吉林省吉林市部分校2025-2026學(xué)年高一下學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第頁，共頁吉林省吉林市樺甸市第四中學(xué)、磐石市第一中學(xué)校等2025-2026學(xué)年高一下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．2．已知向量，.若，則的值為（

）A．1 B． C． D．3．已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．4．已知，在上的投影為，則（

）A． B． C． D．5．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且，則（

）A． B． C． D．6．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（

）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α與β相交，且交線垂直于 D．α與β相交，且交線平行于7．從裝有2個紅色乒乓球和3個白色乒乓球的口袋內(nèi)任取3個球，那么是互斥事件而不是對立事件的兩個事件是（

）A．恰有1個白色乒乓球與至少2個白色乒乓球B．至少2個白色乒乓球與都是白色乒乓球C．至少1個白色乒乓球與至少1個紅色乒乓球D．恰有1個紅色乒乓球與恰有1個白色乒乓球8．若非零向量與滿足，且，則為（

）A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．底邊和腰不相等的等腰三角形D．等邊三角形二、多選題9．一組數(shù)據(jù)：0，1，5，6，7，11，12，則（

）A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6 B．這組數(shù)據(jù)的方差為16C．這組數(shù)據(jù)的極差為11 D．這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為710．在中，角所對的邊分別為，根據(jù)下列條件解三角形，其中僅有一解的有（

）A．，， B．，，C．，， D．，，11．如圖，已知圓臺的一個軸截面為為弧的中點，，圓臺的體積為，則（

）A．B．異面直線與所成的角為C．過三點的平面與圓臺下底面的交線長為D．二面角的正切值為三、填空題12．從這4個數(shù)中一次隨機抽取兩個數(shù)，則所取兩個數(shù)之和為9的概率是__________.13．在中，，若此三角形恰有兩解，則BC邊長度的取值范圍為___________．14．已知，，為球的球面上的三個點，若，，球的表面積為，則三棱錐的體積的最大值為___________．四、解答題15．已知向量．(1)求；(2)設(shè)向量的夾角為，求的值．16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，PA為點P到平面ABCD的距離，，，，點E、M分別在線段AB、PC上，其中E是AB中點，，連接ME.(1)當(dāng)時，證明：直線平面PAD；(2)當(dāng)時，求三棱錐的體積.17．已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且(1)求；(2)若，且△ABC的面積為，求.18．今年是國家安全法頒布十周年，4月15日迎來了第十個全民國家安全教育日．某大學(xué)團委組織開展了2025年全民國家安全教育知識競答活動，旨在踐行總體國家安全觀，增強全民國家安全意識和素養(yǎng)．該活動共有200名學(xué)生參加，現(xiàn)將所有答案卷面成績統(tǒng)計分成五段，分別為，并作出如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中x的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，求這200名學(xué)生成績的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；(3)已知學(xué)生成績落在的平均數(shù)是77，方差是5；落在的平均數(shù)是84，方差是5．求這兩組數(shù)據(jù)的總方差．附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均數(shù)為，則總體樣本方差．19．如圖，在直三棱柱中，.

(1)求證：；(2)求與平面所成的角的大小.

參考答案題號12345678910答案ADBCBDDDADABD題號11答案AB1．A解析：，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為．2．D解析：由，得，解得.故選：D.3．B解析：設(shè)該圓錐的底面圓半徑為，所以，解得，所以該圓錐的高，所以該圓錐的體積．故選：B．4．C解析：因為，在上的投影為，可得，所以.故選：C.5．B解析：由，根據(jù)正弦定理得，設(shè)，可得，故選：B.6．D解析：試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論．7．D解析：恰有1個白色乒乓球與至少2個白色乒乓球是對立事件，故A錯誤；至少2個白色乒乓球與都是白色乒乓球可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故B錯誤；至少1個白色乒乓球與至少1個紅色乒乓球可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故C錯誤；恰有1個紅色乒乓球與恰有1個白色乒乓球是互斥事件而不是對立事件，故D正確.故選：D.8．D解析：因為分別為與同向的單位向量，因為，可知的角平分線與BC垂直，則，又因為，即，且，則，所以是等邊三角形.故選：D.9．AD解析：對A，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，故A選項正確；對B，這組數(shù)據(jù)的方差為：，故B選項錯誤；對C，這組數(shù)據(jù)的極差為：，故C選項錯誤；對D，由，則第70百分位數(shù)是第5個數(shù)7，故D選項正確.故選：AD.10．ABD解析：對于A，三角形中，已知三邊，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即A正確；對于B，三角形中，已知兩個角和夾邊，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即B正確；對于C，由正弦定理，可得，，因，則，因，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知角B有兩解，一個是銳角，另一個是鈍角，故C錯誤；對于D，由余弦定理得，，故僅有一解，即D正確．11．AB解析：對于A選項，由，設(shè)圓臺的高為，有圓臺的體積為，可得，易求得，故A選項正確；對于B選項，如圖，連接點和圓臺底面的圓心并延長，與圓交于另一點，連接，，由，可得或其補角即是異面直線和所成的角．又由，有，可得，故B選項正確；對于C選項，的延長線與的延長線相交于點F，與圓臺的底面圓周的交點為，由，有，可得，可得，故C選項錯誤；對于D選項，過作，連接NH，由平面，可得，又由，可得平面，可得，又由，可得為二面角的平面角，有，有，可得，故D選項錯誤．故選：AB.12．解析：從這4個數(shù)中一次隨機抽取兩個數(shù)的所有基本事件有，共6個，所取2個數(shù)之和為9的基本事件有，共2個，故所求概率.故答案為：.13．解析：若恰有兩解，則，解得，即邊長度的取值范圍為．故答案為：14．解析：設(shè)球的半徑為，則，所以，因為，所以的外接圓的半徑為，所以點到平面的距離為，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以三棱錐的體積的最大值為．故答案為：15．(1)(2)解析：（1）由可得，，即，

所以，所以；（2）因為，

所以．16．(1)證明見解析(2)2解析：（1）取PD中點N，連接MN、AN，是的中位線，MN//CD，且，又AE//CD，且，四邊形AEMN為平行四邊形，ME//AN又平面PAD，平面PAD，//平面PAD.（2），P到平面ABCD的距離為3，點M到平面ABCD的距離為1，.17．(1)(2)解析：（1）由，結(jié)合正弦定理可得，展開右側(cè)三角式得，消去同類項后化簡為，整理得，由，得，解得.（2）由三角形面積公式，代入，得，由余弦定理，代入、，得，聯(lián)立，解得.18．(1)0.015(2)76.25，75(3)17解析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，有，

解得；（2）學(xué)生成績落在的頻率為，學(xué)生成績落在的頻率為，學(xué)生成績落在的頻率為，學(xué)生成績落在的頻率為，學(xué)生成績落在的頻率為，

由，可得中位數(shù)為，學(xué)生成績的平均數(shù)為；（3）這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，

這兩組數(shù)據(jù)的總方差為