高考數學一輪復習 10.1 計數原理與排列組合

第10章計數原理第一節計數原理與排列組合知識點1兩個計數原理1.分類加法計數原理完成一件事,有類辦法,在第1類辦法中有種不同的辦法,在第2類辦法中有種不同的方法,,在第類辦法中有種不同的方法,那么完成這件事共有:種不同的方法.2.分步乘法計數原理完成一件事,需要分成個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,,做第步有種不同的方法,那么完成這件事共有:種不同的方法.3.兩個計數原理的綜合應用如果完成一件事的各種方法是相互獨立的,那么計算完成這件事的方法數時,使用分類計數原理.如果完成一件事的各個步驟是相互聯系的,即各個步驟都必須完成,這件事才告完成,那么計算完成這件事的方法數時,使用分步計數原理.知識點2排列組合1.排列問題（1）定義:從個不同元素中取出（）個元素排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列.從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數,叫做從個不同元素中取出個元素的排列數,用符號表示.（2）排列數的公式:.特例:當時,;規定.（3）排列數的性質:①;②；③.（4）解排列應用題的基本思路:通過審題,找出問題中的元素是什么,是否與順序有關,有無特殊限制條件（特殊位置,特殊元素）.2.組合問題（1）定義:從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合;從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數,叫做從個不同元素中取出個元素的組合數,用符號表示.（2）組合數公式及其推導,求從個不同元素中取出個元素的排列數，可以按以下兩步來考慮:第一步,先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數;第二步,求每一個組合中個元素的全排列數;根據分步計數原理,得到;因此.這里,且,這個公式叫做組合數公式.因為,所以組合數公式還可表示為:.特例.注釋:組合數公式的推導方法是一種重要的解題方法!在以后學習排列組合的混合問題時,一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題.（3）組合數的主要性質:①；②.題型1約數問題如果一個正整數分解質因數，其中均為質數，則的約數個數為（1+,所有約數之和為【例1】2520有多少個約數,偶約數有多少個?【例2】216所有約數之和為多少?題型2立體幾何的計數問題【例3】正方體的8個頂點可連成多少對異面直線_____.【例4】（2022·蘇州模擬）如圖,已知點在四邊形所在平面外,如果把兩條異面直線看成一對,那么與四邊形四個頂點連線以及此四邊形的四條邊所在直線共8條直線中,異面直線共有_____對。題型3捆綁法（相鄰問題，用捆綁法，注意內部存在一定的順序）【例5】4名男生2名女生排成一排，要求兩名女生排在一起的排法總數為（）A.48B.96C.120D.240【例6】（2022·新高考II）甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（）A.12種B.24種C.36種D.48種【例7】要為5位同學和2位老師拍照留念,要求排成一排,且2位老師相鄰,不同的排法有_____種.【例8】2023年5月21日，中國羽毛球隊在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團體錦標賽決賽中以總比分3:0戰勝韓國隊，實現蘇迪曼杯三連冠.甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現場合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（）A.18種B.24種C.30種D.36種題型4插空法（不相鄰問題用插空法,先排列不受限的事物,再插空不相鄰的事物）【例9】（2020?章丘區模擬）若6把椅子擺成一排，3人隨機就座，則有且僅有兩人相鄰坐法有_____種?！纠?0】（2024春·汨羅市期末）某班教室一排有6個座位，如果每個座位只能坐1人，現安排三人就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法有_____種?！纠?1】（2020春·洮北區期末）四名男生和兩名女生排成一排，男生有且只有兩位相鄰，則不同排法的種數是_____.【例12】一排有7個空座位，有3人各不相鄰而坐，則不同的坐法共有（）A.120種B.60種C.40種D.20種【例13】張老師要進行年度體檢，有抽血、腹部彩超、胸部、心電圖、血壓測量等五個項目，為了體檢數據的準確性,抽血必須作為第一個項目完成,而張老師決定腹部彩超和胸部兩項不連在一起檢查,則不同的檢查方案一共有_____種。【例14】要排一個有5個獨唱節目和3個舞蹈節目的節目單,如果舞蹈節目不在排頭,且任何兩個舞蹈節目不相鄰，則不同的排法總數為_____.題型5特殊元素（位置）法（限制條件下，優先考慮并滿足有限制的事物，然后再考慮不受限的事物）【例15】用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復數字的五位數?五位倚數?五位偶數?【例16】甲、乙等6個人按下列要求站成一橫排，甲不站在最左端，乙不站在最右端，有多少種不同的站法?【例17】（2023·乙卷）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種B.60種 C.120種 D.240種【例18】某校準備下一周舉辦運動會，甲、乙、丙、丁4位同學報名參加這4個項目的比賽，每人只報名1個項目，任意兩人不報同一個項目，甲不報名參加項目，則不同的報名方法種數有（）A.18 B.21 C.23 D.72【例19】（2023·甲卷）有五名志愿者參加社區服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則兩天中恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為（）A.120 B.60 C.40 D.30【例20】某旅游團計劃去湖南旅游，該旅游團從長沙、衡陽、郴州、株洲、益陽這5個城市中選擇4個（選擇的4個城市按照到達的先后順序分別記為第一站、第二站、第三站、第四站），且第一站不去株洲，則該旅游團四站的城市安排共有（）A.96種B.84種 C.72種 D.60種【例21】要排出某班一天中語文，數學，政治，英語，體育，藝術6門課各一節的課程表，要求數學課排在前3節,英語課不排在第6節,則不同的排法種數為（）A.24 B.72 C.144 D.288【例22】以編號為1,2,3,4,5的5個球中任取4個,放在編號為的4個盒子里,每盒一球,且2號球不能放在盒中的不同的方法數是（）A.24B.48C.54D.96題型6間接法（正難則反）【例23】從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字中取出三個數，使其和為不小于10的偶數，不同的取法有多少種?【例24】從甲、乙等5人中任選3人參加三個不同項目的比賽，要求每個項目都有人參加，則甲、乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有_____種。【例25】某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個不同的鄉村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有_____種.【例26】（2018?新課標I）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生人選，則不同的選法共有_____種。（用數字填寫答案）題型7重排問題求冪策略（解決可重復問題）【例27】有5名學生報名參加3項體育比賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數為（）A.243B.125C.60D.120【例28】甲、乙、丙、丁4名同學爭奪數學、物理、化學3門學科知識競賽的冠軍，且每門學科只有1名冠軍產生，有_____種不同的冠軍獲得情況.【例29】把6名實習生分配到7個車間實習，共有_____種不同的分法.題型8組合問題【例30】（2023·新高考II）某學校為了了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查,擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生,則不同的抽樣結果共有（）A.種B.種C.種D.種【例31】（2023·新高考I）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有_____種（用數字作答）?！纠?2】（2020?上海）從6個人挑選4個人去值班,每人值班一天,第一天安排1個人,第二天安排1個人,第二天安排1個人，第三天安排2個人，則共有_____種安排情況.【例33】現有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張.從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張,不同取法的種數為（）A.484B.472C.252D.232【例34】某校計劃選拔4名學生參加科技創新大賽.現從3名女生、5名男生中進行選擇，要求隊伍中至少包含男、女生各1名，則不同選法的總數為（）A.65B.60C.35D.30【例35】（2023·甲卷）有五名志愿者參加社區服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務,則兩天中恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為（）A.120B.60C.40D.30【例36】（2020?山東）6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）A.120種B.90種C.60種D.30種題型9分組分配問題1.平均分組問題【例37】導師制是高中新的教學探索制度,班級科任教師作為導師既面向全體授課對象,又對指定的若干學生的個性、人格發展和全面素質提高負責，已知有3位科任教師負責某學習小組的6名同學，每2名同學由1位科任教師負責，則不同的分配方法的種數為（）A.90B.15C.60D.180【例38】為提升教育教學質量,促進各分校區發展,西南大學附屬中學開展本部一分校區聯合教研.現計劃從本部派出7男2女共9名老師到、、三個分校區開展教研，每個校區三人，則有（）種安排方案.A.1050B.1680C.2940D.3360【例39】中國空間站（ChinaSpaceStation）的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.2022年10月31日15:37分,我國將“夢天實驗艙”成功送上太空,完成了最后一個關鍵部分的發射,“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“”字形架構，我國成功將中國空間站建設完畢.2023年，中國空間站將正式進入運營階段.假設空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三舲中每個艙中都有2人，則不同的安排方法有（）A.72種B.90種C.360種D.540種2.不平均分組問題【例40】現有高校進入高中校園組織招生宣傳，4名男生、3名女生去參加，兩所高校的志愿填報咨詢會,每個學生只能去其中的一所學校,且要求每所學校都既有男生又有女生參加,則不同的安排方法數是（）A.42B.60C.84D.120【例41】教育扶貧是我國重點扶貧項目，為了縮小教育資源的差距，國家鼓勵教師去鄉村支教，某校選派了5名教師到三個鄉村學校去支教，每個學校至少去1人，每名教師只能去一個學校，不同的選派方法數有（）種A.25B.60C.90D.150【例42】將甲、乙、丙、丁、戊共五位同學分別保送到北大、上海交大和浙大3所大學，若每所大學至少保送1人，且甲不能被保送到北大，則不同的保送方案共有（）種.A.114B.150C.72D.100【例43】10名學生分成3組，其中一組4人，另兩組3人但正副班長不能分在同一組，有多少種不同的分組方法?【例44】2023年是鞏固脫貧攻堅成果的重要一年，某縣為響應國家政策，選派了6名工作人員到、、三個村調研脫貧后的產業規劃，每個村至少去1人，不同的安排方式共有（）種.A.540B.480C.360D.240題型10排列組合混合問題先選后排策略【例45】（2020·新課標II）4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動,每名同學只去1個小區,每個小區至少安排1名同學,則不同的安排方法共有_____種.【例46】將6名實習教師分配到5所學校進行培訓,每名實習教師只能分配到1個學校,每個學校至少分配1名實習教師，則不同的分配方案共有（）A.600種B.900種C.1800種D.3600種【例47】為了落實立德樹人的根本任務,踐行五育并舉,某校開設三門德育校本課程,現有甲、乙、丙、丁四位同學參加校本課程的學習，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，則不同的報名方法有（）A.72種B.60種C.54種D.36種【例48】（2021?乙卷）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓,每名志愿者只分配到1個項目,每個項目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有A.60種B.120種C.240種D.480種【例49】（2020?海南）要安排3名學生到2個鄉村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）A.2種B.3種C.6種D.8種【例50】（2017·新課標II）安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（）A.36種B.24種C.18種D.12種題型11定序問題倍縮法（排列中涉及到定序的問題，則用除法，除去多余全排列中涉及到順序的問題）【例51】某4位同學排成一排準備照相時,又來了2位同學要加入,如果保持原來4位同學的相對順序不變,則不同的加入方法種數為（）A.10B.20C.24D.30【例52】花燈,又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統農業時代的文化產物，兼具生活功能與藝術特色.如圖，現有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數為_____.【例53】書架上某層有8本書，新買2本插進去，要保持原有8本書的順序，則有_____種不同的插法（具體數字作答）【例54】城步苗族自治縣“六月六山歌節”是湖南省四大節慶品牌之一，至今已舉辦25屆.假設在即將舉辦的第26屆“六月六山歌節”中，組委會要在原定排好的10個“本土歌舞”節目中增加2個“歌王對唱”節目.若保持原來10個節目的相對順序不變,則不同的排法種數為（）A.110B.144C.132D.156題型12隔板法（相同元素的分配問題,用插板法進行求解）【例55】10個三好學生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有（）種不同分配方案？A.9B.36C.84D.120【例56】已知不定方程,求:（1）不定方程正整數解的組數；（2）不定方程自然數解的組數.【例57】某高校舉行一場智能機器人大賽.該高校理學院獲得8個參賽名額.已知理學院共有4個班，每個班至少要有一個參賽名額,則該理學院參賽名額的分配方法共有（）A.20種B.21種C.28種D.35種題型13合理分類與分步策略（多面手問題）【例58】我校去年11月份，高二年級有10人參加了赴日本交流訪問團，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞，現要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）種不同的選法.A.675B.575C.512D.545【例59】3成人2小孩乘船游玩，1號船最多乘3人，2號船最多乘2人，3號船只能乘1人，他們任選2只船或3只船，但小孩不能單獨乘一只船，這3人共有多少種乘船方法?【例60】某國際旅行社現有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現從這11人中選出4人當英語翻譯，4人當法語翻譯，則共有（）種不同的選法A.225B.185C.145D.110題型14涂色問題（先分配好顏色,再進行涂色,最后加法合并到一起）求解涂色（種植）問題一般是直接利用兩個計數原理求解，常用方法有:（1）按區域的不同以區域為主分步計數，用分步乘法計數原理分析；（2）以顏色（種植作物）為主分類討論，適用于“區域、點、線段”問題，用分類加法計數原理分析；（3）對于涂色（立方體）問題將空間問題平面化，轉化為平面區域涂色問題【例61】（2010·天津）如圖，用四種不同顏色給圖中的，，，，，六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）A.288種B.264種C.240種D.168種【例62】（2003·全國）如圖，一個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色.現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有_____種.（以數字作答）【例63】用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色,要求相鄰兩塊涂不同的顏色,則不同的涂色方法有A.240B.360C.480D.600【例64】一個同心圓形花壇,分為兩部分,中間小圓部分種植草坪和綠色灌木,周圍的圓環分為,）等份,種植紅、黃、藍三種顏色不同的花,要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.（1）如圖（1），圓環分成3等份，分別為，，，則有_____種不同的種植方法；（2）如圖（2），圓環分成4等份，分別為，，，，則有_____種不同的種植方法.【例65】（2021·武漢四調）某班級在一次植樹種花活動中負責對一片圓環區域花圃栽植鮮花，該圓環區域被等分為個部分，每個部分從紅，黃，藍三種顏色的鮮花中選取一種進行栽植，要求相鄰區域不能用同種顏色的鮮花.將總的栽植方案數用表示，則_____，_____.【例66】重慶位于中國西南部、長江上游地區,地跨青藏高原與長江中下游平原的過渡地帶.東鄰湖北、湖南，南靠貴州，西接四川，北連陜西，現用4種顏色標注6個省份的地圖區域，相鄰省份地圖顏色不相同，則共有_____種涂色方式.題型15標號排位問題（不配對問題）【例67】將數字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個方格里,每格填一個數,則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法有（）A.6種B.9種C.11種D.23種【例68】編號為1,2,3,4的四位同學，分別就座于編號為1,2,3,4的四個座位上，每位座位恰好坐一位同學，則恰有兩位同學編號和座位編號一致的坐法種數為_____.題型16環排問題線排策略【例69】如圖,某手鏈由10顆較小的珠子（每顆珠子相同）和11顆較大的珠子（每顆珠子均不相同）串成,若10顆小珠子必須相鄰，大珠子的位置任意，則該手鏈不同的串法有（）A.種B.種C.種 D.種【例70】有10個人圍著一張圓桌坐成一圈，共有多少種不同的坐法？題型17構造模型策略【例71】某排共有10個座位，安排4人就坐.若每人左右兩邊都有空位，則不同的坐法有_____種（用數字回答）.【例72】馬路上有編號為1,2,3...,9九只路燈,現要關掉其中的三盞,但不能關掉相鄰的二盞或三盞,也不能關掉兩端的兩盞，求滿足條件的關燈方案有多少種?題型18走樓梯問題（分類法與插空法相結合）【例73】（2023春·余姚市校級月考）如圖，某城市的街區由