甘肅蘭州市新區教育片區聯考2025−2026學年高一下學期7月期末考試數學試題（含答案）

甘肅蘭州市新區教育片區聯考2025?2026學年高一下學期7月期末考試數學試卷一、單選題1．復數滿足，則（

）A． B． C．5 D．132．已知向量，若，則實數的值為（

）A．2 B． C． D．3．已知，且，則（

）A． B． C． D．4．已知圓錐的底面面積為，體積為，則其母線長為（

）A． B． C． D．5．設，是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．，，則 B．，，C．，，則 D．，，則6．已知為第二象限角，，則（

）A． B． C． D．7．在中，角的對邊分別為，若，，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等邊三角形 D．鈍角三角形8．如圖，在正方體中，，，，，分別是，，，，的中點，則下列結論錯誤的是（

）A．，，，四點共面 B．平面平面C．直線與是異面直線 D．直線和所成角的正切值為二、多選題9．若向量則（

）A． B．C．在上的投影向量為(1,0) D．與的夾角為10．如圖，在棱長為2的正方體中，M，N，P分別是，，的中點，Q是線段上的動點，則（

）

A．存在點Q，使平面MBNB．不存在點Q，使B，N，P，Q四點共面C．三棱錐的體積是定值，為D．經過C，M，B，N四點的球的表面積11．已知函數，則下列結論正確的是（

）A．的圖象關于點對稱 B．C．在上單調遞增 D．是偶函數三、填空題12．平面直角坐標系中，若角的終邊經過點，角的終邊經過點，則_________．13．已知向量滿足，且，則______14．如圖，為了測量河對岸的塔高，某測量隊選取與塔底在同一水平面內且相距20米的兩個測量基點與．現測量得，在點處測得塔頂的仰角分別為，若河寬至少12米，則塔高______米．

四、解答題15．已知向量，．（1）當時，求的值；（2）當，，求向量與夾角的余弦值．16．已知復數，且為純虛數（是的共軛復數）．（1）求的值；（2）復數在復平面對應的點在第一象限，求實數的取值范圍．17．在中，角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，且的面積等于，求的周長．18．如圖，四棱錐中，平面，底面是正方形，，為中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成角的大小．19．已知函數．（1）求的最小正周期及單調遞增區間；（2）求在上的最值及取最值時相應的值．

參考答案1．【答案】C【詳解】由，得，所以.2．【答案】C【詳解】因為，所以，因為，所以，解得．3．【答案】B【詳解】由于，代入，且，得，解得，故B正確.4．【答案】C【詳解】記圓錐高為h，底面半徑為r，因為該圓錐底面面積為，所以，故底面半徑．體積，解得，故母線長．5．【答案】B【詳解】對于A，若，，則與平面平行或或相交，故A錯誤；對于B，因為，，故，而，故，故B正確；對于C，，，則或，故C錯誤；對于D，若，，則與平面的位置關系不確定（可能平行、相交或在平面內），故D錯誤.6．【答案】C【詳解】由，得：因為是第二象限角，所以，，化簡得：，即由于，解得：，因為，所以，所以7．【答案】C【詳解】由正弦定理，，則，再由則故，即，故，所以為等邊三角形.故選C.8．【答案】D【詳解】對于A，取中點，連接，由于是的中點，在正方體中可知，又，，所以四邊形為平行四邊形，故，因此，故四點共面，故A正確；對于B，如圖，連接，由于均為中點，所以，，平面，平面，所以平面，同理平面，，平面，所以平面平面，故B正確；對于C，假設與不是異面直線，則兩直線共面.若與相交，則交點在和上，平面，與平面僅交于點，而，故與不相交；若與平行，則平面或平面，這與與平面僅交于點矛盾；所以與是異面直線，故C正確；對于D，由于，所以，故為直線和所成角或其補角，不妨設正方體的棱長為，則，由于底面，平面，所以，所以，所以直線和所成角的正切值為，故D錯誤.9．【答案】BC【詳解】對于A，由已知，，，，A錯；對于B，，B正確；對于C，，在上的投影向量為，C正確；對于D，，又，所以，D錯．10．【答案】AC【詳解】對于選項A，若點是的中點，則，又因為,所以.因為面,面所以面.故選項A正確.對于選項B，當點與重合，此時，,又因為，所以故四點共面，所以選項B不正確.對于選項C，因為到面的距離即為正方體的棱長，且.所以.故選項C正確.對于選項D，設分別為和的中點，則經過四點的球即為長方體的外接球.因為該長方體的長寬高分別為.所以.所以.故選項D不正確.

11．【答案】ACD【詳解】；對A：當時，，由關于點對稱，故的圖象關于點對稱，故A正確；對B：，故不恒成立，故B錯誤；對C：當時，，由在上單調遞增，故在上單調遞增，故C正確；對D：，由為偶函數，故為偶函數，故D正確.12．【答案】0【詳解】由三角函數定義知，，，，，所以.13．【答案】【詳解】，，故，則.14．【答案】【詳解】由題意知，平面，，，，.因為平面，所以，.在中，，所以.在中，，所以.在中，由余弦定理得，，即，整理得，即，解得或.當時，，符合題意；當時，，不符合題意；故.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由向量，，得，由，可得，即，解得．（2）由，，得．由，，可得，解得，所以．所以，，，所以．16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）依題意，，則，由為純虛數，得，所以.（2）由（1）得，復數，由復數在復平面對應的點在第一象限，得，解得，所以實數的取值范圍是.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因為，由正弦定理得，因為，所以，所以，即，，因為，所以，得，即.（2）因為，所以，所以由余弦定理得，，因為，，所以，所以的周長為.18．【答案】（1）證明：連接，交于點，連接，因為四邊形是正方形，所以為中點，又為中點，所以，因為平面，平面，所以平面．（2）證明：因為四邊形是正方形，所以，又平面，平面，所以，，因為平面，所以平面，又平面，所以，在中，因為為中點，則，因為平面，所以平面．（3）【詳解】（1）略．（2）略．（3）因為平面，平面，所以，又四邊形是正方形，所以，因為平面，所以平面，連接，則直線與平面所成角的平面角為，又平面，所以，在正方形中，，因為平面，平面，所以，因為，所以，在中，，，所以直線