)，由，可得，所以長度的最大值為．19．(1)（i）；（ii）(2)．【分析】（1）（