重慶市西北狼教育聯盟2023-2024學年高一上學期開學考試數學試題

2023-2024學年重慶市西北狼教育聯盟高一（上）開學數學試卷一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側正確答案所對應的方框涂黑．1．（4分）9的相反數是（）A． B．﹣9 C． D．92．（4分）如圖圖案是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）如圖，平行線AB，CD被直線EF所截，FG平分∠EFD交AB于點G，若∠EFD＝70°，則∠EGF的度數是（）A．35° B．55° C．70° D．110°4．（4分）若△ABC∽△DEF，相似比為3：2，則對應邊上的高之比為（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：95．（4分）反比例函數的圖象經過點（2，﹣3），下列各點在該圖象上的是（）A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（4，﹣6）6．（4分）估計的值應在（）A．6和7之間 B．7和8之間 C．8和9之間 D．9和10之間7．（4分）用大小相同的圓點擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規律擺放，則第10個圖案中共有圓點個數是（）A．59 B．65 C．70 D．718．（4分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠C＝25°，則∠BAO的度數為?（）A．25° B．50° C．60° D．65°9．（4分）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．E、F分別為AC、BD上一點，且OE＝OF，連接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，則∠OBE的度數為?（）A．15° B．20° C．25° D．30°10．（4分）已知a＞b＞0＞c＞d＞e，對多項式a﹣b﹣c﹣d﹣e任意添加絕對值運算（不可添加為單個字母的絕對值或絕對值中含有絕對值的情況）后仍只含減法運算，稱這種操作為“絕對領域”，例如：a﹣|b﹣c﹣d|﹣e，a﹣|b﹣c|﹣|d﹣e|等，下列相關說法正確的個數是（）①一定存在一種“絕對領域”操作使得操作后的式子化簡的結果為非負數；②一定存在一種“絕對領域”操作使得操作后的式子化簡的結果與原式互為相反數；③進行“絕對領域”操作后的式子化簡的結果可能有11種結果．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上．11．（4分）計算：＝．12．（4分）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，在正五邊形ABCDE中，過點B作AB的垂線交CD于點F，則∠FBC的度數為°．13．（4分）中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國傳統文化的重要組成部分，若從這四部著作中隨機抽取兩本（先隨機抽取一本，不放回，再隨機抽取另一本），則抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的概率是．14．（4分）為增強學生身體素質，提高學生足球運動競技水平，我市開展“市長杯”足球比賽，賽制為單循環形式（每兩隊之間賽一場）．現計劃安排21場比賽，應邀請多少個球隊參賽？設邀請x個球隊參賽，則方程可列為．15．（4分）如圖，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上兩點，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，則AD的長為．16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以點C為圓心，CB長為半徑畫弧交AC、AB于點E和D，則陰影部分圖形的面積是（結果保留π）．17．（4分）若關于y的不等式組的解集為y≤0，且數a使關于x的分式方程的解為非負數，則符合條件的所有整數a的和為．18．（4分）一個四位自然數M，它的各個數位上的數字均不為0，我們把它的百位數字作為十位，十位數字作為個位組成一個新的兩位數，若這個兩位數大于M的千位數字與個位數字的和，就把這個數M稱為“心愿數”；若這個兩位數還能被M的千位數字與個位數字的和整除，就稱這個數M為“愿歸數”例如，M＝3456，∵45＞3+6，且45÷（3+6）＝5，3456為“愿歸數”．現有一個四位自然數M＝1000a+100b+10c+d，其中1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，a、b、c、d都是整數，且c＞d．若M為“愿歸數”，其中，記F（M）＝10（a+b）+3c．若F（M）能被7整除，則符合條件的自然數M的最大值為．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上．19．（8分）計算：（1）（x+2）2+x（x﹣4）；（2）．20．（10分）小明在學習矩形時發現：在矩形ABCD中，點E是BC邊上一點，過點E作EF⊥AE交邊CD于點F，若BE＝CF，則DE平分∠ADC．他的證明思路是：利用矩形的性質得三角形全等，再利用邊角轉化使問題得以解決．請根據小明的思路完成以下作圖與填空．（1）用直尺和圓規，過點E作AE的垂線交CD于點F．（只保留作圖痕跡）（2）已知：如圖，在矩形ABCD中，點E是BC邊上一點，過點E作EF⊥AE交邊CD于點F，BE＝CF求證：DE平分∠ADC證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，AD∥BC，∴∠1+∠2＝°．∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠2+∠CEF＝90°，∴．又∵∠B＝∠C，，∴△ABE≌（A．A．S）．∴AB＝EC．又∵AB＝CD，∴EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE．∵，∴∠CED＝∠ADE．∴∠CDE＝∠ADE．∴DE平分∠ADC．21．（10分）“防溺水”是校園安全教育工作的重點之一．某校為確保學生安全，開展了“遠離溺水?珍愛生命”的防溺水安全知識競賽．現從該校七、八年級中各隨機抽取10名學生的競賽成績（百分制）進行整理和分析（成績得分用x表示，共分成四組：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x＜100），下面給出了部分信息：七年級10名學生的競賽成績是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．八年級10名學生的競賽成績在C組中的數據是：92，92，94，94．七、八年級抽取的學生競賽成績統計表八年級抽取的學生競賽成績扇形統計圖年級平均數中位數眾數方差七年級9296b28.6八年級92m9828根據以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中a＝，b＝，m＝；（2）根據以上數據，你認為該校七、八年級中哪個年級學生掌握防溺水安全知識較好？請說明理由（一條理由即可）；（3）該校七、八年級共1200人參加了此次競賽活動，估計參加此次競賽活動成績優秀（x≥95）的學生人數是多少？22．（10分）某學校建立了勞動基地，計劃在基地上種植A、B兩種苗木共6000株，其中A種苗木的數量比B種苗木的數量的一半多600株．（1）請問A、B兩種苗木各多少株？（2）如果學校安排350人同時開始種植這兩種苗木，每人每天平均能種植A種苗木50株或B種苗木30株，應分別安排多少人種植A種苗木和B種苗木，才能確保同時完成任務？23．（10分）如圖，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，動點P從點A出發，沿著A→B→C運動，到點C時停止運動（動點P不與點A，C重合），設點P的運動路程為x，△AOP的面積為y．（1）直接寫出y與x之間的函數關系式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在直角坐標系中畫出y與x的函數圖象，并寫出該函數的一條性質；（3）結合函數圖象，寫出面積為3時x的值．24．（10分）為了美化環境，提高民眾的生活質量，市政府在三角形花園ABC邊上修建一個四邊形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如圖，點C在點A的正東方向170米處，點E在點A的正北方向，點B、D都在點C的正北方向，BD長為100米，點B在點A的北偏東30°方向，點D在點E的北偏東58°方向．（1）求步道DE的長度．（2）點D處有一個小商店，某人從點A出發沿人行步道去商店購物，可以經點B到達點D，也可以經點E到達點D，請通過計算說明他走哪條路較近．（結果精確到個位）（參考數據：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）25．（10分）拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）交x軸于A（﹣4，0）、B（1，0）兩點，交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P在直線AC上方且為拋物線對稱軸左側拋物線上一動點，過點P作х軸的平行線交拋物線于點D，過點P作y軸的平行線交AC于點H，求PD+PH的最大值及此時點P的坐標；（3）將拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）先向右平移個單位，再向上平移個單位得新拋物線，在新拋物線對稱軸上找一點M，在新拋物線上找一點N，直接寫出所有使得以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐標．26．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，將線段CB繞點C旋轉α（0°＜α＜180°），得到線段CD，連接AD，BD．（1）如圖1，若將線段CB繞點C逆時針旋轉30°得到線段CD，線段CD，AB交于點E，求證：BD＝BE；（2）如圖2，將線段CB繞點C順時針旋轉α時，若∠ACD的平分線CF交AD于點G，交DB的延長線于點F，連接AF．求證：；（3）在（2）的條件下，取AB的中點M，如圖3，連接FM和DM，請直接寫出的最大值．

2023-2024學年重慶市西北狼教育聯盟高一（上）開學數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側正確答案所對應的方框涂黑．1．（4分）9的相反數是（）A． B．﹣9 C． D．9【考點】有理數指數冪及根式．【答案】B【分析】根據相反數的定義即可求出答案．【解答】解：9的相反數是﹣9．故選：B．2．（4分）如圖圖案是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】函數的圖象與圖象的變換；歸納推理．【答案】B【分析】根據題意，由中心對稱的定義依次分析選項，即可得答案．【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；對于B，是中心對稱圖形，符合題意；對于C，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；對于D，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：B．3．（4分）如圖，平行線AB，CD被直線EF所截，FG平分∠EFD交AB于點G，若∠EFD＝70°，則∠EGF的度數是（）A．35° B．55° C．70° D．110°【考點】相似三角形的性質．【答案】A【分析】結合平行線的性質求解即可．【解答】解：已知FG平分∠EFD交AB于點G，又∠EFD＝70°，則∠GFD＝35°，又AB∥CD，則∠EGF＝∠GFD＝35°．故選：A．4．（4分）若△ABC∽△DEF，相似比為3：2，則對應邊上的高之比為（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9【考點】三角形中的幾何計算．【答案】A【分析】根據相似三角形的高之比等于相似比，即可得解．【解答】解：由相似三角形的性質知，三角形的高之比等于相似比，所以對應邊上的高之比為3：2．故選：A．5．（4分）反比例函數的圖象經過點（2，﹣3），下列各點在該圖象上的是（）A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（4，﹣6）【考點】函數的圖象與圖象的變換．【答案】C【分析】根據題意，將點（2，﹣3）的坐標代入函數解析式，求出k的值，由此分析選項，即可得答案．【解答】解：根據題意，反比例函數的圖象經過點（2，﹣3），即﹣3＝，解可得k＝﹣6，則函數的解析式為y＝﹣，由此可得：點（﹣2，3）在函數的圖象上，點（﹣3，﹣2）、（3，2）、（4，﹣6）不在函數的圖象．故選：C．6．（4分）估計的值應在（）A．6和7之間 B．7和8之間 C．8和9之間 D．9和10之間【考點】有理數指數冪及根式．【答案】C【分析】由已知結合根式的運算即可求解．【解答】解：＝2×3+＝6+．因為2＜＜3，所以8＜6+＜9．故選：C．7．（4分）用大小相同的圓點擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規律擺放，則第10個圖案中共有圓點個數是（）A．59 B．65 C．70 D．71【考點】數列的應用；歸納推理．【答案】C【分析】根據題意，設第n個圖案中，圓點的個數為an，歸納分析可得：an﹣an﹣1＝n+1（n≥2且n∈Z），由累加法可得an的表達式，進而計算可得答案．【解答】解：根據題意，設第n個圖案中，圓點的個數為an，則a1＝7，a2＝10，a3＝14，a4＝19，則有a2﹣a1＝3，a3﹣a2＝4，a4﹣a3＝5，……歸納可得：an﹣an﹣1＝n+1（n≥2且n∈Z），則有an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+……+（a2﹣a1）+a1＝（n+1）+n+（n﹣1）+……+3+7＝+7；故a10＝+7＝70，即第10個圖案中有70個圓點．故選：C．8．（4分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠C＝25°，則∠BAO的度數為?（）A．25° B．50° C．60° D．65°【考點】圓周角定理．【答案】D【分析】利用同弧所對的圓心角與圓周角的關系并結合等腰三角形性質可求內角．【解答】解：如圖所示，連接BO，易知，又△ABO是等腰三角形，所以．故選：D．9．（4分）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．E、F分別為AC、BD上一點，且OE＝OF，連接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，則∠OBE的度數為?（）A．15° B．20° C．25° D．30°【考點】三角形中的幾何計算；相似三角形的性質．【答案】B【分析】利用正方形的對角線互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性質，三角形的內角和定理和全等三角形的判定與性質解答，即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF為等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠FAO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF≌△BOE（SAS），∴∠EBO＝∠FAO＝20°．故選：B．10．（4分）已知a＞b＞0＞c＞d＞e，對多項式a﹣b﹣c﹣d﹣e任意添加絕對值運算（不可添加為單個字母的絕對值或絕對值中含有絕對值的情況）后仍只含減法運算，稱這種操作為“絕對領域”，例如：a﹣|b﹣c﹣d|﹣e，a﹣|b﹣c|﹣|d﹣e|等，下列相關說法正確的個數是（）①一定存在一種“絕對領域”操作使得操作后的式子化簡的結果為非負數；②一定存在一種“絕對領域”操作使得操作后的式子化簡的結果與原式互為相反數；③進行“絕對領域”操作后的式子化簡的結果可能有11種結果．A．0 B．1 C．2 D．3【考點】進行簡單的合情推理；命題的真假判斷與應用．【答案】C【分析】根據“絕對領域”的定義求解即可．【解答】解：∵0＞c＞d＞e，∴只需a，b減去c，d，e，結果一定是非負數，例如：|a﹣b|﹣c﹣d﹣e，故①正確；a﹣b﹣c﹣d﹣e的相反數為﹣a+b+c+d+e，∵a＞b＞0＞c＞d＞e，∴加絕對值無法將a變為﹣a，即不存在與原式互為相反數的可能，故②錯誤；∵a＞b＞0＞c＞d＞e，列舉法可得：|a﹣b|﹣c﹣d﹣e，|a﹣b|﹣|c﹣d|﹣e，|a﹣b|﹣|c﹣d﹣e|，a﹣|b﹣c|﹣d﹣e，a﹣|b﹣c﹣d|﹣e，a﹣|b﹣c﹣d﹣e|，a﹣b﹣|c﹣d﹣e|，a﹣b﹣|c﹣d|﹣e，a﹣b﹣c﹣ld﹣e|，|a﹣b|﹣c﹣|d﹣e|，a﹣|b﹣c|﹣|d﹣e|，共11種，故③正確，綜上，正確的說法有①③，共2個．故選：C．二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上．11．（4分）計算：＝2．【考點】有理數指數冪及根式．【答案】2．【分析】由已知結合指數冪的運算性質即可求解．【解答】解：＝1+1＝2．故答案為：2．12．（4分）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，在正五邊形ABCDE中，過點B作AB的垂線交CD于點F，則∠FBC的度數為18°．【考點】相似三角形的性質．【答案】18．【分析】由∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF求解即可．【解答】解：已知五邊形ABCDE是正五邊形，則∠ABC＝108°，又∠ABF＝90°，則∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝108°﹣90°＝18°．故答案為：18．13．（4分）中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國傳統文化的重要組成部分，若從這四部著作中隨機抽取兩本（先隨機抽取一本，不放回，再隨機抽取另一本），則抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的概率是．【考點】古典概型及其概率計算公式．【答案】．【分析】利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：把《論語》《孟子》《大學》《中庸》分別記為A、B、C、D，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的情況，其中抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的結果有2種，即AC、CA，所以抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的概率是．故答案為：．14．（4分）為增強學生身體素質，提高學生足球運動競技水平，我市開展“市長杯”足球比賽，賽制為單循環形式（每兩隊之間賽一場）．現計劃安排21場比賽，應邀請多少個球隊參賽？設邀請x個球隊參賽，則方程可列為．【考點】排列、組合及簡單計數問題．【答案】．【分析】利用排列組合即可求解．【解答】解：由題意x滿足方程：．故答案為：．15．（4分）如圖，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上兩點，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，則AD的長為7．【考點】三角形中的幾何計算；點、線、面間的距離計算；與圓有關的比例線段．【答案】7．【分析】只要證明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，推出AD＝AF+DF，即可得出答案．【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，∵EF＝2，∴AD＝AF+DF＝6+（3﹣2）＝7．故答案為：7．16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以點C為圓心，CB長為半徑畫弧交AC、AB于點E和D，則陰影部分圖形的面積是（結果保留π）．【考點】扇形面積公式．【答案】．【分析】連接CD，直接利用扇形面積減去三角形面積求解即可．【解答】解：連接CD，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以點C為圓心，CB長為半徑畫弧交AC、AB于點E和D，∴∠DBC＝60°＝，∴△BCD為等邊三角形，∴陰影部分圖形的面積S＝S扇形BCD﹣S△BCD＝×22×﹣×sin60°＝﹣．故答案為：．17．（4分）若關于y的不等式組的解集為y≤0，且數a使關于x的分式方程的解為非負數，則符合條件的所有整數a的和為12．【考點】其他不等式的解法．【答案】12．【分析】先求解一元一次不等式組，然后結合分式方程的解的范圍可求a的范圍，進而可求．【解答】解：由不等式組，可得，因為不等式組的解集為y≤0，故a＞0，因為分式方程的解為非負數，所以x＝≥0且x＝≠1，解得a≤5且a≠3，綜上，0＜a＜3或3＜a≤5，故符合條件的整數a有1，2，4，5，和為12．故答案為：12．18．（4分）一個四位自然數M，它的各個數位上的數字均不為0，我們把它的百位數字作為十位，十位數字作為個位組成一個新的兩位數，若這個兩位數大于M的千位數字與個位數字的和，就把這個數M稱為“心愿數”；若這個兩位數還能被M的千位數字與個位數字的和整除，就稱這個數M為“愿歸數”例如，M＝3456，∵45＞3+6，且45÷（3+6）＝5，3456為“愿歸數”．現有一個四位自然數M＝1000a+100b+10c+d，其中1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，a、b、c、d都是整數，且c＞d．若M為“愿歸數”，其中，記F（M）＝10（a+b）+3c．若F（M）能被7整除，則符合條件的自然數M的最大值為5883．【考點】進行簡單的合情推理．【答案】5883．【分析】根據F（M）能被7整除，推出b＝c＝a+d，進而得出c＞a，再根據F（M）＝10（a+b）+3c＝10a+13c＝7（a+c）+3（a+2c），結合1≤a≤9，1≤c≤9得出a+2c≤27，則a+2c＝7，14，21，求解該二元一次方程，排除不符合條件的情況即可．【解答】解：因為1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，M的各個數位上的數字均不為0，∴10b+c≤99，a+d≠1，∵，則．∴10b+c能被11整除，∴10b+c＝22，33，44，55，66，77，88，99，則b＝c＝a+d，∴F（M）＝10（a+b）+3c＝10a+13c，∵F（M）能被7整除，∴F（M）＝7a+7c+3a+6b＝7（a+c）+3（a+2c）能被7整除，∴a+2c能被7整除，∵1≤a≤9，1≤c≤9，∴a+2c≤27，∴a+2c＝7，14，21，∵b＝c＝a+d，∴c＞a，①a+2c＝7時，解得：，∴d＝c﹣a＝2，∴M＝1332，②a+2c＝14時，解得：，∴d1＝c1﹣a1＝4，d2＝c2﹣a2＝1，∴M＝2664，4551，③a+2c＝21時，解得：，，∴d3＝c3﹣a3＝6，d4＝c4﹣a4＝3∴M＝3996，5883，綜上：M＝1332，2664，4551，3996，5883，∴自然數M的最大值為5883．故答案為：5883．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上．19．（8分）計算：（1）（x+2）2+x（x﹣4）；（2）．【考點】有理數指數冪及根式．【答案】（1）2x2+4；（2）．【分析】進行多項式的運算即可．【解答】解：（1）原式＝x2+4x+4+x2﹣4x＝2x2+4；（2）原式＝＝．20．（10分）小明在學習矩形時發現：在矩形ABCD中，點E是BC邊上一點，過點E作EF⊥AE交邊CD于點F，若BE＝CF，則DE平分∠ADC．他的證明思路是：利用矩形的性質得三角形全等，再利用邊角轉化使問題得以解決．請根據小明的思路完成以下作圖與填空．（1）用直尺和圓規，過點E作AE的垂線交CD于點F．（只保留作圖痕跡）（2）已知：如圖，在矩形ABCD中，點E是BC邊上一點，過點E作EF⊥AE交邊CD于點F，BE＝CF求證：DE平分∠ADC證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，AD∥BC，∴∠1+∠2＝90°．∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠2+∠CEF＝90°，∴∠1＝∠FEC．又∵∠B＝∠C，BE＝CF，∴△ABE≌△ECF（A．A．S）．∴AB＝EC．又∵AB＝CD，∴EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE．∵AD∥BC，∴∠CED＝∠ADE．∴∠CDE＝∠ADE．∴DE平分∠ADC．【考點】相似三角形的性質．【答案】（1）圖象見解析；（2）90°；∠1＝∠FEC；BE＝CF；△ECF；AD∥BC．【分析】（1）利用尺規作圖即可；（2）利用直角三角形性質和三角形全等的判定及性質即可求解．【解答】解：（1）作圖如下：（2）90°；∠1＝∠FEC；BE＝CF；△ECF；AD∥BC．21．（10分）“防溺水”是校園安全教育工作的重點之一．某校為確保學生安全，開展了“遠離溺水?珍愛生命”的防溺水安全知識競賽．現從該校七、八年級中各隨機抽取10名學生的競賽成績（百分制）進行整理和分析（成績得分用x表示，共分成四組：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x＜100），下面給出了部分信息：七年級10名學生的競賽成績是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．八年級10名學生的競賽成績在C組中的數據是：92，92，94，94．七、八年級抽取的學生競賽成績統計表八年級抽取的學生競賽成績扇形統計圖年級平均數中位數眾數方差七年級9296b28.6八年級92m9828根據以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中a＝30，b＝96，m＝93；（2）根據以上數據，你認為該校七、八年級中哪個年級學生掌握防溺水安全知識較好？請說明理由（一條理由即可）；（3）該校七、八年級共1200人參加了此次競賽活動，估計參加此次競賽活動成績優秀（x≥95）的學生人數是多少？【考點】眾數、中位數、平均數；頻率分布直方圖．【答案】（1）30，96，93；（2）答案見解析；（3）540人．【分析】（1）由題意，根據統計圖求出a的值，結合眾數和中位數的定義即可求出b和m的值；（2）根據平均數和眾數進行比較即可；（3）分別求出兩年級競賽活動成績優秀的人數，代入公式中即可求解．【解答】解：（1）已知七年級10名學生的競賽成績是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96，其中成績為96的出現的次數最多，所以眾數為96，此時b＝96，因為八年級10名學生的競賽成績在C組中共有4組數據，占總數據的40%，所以a＝1﹣20﹣10﹣40＝30，因為八年級10名學生的競賽成績的中位數是第5和第6個數據的平均數，又A組中有2個學生，B組中有1個學生，所以m＝＝93；（2）八年級學生掌握防溺水安全知識較好，理由：雖然兩個年級的平均分相同，但是八年級的眾數高于七年級；（3）易知七年級D組有6人，八年級D組有3人，所以參加此次競賽活動成績優秀（x≥95）的學生人數為1200×＝540（人）．22．（10分）某學校建立了勞動基地，計劃在基地上種植A、B兩種苗木共6000株，其中A種苗木的數量比B種苗木的數量的一半多600株．（1）請問A、B兩種苗木各多少株？（2）如果學校安排350人同時開始種植這兩種苗木，每人每天平均能種植A種苗木50株或B種苗木30株，應分別安排多少人種植A種苗木和B種苗木，才能確保同時完成任務？【考點】根據實際問題選擇函數類型．【答案】（1）A苗木的數量是2400棵，B苗木的數量是3600棵．（2）安排100人種植A苗木，250人種植B苗木，才能確保同時完成任務．【分析】（1）設A苗木的數量是x棵，則B苗木的數量是y棵，列出方程組，求解即可．（2）設安排a人種植A苗木，則安排（350﹣a）人種植B苗木，列出方程求解即可．【解答】解：（1）學校建立了勞動基地，計劃在基地上種植A、B兩種苗木共6000株，其中A種苗木的數量比B種苗木的數量的一半多600株．設A苗木的數量是x棵，則B苗木的數量是y棵，根據題意可得：，解得：，答：A苗木的數量是2400棵，B苗木的數量是3600棵．（2）設安排a人種植A苗木，則安排（350﹣a）人種植B苗木，根據題意可得：，解得，a＝100，經檢驗，a＝100是原方程的解，∴350﹣a＝250，答：安排100人種植A苗木，250人種植B苗木，才能確保同時完成任務．23．（10分）如圖，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，動點P從點A出發，沿著A→B→C運動，到點C時停止運動（動點P不與點A，C重合），設點P的運動路程為x，△AOP的面積為y．（1）直接寫出y與x之間的函數關系式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在直角坐標系中畫出y與x的函數圖象，并寫出該函數的一條性質；（3）結合函數圖象，寫出面積為3時x的值．【考點】根據實際問題選擇函數類型；函數解析式的求解及常用方法；函數的圖象與圖象的變換．【答案】（1）；（2）圖象見解答；（3）2.5或7.5．【分析】（1）求得菱形的邊長，討論當0≤x≤5，5＜x≤10時，應用三角形的面積公式可得所求函數的解析式；（2）由分段函數的圖象畫法，可得圖象，寫出函數的最值即可；（3）由圖象觀察y＝3時的兩個交點即可．【解答】解：（1）在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，可得AC⊥BD，AB＝BC＝＝5，當0≤x≤5時，，當5＜x≤10時，．∴；（2）作圖如下：性質：當0≤x≤10時，函數有最大值6；（3）當y＝3時，x＝2.5或7.5．24．（10分）為了美化環境，提高民眾的生活質量，市政府在三角形花園ABC邊上修建一個四邊形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如圖，點C在點A的正東方向170米處，點E在點A的正北方向，點B、D都在點C的正北方向，BD長為100米，點B在點A的北偏東30°方向，點D在點E的北偏東58°方向．（1）求步道DE的長度．（2）點D處有一個小商店，某人從點A出發沿人行步道去商店購物，可以經點B到達點D，也可以經點E到達點D，請通過計算說明他走哪條路較近．（結果精確到個位）（參考數據：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）【考點】解三角形．【答案】（1）200米；（2）A→B→D這條路較近，理由請見解答．【分析】（1）過點D作DF⊥AE的延長線于點F，易證四邊形ACDF為矩形，再在Rt△DFE中，由DE＝，得解；（2）先在Rt△ABC中，求出AB和BC的長，從而知AB+BD，再利用四邊形ACDF為矩形，根據三角函數的知識，求得AE+ED，比較兩者的大小，即可得解．【解答】解：（1）過點D作DF⊥AE的延長線于點F，如圖所示，∵點C在點A的正東方向170米處，點E在點A的正北方向，點B、D都在點C的正北方向，∴AE⊥AC，DC⊥AC，∵DF⊥AF，∴∠EAC＝∠BCA＝∠DFE＝90°，∴四邊形ACDF為矩形，∴DF＝AC＝170米，在Rt△DFE中，DE＝＝200米，∴步道DE的長度為200米．（2）A→B→D這條路較近，理由如下：∵∠EAB＝30°，∠EAC＝90°，∴∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，米，BC＝ACtan60°≈170×1.73＝294.1米，∴AB+BD＝340+100＝440米，∵四邊形ACDF為矩形，∴AF＝CD＝BC+BD＝294.1+100＝394.1米，在Rt△DFE中，EF＝≈＝106.25米，∴AE＝AF﹣EF＝394.1﹣106.25＝287.85米，∴AE+ED＝287.85+200＝487.85≈488米＞440米，即AE+ED＞AB+BD，∴A→B→D這條路較近．25．（10分）拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）交x軸于A（﹣4，0）、B（1，0）兩點，交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P在直線AC上方且為拋物線對稱軸左側拋物線上一動點，過點P作х軸的平行線交拋物線于點D，過點P作y軸的平行線交AC于點H，求PD+PH的最大值及此時點P的坐標；（3）將拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）先向右平移個單位，再向上平移個單位得新拋物線，在新拋物線對稱軸上找一點M，在新拋物線上找一點N，直接寫出所有使得以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐標．【考點】二次函數的性質與圖象．【答案】（1）；（2）；（3）M（0，﹣10）．【分析】（1）由已知把點A，B的坐標代入可求a，b，進而可求函數解析式；（2）先求出直線AC的解析式，結合已知拋物線的解析式，聯立方程可表示P，H，D的坐標，進而可表示PD+PH，然后結合二次函數的性質可求；（3）由已知結合已知平行四邊形的對角線位置進行分類討論，然后結合距離公式可求．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0），B（1，0）兩點，∴代入得，解得a＝﹣，b＝，故函數解析式為：；（2）設經過A、C的直線解析式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線AC的解析式為：，∵拋物線解析式為，∴對稱軸，設點，點，則．∴，即，∴當時，PD+PH有最大值為．將代入，得：．∴此時點；（3）平移后的拋物線解析式為，∴設M（0，m），，①當CN為對角線，如圖，四邊形ACM1N1為平行四邊形，∴，∴N（﹣4，﹣7），∵AN1＝CM1，∴，即7＝3﹣m，∴m＝﹣4，即此時M（0，﹣4）；②當AC為對角線時，