小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè) 除數(shù)是一位數(shù)的除法 筆算除法（一）知識(shí)清單

小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)除數(shù)是一位數(shù)的除法筆算除法（一）知識(shí)清單一、核心概念建構(gòu)：從“分物”到“豎式”的數(shù)學(xué)建模【基礎(chǔ)】【核心素養(yǎng)】本課是整數(shù)除法從口算進(jìn)階到筆算的關(guān)鍵起點(diǎn)，其核心在于理解“為什么要從高位除起”以及“商的每一個(gè)數(shù)字是如何被確定的”。這不僅是技能的學(xué)習(xí)，更是數(shù)學(xué)建模思想的啟蒙。我們將通過(guò)“分小棒”這一直觀操作，建立與抽象豎式的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而深刻理解筆算除法的算理。本質(zhì)上，筆算除法是對(duì)“被除數(shù)”進(jìn)行層層分解的過(guò)程：先將整十部分進(jìn)行分配，剩余的部分再與個(gè)位合并，進(jìn)行第二次分配。這種“先分整十，再分剩余”的邏輯，正是除法豎式每一步運(yùn)算的現(xiàn)實(shí)依據(jù)。掌握本課內(nèi)容，將為后續(xù)學(xué)習(xí)一位數(shù)除三位數(shù)乃至多位數(shù)除法奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。二、教材與課標(biāo)定位：承上啟下的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)【重要】【課標(biāo)要求】本課對(duì)應(yīng)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》第二學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的具體要求。在知識(shí)體系上，它承接了二年級(jí)下冊(cè)的表內(nèi)除法（用乘法口訣求商）和三年級(jí)上冊(cè)的口算除法（如60÷3），同時(shí)也為本單元后續(xù)學(xué)習(xí)一位數(shù)除三位數(shù)（如256÷6）以及商的中間或末尾有0的除法做好鋪墊。課標(biāo)不僅要求掌握“如何算”的算法技能，更強(qiáng)調(diào)理解“為什么這樣算”的算理，能夠用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)計(jì)算過(guò)程，并在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)展運(yùn)算能力和推理意識(shí)。三、教材例1深度剖析：首位能整除（42÷2）【高頻考點(diǎn)】【方法指導(dǎo)】（一）情境導(dǎo)入與問(wèn)題提出教材通過(guò)“三年級(jí)平均每班種多少棵樹(shù)？”這一貼近學(xué)生生活的實(shí)際問(wèn)題，引出算式42÷2。這個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖在于讓學(xué)生體會(huì)除法在生活中的廣泛應(yīng)用，理解除法的平均分意義。（二）算理探究：操作與抽象的橋梁1.操作表征：拿出4捆（每捆10根）和2根小棒，代表42。平均分成2份。學(xué)生通過(guò)操作會(huì)發(fā)現(xiàn)，合理的分法是：先將4捆小棒（代表4個(gè)十）平均分成2份，每份得到2捆（代表2個(gè)十）；再將其余的2根小棒（代表2個(gè)一）平均分成2份，每份得到1根（代表1個(gè)一）。最終每份得到2捆和1根，即21根。2.符號(hào)表征（口算）：將操作過(guò)程轉(zhuǎn)化為口算：40÷2=20，2÷2=1，20+1=21。3.抽象表征（豎式）：將口算的分步過(guò)程，用豎式的形式規(guī)范、簡(jiǎn)潔地記錄下來(lái)。這是本課的難點(diǎn)。教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生將豎式的每一步與分小棒的動(dòng)作和口算的每一步嚴(yán)格對(duì)應(yīng)起來(lái)。（三）豎式書寫規(guī)范與每一步的含義以42÷2為例，豎式書寫需嚴(yán)格遵循以下步驟：1.寫除號(hào)：先寫“”，表示除號(hào)。把被除數(shù)42寫在除號(hào)里面，除數(shù)2寫在除號(hào)外面。2.除十位：從被除數(shù)的最高位（十位）除起。用2去除十位上的4，商是2。這個(gè)2表示2個(gè)十，所以要寫在被除數(shù)的十位（4的上面）。3.乘減十位：將商得的2與除數(shù)2相乘，積是4，表示從被除數(shù)中已經(jīng)分掉了4個(gè)十，寫在被除數(shù)十位4的下面。然后用4減4得0（這里的0為了簡(jiǎn)潔通常省略不寫，但要理解十位上的數(shù)已經(jīng)分完）。4.落個(gè)位：將被除數(shù)個(gè)位上的2落下來(lái)，表示除了整十部分，還有2個(gè)一需要繼續(xù)分。5.除個(gè)位：用2去除落下的2，商是1。這個(gè)1表示1個(gè)一，所以要寫在被除數(shù)的個(gè)位（2的上面）。6.乘減個(gè)位：將商得的1與除數(shù)2相乘，積是2，表示又從被除數(shù)中分掉了2個(gè)一，寫在落下來(lái)的2下面。然后用2減2得0（這個(gè)0要寫出來(lái)，表示全部除盡）。7.驗(yàn)算：檢查計(jì)算結(jié)果是否正確，可以用商和除數(shù)相乘，看是否等于被除數(shù)。即21×2=42。四、教材例2深度剖析：首位不能整除（52÷2）【難點(diǎn)】【熱點(diǎn)】（一）認(rèn)知沖突的產(chǎn)生算式52÷2，如果學(xué)生沿用例1的口算方法（50÷2=25，但50÷2不能用口訣直接得出，且不是整十?dāng)?shù)），會(huì)遇到困難。這就產(chǎn)生了學(xué)習(xí)新方法的必要性，凸顯了筆算的通用性和優(yōu)越性。（二）算理突破：如何分配“剩余”1.操作表征：拿出5捆（每捆10根）和2根小棒，代表52。平均分成2份。第一步：先分5捆。每份分得2捆（即2個(gè)十），共分掉4捆，還剩下1捆。第二步：關(guān)鍵步驟來(lái)了——剩下的1捆（代表1個(gè)十）不夠直接分成兩份，該怎么辦？必須將這1捆拆開(kāi)（即10個(gè)一），與剩下的2根合在一起，變成12根。第三步：再將這12根平均分成2份，每份分得6根（即6個(gè)一）。最終每份得到2捆和6根，即26根。2.抽象表征（豎式）：①除十位：用2去除被除數(shù)十位上的5，商2（表示2個(gè)十），寫在十位上。2乘2得4，寫在5下面，5減4得1。這個(gè)1就是分完后剩下的“1個(gè)十”。【易錯(cuò)點(diǎn)：這里必須有余數(shù)1，且一定要寫出來(lái)。】②合并落位：將個(gè)位上的2落下來(lái)，與十位上剩下的1個(gè)十合并，組成“12”。這個(gè)12表示12個(gè)一。③除個(gè)位：用2去除12，商6（表示6個(gè)一），寫在個(gè)位上。6乘2得12，寫在12下面，12減12得0。3.結(jié)論：52÷2=26。驗(yàn)算：26×2=52。（三）例1與例2的對(duì)比歸納通過(guò)對(duì)比，我們可以總結(jié)出筆算除法的核心通則：1.相同點(diǎn)：都是從被除數(shù)的最高位（十位）除起，除到哪一位，商就寫在那一位的上面。2.不同點(diǎn)：例2在除完十位后出現(xiàn)了余數(shù)，這個(gè)余數(shù)必須與下一位的數(shù)合并，再繼續(xù)除。這揭示了除法豎式中的一個(gè)核心原則：每一次除完后，余下的數(shù)必須比除數(shù)小，并且要和下一位落下來(lái)的數(shù)合并成新的數(shù)，再繼續(xù)除。五、算法模型歸納與解題步驟【必考】【核心要點(diǎn)】（一）一位數(shù)除兩位數(shù)（商是兩位數(shù)）的筆算方法1.一位數(shù)除兩位數(shù)（商是兩位數(shù)）的筆算方法：先用除數(shù)去除被除數(shù)十位上的數(shù)，如果有余數(shù)，要把余數(shù)和個(gè)位上的數(shù)合并，再用除數(shù)去除，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在那一位的上面。（二）標(biāo)準(zhǔn)解題步驟口訣（“三步走”策略）第一步：【商、乘、減】從高位除起。用除數(shù)試除被除數(shù)的前一位（十位）。如果十位上的數(shù)比除數(shù)大或相等，就直接除。商幾，就寫在那一位的上面。然后用商乘以除數(shù)，將積寫在被除數(shù)的下面，再相減，得到第一次的余數(shù)。第二步：【落】如果第一步有余數(shù)，將被除數(shù)個(gè)位上的數(shù)落下來(lái)，與這個(gè)余數(shù)組成一個(gè)新的數(shù)。第三步：【商、乘、減】用除數(shù)去除這個(gè)新的數(shù)。商幾，就寫在被除數(shù)個(gè)位的上面。再用商乘以除數(shù)，積寫在下面，相減。如果結(jié)果為零，表示除盡；如果不為零，且比除數(shù)小，就是最后的余數(shù)。（三）驗(yàn)算方法1.無(wú)余數(shù)除法：商×除數(shù)=被除數(shù)2.有余數(shù)除法（本課雖未重點(diǎn)涉及，但需建立意識(shí)）：商×除數(shù)+余數(shù)=被除數(shù)六、常見(jiàn)題型與考點(diǎn)全析【應(yīng)試指南】（一）基礎(chǔ)計(jì)算類1.直接寫出豎式并計(jì)算：如46÷2，63÷3，84÷4等。這是最基本的考查形式，要求書寫規(guī)范，步驟完整。2.計(jì)算并驗(yàn)算：如75÷3，91÷7。重點(diǎn)考查驗(yàn)算的格式和乘除法的互逆關(guān)系。（二）判斷改錯(cuò)類1.診斷“病題”：給出錯(cuò)誤的豎式，讓學(xué)生找出錯(cuò)誤并改正。常見(jiàn)的錯(cuò)誤包括：商的位置寫錯(cuò)（如把十位上的商寫在個(gè)位上）、忘記寫余數(shù)、余數(shù)比除數(shù)大、漏掉某一步的計(jì)算等。【典例分析】例如：計(jì)算52÷2，錯(cuò)誤寫法為：商2寫在個(gè)位，十位5下面寫4，余1，個(gè)位2落下來(lái)，商6寫在……（邏輯混亂）。正確應(yīng)為十位商2，個(gè)位商6。（三）填空題1.考查商的位數(shù)：如“48÷4的商是（）位數(shù)”。（答案是兩）2.考查算理：如“計(jì)算84÷4時(shí)，先用4去除（）位上的8，商（），表示（）個(gè)（）；余下的（）和個(gè)位上的（）合起來(lái)是（），再用4除，商（），表示（）個(gè)（）。”這類題目直指算理核心。3.考查余數(shù)的性質(zhì)：如“在算式□÷5=12……□中，余數(shù)最大是（），這時(shí)被除數(shù)是（）。”雖然本課以整除為主，但必須滲透余數(shù)要比除數(shù)小的概念。（四）解決問(wèn)題類1.平均分問(wèn)題：將總數(shù)平均分成若干份，求每份是多少。如“把84千克大米平均分給4個(gè)家庭，每個(gè)家庭分得多少千克？”2.包含除問(wèn)題：求一個(gè)數(shù)里面包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)。如“96人，每4人一組，可以分成多少組？”3.兩步計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題：如“一本書共92頁(yè)，小明計(jì)劃4天看完，他平均每天要看多少頁(yè)？”（一步除法即可解決，但會(huì)與其他知識(shí)點(diǎn)融合考查）七、易錯(cuò)點(diǎn)與難點(diǎn)突破【警示】【辨析】（一）易錯(cuò)點(diǎn)1：商的定位錯(cuò)誤【錯(cuò)誤表現(xiàn)】計(jì)算42÷2時(shí)，把商21寫成201之類的形式，或者在豎式中把商寫在錯(cuò)誤的位置上。【突破策略】反復(fù)強(qiáng)調(diào)“除到哪一位，商就寫在那一位的上面”。結(jié)合小棒圖，讓學(xué)生理解十位上的4除以2，得到的是2個(gè)“十”，所以這個(gè)“2”必須寫在十位上，代表20；個(gè)位上的2除以2，得到的是1個(gè)“一”，所以“1”寫在個(gè)位上。（二）易錯(cuò)點(diǎn)2：忽視余數(shù)，或忘記將余數(shù)與下一位合并【錯(cuò)誤表現(xiàn)】計(jì)算52÷2時(shí)，十位5除以2商2余1后，忘記這個(gè)1，直接用個(gè)位的2除以2，得出商21。【突破策略】利用小棒圖重點(diǎn)演示“剩下的1捆必須拆開(kāi)，和2根合并”的過(guò)程。在豎式上，要強(qiáng)調(diào)“落”這個(gè)動(dòng)作，并引導(dǎo)學(xué)生思考：這個(gè)落下來(lái)的數(shù)為什么要和上面的余數(shù)緊緊挨著寫？因?yàn)樗鼈円M成一個(gè)新的數(shù)。（三）易錯(cuò)點(diǎn)3：數(shù)位不對(duì)齊，書寫潦草【錯(cuò)誤表現(xiàn)】豎式書寫雜亂，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)減錯(cuò)或加錯(cuò)。【突破策略】從一開(kāi)始就嚴(yán)格要求書寫規(guī)范。使用方格紙或活頁(yè)紙進(jìn)行練習(xí)，要求數(shù)字上下對(duì)齊，橫線用尺子畫。良好的書寫習(xí)慣是計(jì)算準(zhǔn)確率的保障。（四）難點(diǎn)突破：從高位除起的“反常識(shí)”【學(xué)生困惑】之前學(xué)加減法豎式都是從個(gè)位（低位）算起，為什么除法要從高位算起？【解釋策略】用生活實(shí)例解釋。比如分蘋果，你有36個(gè)蘋果（3盒+6個(gè)），要分給2個(gè)小朋友。你一定會(huì)先分整盒的（30個(gè)），每人一盒（10個(gè)），還剩一盒（10個(gè)）不夠分，于是拆開(kāi)盒子和零散的6個(gè)一起分。你絕不會(huì)先把零散的6個(gè)分了，再去拆盒子。所以，從高位除起，更符合我們?nèi)粘Ｉ钪小跋确执蠓荩俜中》荨钡乃季S習(xí)慣和操作邏輯。八、思維拓展與跨學(xué)科融合【跨學(xué)科視野】【高階思維】（一）滲透“數(shù)形結(jié)合”思想本課是小棒圖（形）與豎式（數(shù)）完美結(jié)合的典范。通過(guò)“形”的直觀，理解“數(shù)”的抽象；通過(guò)“數(shù)”的精確，固化“形”的過(guò)程。這是小學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一。（二）除法與逆向思維驗(yàn)算過(guò)程（商×除數(shù)=被除數(shù)）是逆向思維（乘除互逆）的體現(xiàn)。在解決一些填空題時(shí)，如“（）÷3=23”，就需要利用這種逆向思維，通過(guò)乘法求出被除數(shù)。（三）規(guī)律探索（學(xué)有余力者）觀察一組算式：42÷2=21，63÷3=21，84÷4=21。你發(fā)現(xiàn)了什么？（被除數(shù)和除數(shù)都擴(kuò)大2倍，商不變？）初步滲透“商不變的規(guī)律”，但僅限