第16講 圖形的相似全章復(fù)習(xí)與測(cè)試-【暑假自學(xué)課】新九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假課（北師大版）（解析版）

第16講圖形的相似全章復(fù)習(xí)與測(cè)試【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例線段的概念；

（2）通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，知道相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，周長(zhǎng)的比等于對(duì)應(yīng)邊的比，面積的比等于對(duì)應(yīng)邊比的平方；

（3）了解兩個(gè)三角形相似的概念，探索兩個(gè)三角形相似的條件；

（4）通過(guò)典型實(shí)例觀察和認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，利用圖形的相似解決一些實(shí)際問(wèn)題(如利用相似測(cè)量旗桿的高度)；【基礎(chǔ)知識(shí)】一．比例的性質(zhì)（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．（2）常用的性質(zhì)有：①內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．若＝，則ad＝bc．②合比性質(zhì)．若＝，則＝．③分比性質(zhì)．若＝，則＝．④合分比性質(zhì)．若＝，則＝．⑤等比性質(zhì)．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），則＝．二．比例線段（1）對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無(wú)關(guān)系．三．平行線分線段成比例（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．四．相似圖形（1）相似圖形我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形．（2）相似圖形在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用非常廣泛，對(duì)于相似圖形，應(yīng)注意：①相似圖形的形狀必須完全相同；②相似圖形的大小不一定相同；③兩個(gè)物體形狀相同、大小相同時(shí)它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況．（3）相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．五．相似多邊形的性質(zhì)（1）如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形．（2）相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．（3）全等多邊形的相似比為1或相似比為1的相似多邊形是全等形．（4）相似多邊形的性質(zhì)為：①對(duì)應(yīng)角相等；②對(duì)應(yīng)邊的比相等．六．相似三角形的性質(zhì)相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．（2）相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方．由三角形的面積公式和相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．七．相似三角形的判定（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形．（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．八．相似三角形的判定與性質(zhì)（1）相似三角形相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對(duì)應(yīng)邊的比相等和對(duì)應(yīng)角相等兩方面下定義；反過(guò)來(lái)，兩個(gè)三角形相似也有對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無(wú)論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可．九．相似三角形的應(yīng)用（1）利用影長(zhǎng)測(cè)量物體的高度．①測(cè)量原理：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決．②測(cè)量方法：在同一時(shí)刻測(cè)量出參照物和被測(cè)量物體的影長(zhǎng)來(lái)，再計(jì)算出被測(cè)量物的長(zhǎng)度．（2）利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）．①測(cè)量原理：測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測(cè)量方法：通過(guò)測(cè)量便于測(cè)量的線段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．（3）借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度．利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長(zhǎng)）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．十．作圖-相似變換（1）兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到．（2）相似圖形的作圖在沒有明確規(guī)定的情況下，我們可以利用相似的基本圖形“A”型和“X”型進(jìn)行簡(jiǎn)單的相似變換作圖．如圖所示：（3）如果題目有條件限制，可根據(jù)相似三角形的判定條件作為作圖的依據(jù)．比較簡(jiǎn)單的是把原三角形的三邊對(duì)應(yīng)的縮小或放大一定的比例即可得到對(duì)應(yīng)的相似圖形．十一．位似變換（1）位似圖形的定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．注意：①兩個(gè)圖形必須是相似形；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；③對(duì)應(yīng)邊平行．（2）位似圖形與坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．十二．作圖-位似變換（1）畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心；②分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；④順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．借助橡皮筋、方格紙、格點(diǎn)圖等簡(jiǎn)易工具可將圖形放大或縮小，借助計(jì)算機(jī)也很好地將一個(gè)圖形放大或縮小．（2）注意：①畫一個(gè)圖形的位似圖形時(shí)，位似中心的選擇是任意的，這個(gè)點(diǎn)可以在圖形的內(nèi)部或外部或在圖形上，對(duì)于具體問(wèn)題要考慮畫圖方便且符合要求．②由于位似中心選擇的任意性，因此作已知圖形的位似圖形的結(jié)果是不唯一的．【考點(diǎn)剖析】一．比例的性質(zhì)（共1小題）1．（2022?鼓樓區(qū)二模）若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把每一個(gè)選項(xiàng)中的比例式轉(zhuǎn)化成等積式即可解答．【解答】解：A．因?yàn)椋剑?m＝4n，故此選項(xiàng)不符合題意；B．因?yàn)椋剑詍n＝20，故此選項(xiàng)不符合題意；C．因?yàn)椋剑?m＝4n，故此選項(xiàng)不符合題意；D．因?yàn)椋剑?m＝5n，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．比例線段（共1小題）2．（2021秋?覃塘區(qū)期末）已知四條線段2，3，4，x成比例，則x的值不可能是（）A．6 B． C．8 D．【分析】根據(jù)題意列出比例式子，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)，易求x．【解答】解：∵2，3，4，x成比例，∴2x＝3×4或3x＝2×4或4x＝2×3，解得x＝6或x＝或x＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，解題的關(guān)鍵是利用了兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積．三．平行線分線段成比例（共2小題）3．（2022?江安縣模擬）如圖，AF∥BE∥CD，AB＝6，BC＝1.8，EF＝5，則線段FD的長(zhǎng)（）A．6 B．6.5 C．7 D．7.5【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，則可求出ED的長(zhǎng)，然后計(jì)算FE+ED即可．【解答】解：∵AF∥BE∥CD，AB＝6，BC＝1.8，EF＝5，∴，即，∴ED＝1.5，∴FD＝FE+ED＝5+1.5＝6.5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．4．（2022?廣西模擬）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且DG＝2，DF＝10，＝，則AG的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．依據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得出AG的長(zhǎng)．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，又∵DG＝2，DF＝10，＝，∴＝，∴AG＝4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．四．相似圖形（共1小題）5．（2022?汝陽(yáng)縣一模）形狀相同的圖形是相似圖形．下列哪組圖形不一定是相似圖形（）A．關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形 B．兩個(gè)正三角形 C．兩個(gè)等腰三角形 D．兩個(gè)半徑不等的圓【分析】根據(jù)相似圖形的概念判斷即可．【解答】解：A、關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等，∴它們是相似圖形，本選項(xiàng)不符合題意；B、兩個(gè)正三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，∴它們是相似圖形，本選項(xiàng)不符合題意；C、兩個(gè)等腰三角形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，∴它們不一定是相似圖形，本選項(xiàng)符合題意；D、兩個(gè)半徑不等的圓是相似圖形，本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似圖形的判斷，掌握形狀相同的圖形稱為相似圖形是解題的關(guān)鍵．五．相似多邊形的性質(zhì)（共1小題）6．（2021秋?瀘西縣期末）如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，則∠B等于（）A．55° B．65° C．75° D．85°【分析】利用相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等求得答案即可．【解答】解：∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，∴∠E＝∠A＝85°，∠G＝∠C＝90°，∴∠B＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠C＝360°﹣85°﹣120°﹣90°＝65°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等．六．相似三角形的性質(zhì)（共1小題）7．（2022?沈陽(yáng)模擬）如圖，已知AD，BC相交于點(diǎn)E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)G，使CG＝CD，連接AG．（1）求證：四邊形ABCG是平行四邊形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝CD，可得AB＝CG，即可證明；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性質(zhì)可得CE，從而得出BC，即可求解．【解答】（1）證明：∵△AEB∽△DEC，∴∠B＝∠BCD，∴AB∥CD，即AB∥CG，∵CD＝2AB，CG＝CD，∴AB＝CG，∴四邊形ABCG是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCG是平行四邊形，AE＝2，CG＝3，∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，∵∠GAD＝90°，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理可得：BE＝，即BE＝＝，∵△AEB∽△DEC，∴＝＝，∴CE＝2，∴BC＝BE+CE＝3，∴AG＝BC＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，平行四邊形的判定與性質(zhì)．七．相似三角形的判定（共1小題）8．（2022春?新羅區(qū)校級(jí)月考）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)，求證：△ADQ∽△QCP．【分析】利用兩邊及其夾角法即可作出證明．【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)，∴QC＝QD＝AD，CP＝AD，∴，又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°，∴△ADQ∽△QCP．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握三角形相似的三個(gè)判定定理是解答本題的關(guān)鍵．八．相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）9．（2022?鄂州一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，E是AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）若FD＝3FB，求的值；（2）若，，求S△FDC的值．【分析】（1）證明∠DCB＝∠BDF，再由∠F＝∠F，得到△BDF∽△DCF，即可解決問(wèn)題；（2）證明△BDC∽△BCA，得到＝＝，根據(jù)△BDF∽△DCF計(jì)算，求得S△FDC．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A+∠ABC＝∠DCB+∠ABC，∴∠A＝∠DCB，∵E是AC的中點(diǎn)，∴ED＝EA，∴∠A＝∠EDA，∵∠BDF＝∠EDA，∴∠DCB＝∠BDF，∵∠F＝∠F，∴△BDF∽△DCF，∴＝＝；（2）∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，∴S△ABC＝×2×＝15，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ACB，∵∠A＝∠DCB，∴△BDC∽△CDA，∴＝＝＝，∴＝，∴S△CBD＝3，∵△BDF∽△DCF，∴＝（）2＝，∴S△FDC＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，同時(shí)還滲透了對(duì)直角三角形的性質(zhì)等幾何知識(shí)的考查；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求．九．相似三角形的應(yīng)用（共1小題）10．（2022?新城區(qū)模擬）陽(yáng)光明媚的一天實(shí)踐課上，亮亮準(zhǔn)備用所學(xué)知識(shí)測(cè)量教學(xué)樓前一座假山AB的高度，如圖，亮亮在地面上的點(diǎn)F處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端A、教學(xué)樓頂端C在一條直線上．此時(shí)他起身在F處站直，發(fā)現(xiàn)自己的影子末端和教學(xué)樓的影子末端恰好重合于點(diǎn)G處，測(cè)得FG＝2米，亮亮的身高EF為1.6米．假山的底部B處因有花園圍欄，無(wú)法到達(dá)，但經(jīng)詢問(wèn)和進(jìn)行部分測(cè)量后得知，BF＝9米，點(diǎn)D、B、F、G在一條直線上，CD⊥DG，AB⊥DG，EF⊥DG，已知教學(xué)樓CD的高度為16米，請(qǐng)你求出假山的高度AB．【分析】依據(jù)△GEF∽△GCD，可得＝，進(jìn)而得出BD＝9米．再根據(jù)△FAB∽△FCD，可得＝，進(jìn)而得出假山的高度AB為8米．【解答】解：∵CD⊥DG，EF⊥DG，∴EF∥CD，∴△GEF∽△GCD，∴＝，即＝，解得BD＝9．∵CD⊥DG，AB⊥DG，∴AB∥CD，∴△FAB∽△FCD，∴＝，即＝，解得AB＝8，∴假山的高度AB為8米．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決．一十．作圖-相似變換（共1小題）11．（2022?延平區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，AC＝4．（1）在AC上求作一點(diǎn)D，連接BD，使得△ABD∽△ACB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）點(diǎn)M，N分別是BD、BC中點(diǎn)，若AD＝1，求的值．【分析】（1）利用尺規(guī)作圖作∠ABD＝∠C即可；（2）由M，N分別是BD，BC的中點(diǎn)知AM、AN分別是△ABD，△ABC的中線，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，代入計(jì)算即可．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)D即為所求作的點(diǎn)；（2）連接AM、AN，∵M(jìn)，N分別是BD，BC的中點(diǎn)，∴AM、AN分別是△ABD，△ABC的中線，∵△ABD∽△ACB，∴，∴，∴AB＝2，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖—相似變換，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．一十一．位似變換（共1小題）12．（2020秋?興化市期末）如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，﹣1），（2，1）．（1）以點(diǎn)O為位似中心，在y軸的左側(cè)將△OAB放大2倍；（2）分別寫出A，B兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'，B'的坐標(biāo)．【分析】（1）直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（2）利用（1）中所畫圖形得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖所示：△OA′B′，即為所求；（2）A'的坐標(biāo)是（﹣6，2），B'的坐標(biāo)是（﹣4，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．一十二．作圖-位似變換（共1小題）13．（2022?廣西模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣2，﹣5）、B（﹣3，﹣1）、C（﹣5，﹣4）．（1）畫出將△ABC向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)的△A1B1C1；（2）以點(diǎn)O為位似中心，為位似比，在第一象限內(nèi)，畫出△ABC的位似圖形△A2B2C2；（3）點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M分別在△A1B1C1和△A2B2C2中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M1和M2的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可作圖．（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可作圖．（3）根據(jù)平移的性質(zhì)和位似圖形的性質(zhì)即可解答．【解答】解：（1）作圖如圖，△A1B1C1即為所求．（2）作圖如圖，△A2B2C2即為所求．（3）∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣4，﹣），向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度可得M1（﹣4，），根據(jù)位似的性質(zhì)，橫縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)的，且在第一象限，∴M2（2，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平移和位似的圖形變換及性質(zhì)，根據(jù)要求作出圖象是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正確的是（）A． B． C． D．【分析】比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)，根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積可得答案．【解答】解：A、＝，則5y＝6x，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、＝，則5x＝6y，故此選項(xiàng)正確；C、＝，則5y＝6x，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、＝，則xy＝30，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積．2．（3分）某班某同學(xué)要測(cè)量學(xué)校升旗的旗桿高度，在同一時(shí)刻，量得某一同學(xué)的身高是1.5m，影長(zhǎng)是1m，旗桿的影長(zhǎng)是8m，則旗桿的高度是（）A．12m B．11m C．10m D．9m【分析】因?yàn)樵谕粫r(shí)刻同一地點(diǎn)任何物體的高與其影子長(zhǎng)比值是相同的，所以同學(xué)的身高與其影子長(zhǎng)的比值等于旗桿的高與其影子長(zhǎng)的比值．【解答】解：設(shè)旗桿的高度為x，根據(jù)在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)任何物體的高與其影子長(zhǎng)比值是相同的，得：，∴x＝＝12m，∴旗桿的高度是12m．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】解題關(guān)鍵是知道在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)任何物體的高與其影子長(zhǎng)比值是相同的．3．（3分）已知線段d是線段a、b、c的第四比例項(xiàng)，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，則d等于（）A．1cm B．10cm C．cm D．cm【分析】根據(jù)第四比例項(xiàng)的概念，得a：b＝c：d，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)，求得第四比例項(xiàng)．【解答】解：∵線段d是線段a、b、c的第四比例項(xiàng)，∴a：b＝c：d∴d＝∵a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，∴d＝＝＝10cm∴線段a，b，c的第四比例項(xiàng)d是10cm．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】熟悉第四比例項(xiàng)的概念，寫比例式的時(shí)候一定要注意順序．再根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行求解．4．（3分）如圖，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上．若測(cè)得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，則河的寬度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m【分析】由兩角對(duì)應(yīng)相等可得△BAE∽△CDE，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得兩岸間的大致距離AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°，∵∠AEB＝∠DEC，∴△BAE∽△CDE，∴∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，∴解得：AB＝40，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查相似三角形的應(yīng)用；用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．5．（3分）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝【分析】分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．【解答】解：A、當(dāng)∠ABP＝∠C時(shí)，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)∠APB＝∠ABC時(shí)，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)＝時(shí)，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；D、無(wú)法得到△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵．6．（3分）能判定△ABC∽△DEF的條件是（）A．＝ B．＝，∠A＝∠F C．＝，∠B＝∠E D．＝，∠A＝∠D【分析】根據(jù)相似三角形的判定條件：兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，且其夾角相等的兩個(gè)三角形的相似，進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、當(dāng)時(shí)，不能判定△ABC∽△DEF，故A不符合題意；B、當(dāng)，∠A＝∠D時(shí)，可判定△ABC∽△DEF，故B不符合題意；C、當(dāng)，∠A＝∠D時(shí)，可判定△ABC∽△DEF，故C不符合題意；D、當(dāng)，∠A＝∠D時(shí)，可判定△ABC∽△DEF，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定，解答的關(guān)鍵是熟記相似三角形的判定條件：兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，且其夾角相等的兩個(gè)三角形的相似．7．（3分）如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與圖中△ABC相似的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB，AC，BC的長(zhǎng)，求出三邊之比，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可．【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝，∴AC：BC：AB＝1：：，A、三邊之比為1：：2，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似；B、三邊之比：1：：，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似；C、三邊之比為：：3，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似；D、三邊之比為2：：，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G、H在對(duì)角線AC上，若四邊形EGFH是菱形，則AE的長(zhǎng)是（）A．6 B．6.25 C．6.5 D．7【分析】首先連接EF交AC于O，由矩形ABCD中，四邊形EGFH是菱形，易證得△CFO≌△AOE（AAS），即可得OA＝OC，然后由勾股定理求得AC的長(zhǎng)，繼而求得OA的長(zhǎng)，又由△AOE∽△ABC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．【解答】解：連接EF交AC于O，∵四邊形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE＝OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△CFO與△AOE中，，∴△CFO≌△AOE（AAS），∴AO＝CO，∵AC＝＝10，∴AO＝AC＝5，∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，∴△AOE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AE＝＝6.25．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，直線a，b，c被直線l1，l2所截，交點(diǎn)分別為點(diǎn)A，C，E和點(diǎn)B，D，F(xiàn)．已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，則的值是（）A． B． C． D．【分析】利用平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可．【解答】解：∵a∥b∥c，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PE，若△PAE與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】設(shè)AP＝x，則BP＝8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)AP＝x，則BP＝8﹣x，當(dāng)△PAE∽△PBC時(shí)，＝，即＝，解得，x＝，當(dāng)△PAE∽△CBP時(shí)，＝，即＝，解得，x＝2或6，可得：滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解答時(shí)，注意分情況討論思想的靈活運(yùn)用．二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）11．（3分）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為O，且△ABC的面積與△DEF的面積之比是16：9，則AO：OD＝4：3．【分析】根據(jù)位似圖形具有相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，位似中心為O，且△ABC的面積與△DEF的面積之比是16：9，∴AO：OD的值為：4：3，故答案為：4：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了位似變換，正確掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（3分）若＝＝＝2，且b+d+f＝4，則a+c+e＝8．【分析】根據(jù)等比性質(zhì)，可得答案．【解答】解：＝＝＝2，由等比性質(zhì)，得，a+c+e＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例等性質(zhì)，利用了等比性質(zhì)．13．（3分）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件∠ABP＝∠C（答案不唯一）使得△ABP∽△ACB．【分析】由相似三角形的判定可知：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例或兩對(duì)角相等，題中∠A為公共角，再有一對(duì)應(yīng)角相等即可．【解答】解：在△ABP與△ACB中，∠A為兩三角形的公共角，只需再有一對(duì)應(yīng)角相等即可，即∠ABP＝∠C，故答案為：∠ABP＝∠C（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題關(guān)鍵．14．（3分）如圖，校園里一片小小的樹葉，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），如果AB的長(zhǎng)度為10cm，那么AP的長(zhǎng)度為（5﹣5）cm．【分析】直接利用黃金分割的定義計(jì)算出AP的長(zhǎng)即可．【解答】解：∵P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），AB＝10cm，∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，故答案為：（5﹣5）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．15．（3分）如圖，某同學(xué)拿著一把12cm長(zhǎng)的尺子，站在距電線桿30m的位置，把手臂向前伸直，將尺子豎直，看到尺子恰好遮住電線桿，已知臂長(zhǎng)60cm，則電線桿的高度是6m．【分析】先求出△ABC∽△AEF，再根據(jù)三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比，這樣就可以求出電線桿EF的高．【解答】解：如圖，作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴，∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.12，∴EF＝＝＝6（m）．答：電線桿的高度是6m．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，解答時(shí)利用了相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比解題．16．（3分）如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．點(diǎn)P在BD上移動(dòng)，當(dāng)以P，C，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似時(shí)，則PB的長(zhǎng)為2或12．【分析】設(shè)DP＝x，則BP＝BD﹣x＝14﹣x，根據(jù)垂直的定義得到∠B＝∠D＝90°，再根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，當(dāng)時(shí)，△ABP∽△PDC，即；然后分別解方程求出x即可．【解答】解：設(shè)DP＝x，則BP＝BD﹣x＝14﹣x，∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，∴∠B＝∠D＝90°，當(dāng)時(shí)，△ABP∽△PDC，即；整理得x2﹣14x+24＝0，解得x1＝2，x2＝12，BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，∴當(dāng)BP為2或12時(shí)，以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形相似．故答案為：2或12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．17．（3分）如圖，一塊直角三角形木板，一條直角邊AC的長(zhǎng)1.5m，面積為1.5m2．按圖中要求加工成一個(gè)正方形桌面，則桌面的邊長(zhǎng)為m．【分析】先求出點(diǎn)C到AB邊的距離，再根據(jù)相似三角形△ACB和△DCE對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列式求解即可．【解答】解：∵一塊直角三角形木板，一條直角邊AC的長(zhǎng)1.5m，面積為1.5m2，∴另一直角邊長(zhǎng)為：＝2（m），則斜邊長(zhǎng)為：＝2.5，設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為h，則S△ABC＝×2.5h＝1.5，解得：h＝1.2，∵正方形GFDE的邊DE∥GF，∴△ACB∽△DCE，＝，即＝，解得：x＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)，讀懂題目信息并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，動(dòng)點(diǎn)P從A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；t＝s或s，由P、B、Q三點(diǎn)連成的三角形與△ABC相似．【分析】先用t表示出AP＝2t，BQ＝4t，BP＝6﹣2t，再利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到當(dāng)＝時(shí)，△BPC∽△BAC或當(dāng)＝時(shí)，△BPC∽△BCA，然后利用比例線段得到關(guān)于t的方程，再解方程求出t即可．【解答】解：如圖，AP＝2t，BQ＝4t，BP＝6﹣2t，∵∠PBC＝∠ABC，∴當(dāng)＝時(shí)，△BPC∽△BAC，即＝，解得t＝，當(dāng)＝時(shí)，△BPC∽△BCA，即＝，解得t＝，即當(dāng)t＝s或s時(shí)，由P、B、Q三點(diǎn)連成的三角形與△ABC相似．故答案為s或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．注意分類討論思想的應(yīng)用．三．解答題（共6小題，滿分46分）19．（6分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)．沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)ts（0＜t＜5）后，△CQP的面積為Scm2（1）在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，△CQP的面積能否等于3.6cm2？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，△CPQ與△CAB相似．【分析】（1）在矩形ABCD中求出對(duì)角線AC的長(zhǎng)度，然后表示出CQ、PC的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，然后在Rt△PHC中表示出PH的長(zhǎng)度，根據(jù)面積為3.6cm2，列方程求解．（2）分∠PQC＝90°與∠CPQ＝90°兩種情況進(jìn)行討論即可．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，CQ＝tcm，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，則PH＝（10﹣2t）cm，根據(jù)題意，得t?（10﹣2t）＝3.6，解得：t1＝2，t2＝3．答：△CQP的面積等于3.6cm2時(shí)，t的值為2或3．（2）如答圖1，當(dāng)∠PQC＝90°時(shí)，PQ⊥BC，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，∴△PQC∽△ABC，∴＝，即＝，解得t＝（秒）；如答圖2，當(dāng)∠CPQ＝90°時(shí)，PQ⊥AC，∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，∴△CPQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得t＝（秒）．綜上所述，t為秒與秒時(shí)，△CPQ與△CAB相似．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是對(duì)這些知識(shí)的熟練掌握及靈活運(yùn)用，在解答（2）時(shí)要注意分類討論．20．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AD＝2，CD＝4．求BD的長(zhǎng)．【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，根據(jù)同角的余角相等，可得∠ACD＝∠B，又由∠CDB＝∠ACB＝90°，可證得△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∵AD＝2，CD＝4，∴＝，∴BD＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似與相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用．21．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（1，2），B（3，1）（每個(gè)方格的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度）．（1）將△OAB向右平移1個(gè)單位后得到△O1A1B1，請(qǐng)畫出△O1A1B1；（2）請(qǐng)以O(shè)為位似中心畫出△O1A1B1的位似圖形，使它與△O1A1B1的相似比為2：1；（3）點(diǎn)P（a，b）為△OAB內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出位似變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（2a+2，2b）或（﹣2a﹣2，﹣2b）．【分析】（1）根據(jù)平移的規(guī)律，將點(diǎn)O、A、B向右平移1個(gè)單位，得到O1、A1、B1，連接O1、A1、B1即可；（2）連接OA1并延長(zhǎng)到A2，使OA2＝2OA1，連接OB1并延長(zhǎng)到B2，使OB2＝2OB1，連接OO1并延長(zhǎng)到O2，使OO2＝2OO1，然后順次連接即可；（3）分別根據(jù)平移和位似變換坐標(biāo)的變化規(guī)律得出坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）如圖，△O1A1B1即為所求作三角形；（2）如圖，△O2A2B2即為所求作三角形；（3）點(diǎn)P（a，b）為△OAB內(nèi)一點(diǎn)，位似變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（2a+2，2b）或（﹣2a﹣2，﹣2b），故答案為：（2a+2，2b）或（﹣2a﹣2，﹣2b）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用位似變換作圖，坐標(biāo)位置的確定，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)以及平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB?AD；∠ADC＝90°，E為AB的中點(diǎn)，（1）求證：△ADC∽△ACB；（2）CE與AD有怎樣的位置關(guān)系？試說(shuō)明理由．【分析】（1）證明∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠ACB＝90，即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得CE與AE的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠EAC＝∠ECA，根據(jù)角平分線的定義，可得∠CAD＝∠CAB，根據(jù)平行線的判定，可得答案．【解答】證明：（1）∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB．（2）CE∥AD；∵E是AB的中點(diǎn)，∴CE＝AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA．∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB，∴CAD＝∠ECA，∴CE∥AD．【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；牢固掌握直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（8分）如圖，AD、BE是△ABC的兩條高，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，F(xiàn)D交BE于M，F(xiàn)D、AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N．（1）求證：△BFM∽△NFA；（2）試探究線段FM、DF、FN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求線段AC的長(zhǎng)．【分析】（1）由DF與AB垂直，AD、BE為高，利用垂直的定義得到直角相等，利用等式的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，利用兩對(duì)角相等的三角形相似即可得證；（2）DF2＝FM?FN，理由為：由（1）相似三角形，得比例，再利用兩角相等的三角形相似得到三角形BFD與三角形DFA相似，得比例，