簡(jiǎn)明理論力學(xué)課件 12動(dòng)量矩定理

簡(jiǎn)明理論力學(xué)動(dòng)力學(xué)第三篇第十二章動(dòng)量矩定理問(wèn)題的提出：圖示定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，質(zhì)心C過(guò)轉(zhuǎn)軸，恒有可見(jiàn)：動(dòng)量只能反映剛體隨質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱，不能反映剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱。C**注：動(dòng)量矩定理由開(kāi)普勒于1609年的《新天文學(xué)

》中研究火星軌道時(shí)提出。開(kāi)普勒

JohannesKepler

（1571—1630）

德國(guó)著名的天體物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家。他首先把力學(xué)的概念引進(jìn)天文學(xué)，他還是現(xiàn)代光學(xué)的奠基人，制作了著名的開(kāi)普勒望遠(yuǎn)鏡。他發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動(dòng)三大定律，為哥白尼創(chuàng)立的“太陽(yáng)中心說(shuō)”提供了最為有力的證據(jù)。他被后世譽(yù)為“天空的立法者”。開(kāi)普勒第一定律：所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道是橢圓的。開(kāi)普勒第二定律：向量半徑（行星與太陽(yáng)的連線）在相等的時(shí)間里掃過(guò)的面積相等。開(kāi)普勒第三定律：行星公轉(zhuǎn)周期的平方與它們各自軌道半長(zhǎng)軸的立方成正比。

行星運(yùn)動(dòng)三定律的發(fā)現(xiàn)為經(jīng)典天文學(xué)奠定了基石，并導(dǎo)致數(shù)十年后萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)。幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例中國(guó)直20直升機(jī)幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例本章基本內(nèi)容：1.質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)和固定軸的的動(dòng)量矩概念及計(jì)算；3.質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于固定點(diǎn)、固定軸及質(zhì)心的動(dòng)量矩定理；4.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程及其應(yīng)用。2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念及計(jì)算。12-1動(dòng)量矩的概念12-2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量12-3動(dòng)量矩定理12-5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程12-6質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理12-7剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程第十二章動(dòng)量矩定理12-1動(dòng)量矩的概念一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩OxzyAFBMO(F)rdα力對(duì)點(diǎn)O之矩：OxzyLO=MO(mv)rα質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)點(diǎn)O之矩——質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩AmvBd——固定矢量指向：按右手法則確定大小：方向：幾何表示：度量質(zhì)點(diǎn)繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的運(yùn)動(dòng)特征量對(duì)軸的動(dòng)量矩類(lèi)似于力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的關(guān)系：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量mv

對(duì)x

軸之矩：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量mv

對(duì)x

軸之矩——代數(shù)量。其正負(fù)由右手法則確定。動(dòng)量矩單位（SI）：二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)某點(diǎn)O

之矩的矢量和

——質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)軸的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)某軸之矩的代數(shù)和——質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某軸的動(dòng)量矩三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩

riyxz取質(zhì)點(diǎn)Mi

:質(zhì)點(diǎn)Mi

對(duì)轉(zhuǎn)軸z

的動(dòng)量矩:剛體

對(duì)轉(zhuǎn)軸z的動(dòng)量矩:記:——稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的動(dòng)量矩等于其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角速度的轉(zhuǎn)向相同。12-2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的基本概念

riyxz物體轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)慣性的度量。

剛體各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與它們到轉(zhuǎn)軸z垂直距離的平方的乘積之和——稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸

z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

Jz的特點(diǎn)：Jz≥0——恒正的標(biāo)量影響

Jz的因素：與質(zhì)量的大小有關(guān)；與質(zhì)量mi

的分布有關(guān)；改變Jz

的方法：1.改變質(zhì)量（密度）ρ；2.改變質(zhì)量分布情況。Jz的單位（SI）：與轉(zhuǎn)軸z

的位置有關(guān)；二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算1.積分法由定義：可得適用于質(zhì)量連續(xù)分布，幾何形狀簡(jiǎn)單的物體。若已知密度函數(shù)：則有

常見(jiàn)規(guī)則形狀的均質(zhì)物體，轉(zhuǎn)軸過(guò)質(zhì)心C的Jz由有關(guān)工程手冊(cè)查得。zC均質(zhì)桿：均質(zhì)圓盤(pán)（輪）：zrC2.組合法——代數(shù)和O桿圓盤(pán)如：xy孔1孔2矩形板適用于均質(zhì)、簡(jiǎn)單形狀組合的物體3.實(shí)驗(yàn)測(cè)定法適用于任意不規(guī)則形狀，質(zhì)量分布不均勻的物體。①?gòu)?fù)擺測(cè)定法；②落體觀測(cè)法。（物理實(shí)驗(yàn)）4.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的工程實(shí)用計(jì)算公式(11-17)——

m為剛體的質(zhì)量；ρz

為回轉(zhuǎn)半徑Radiusofgyration

。注意：①ρz——相當(dāng)長(zhǎng)度。（假想將剛體的質(zhì)量全部集中離轉(zhuǎn)軸距離ρz

的質(zhì)點(diǎn)上，而此質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz與原剛體對(duì)軸z

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz相同。）②——其中m、Jz

由計(jì)算或?qū)嶒?yàn)測(cè)定，然后反算ρz

。（注意：ρz

并不是質(zhì)心C到轉(zhuǎn)軸的距離）三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理OxzCyCMih設(shè)z軸過(guò)剛體的質(zhì)心C，z′與zC

軸平行，兩軸間的距離為

h

，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義，有將代入，有mh2?由質(zhì)心坐標(biāo)的計(jì)算公式，有:——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理OxzCyCMih設(shè)z軸過(guò)剛體的質(zhì)心C，z′與zC

軸平行，兩軸間的距離為

h

，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義，有

——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理幾點(diǎn)說(shuō)明：①軸z與軸z′

必須平行；②z軸必須過(guò)質(zhì)心C

；③過(guò)質(zhì)心C

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。均質(zhì)桿，質(zhì)量m

zC如：reOC均質(zhì)圓盤(pán)，質(zhì)量m

ω例1已知：均質(zhì)桿和均質(zhì)圓盤(pán)的質(zhì)量分別為

m1、m2

。在所示瞬時(shí)，設(shè)角速度為w。試求該擺對(duì)O軸的動(dòng)量矩。解：ωOdl已知：圖示黃色的均質(zhì)板懸掛于A點(diǎn)，質(zhì)量為

m，且有r=R/3

試求：該板對(duì)A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

JA例2[解]小結(jié)1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩2、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩3、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩——稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量其中：4、求解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量主要用到組合法和平行移軸定理。

某質(zhì)點(diǎn)系對(duì)空間任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩都完全相同，且不等于零。這種運(yùn)動(dòng)情況可能嗎？思考題

某質(zhì)點(diǎn)系對(duì)空間任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩都完全相同，且不等于零。這種運(yùn)動(dòng)情況可能嗎？思考題參考解答

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于全部質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)點(diǎn)O的主矩，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的主矢量時(shí)，主矩與點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)，為一恒矢量。這種運(yùn)動(dòng)是可能的。12-3動(dòng)量矩定理一、對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理——質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)某固定點(diǎn)O的矩將上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，有由于O點(diǎn)為固定點(diǎn)，r

為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)矢徑，有另一方面由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理：將上述關(guān)系代入，有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)任一固定點(diǎn)的矩隨時(shí)間的變化率，等于質(zhì)點(diǎn)所受的力對(duì)該固定點(diǎn)的矩。——質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理二、對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理xyz將上式兩邊同時(shí)向坐標(biāo)軸投影，有

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)任一固定軸的矩隨時(shí)間的變化率，等于質(zhì)點(diǎn)所受的力對(duì)該固定軸的矩。——質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理三、動(dòng)量矩守恒定理(ConservationofMomentofMomentum)（1）若：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)該固定點(diǎn)的矩矢保持不變。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為平面曲線；質(zhì)點(diǎn)的矢徑單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓。有心力：力的作用線始終過(guò)某一固定點(diǎn)，該點(diǎn)稱為力心。有心力作用下的質(zhì)點(diǎn)，對(duì)力心的動(dòng)量矩矢始終保持不變（大小、方向）。rmvFMOhα三、動(dòng)量矩守恒定理(ConservationofMomentofMomentum)（2）若：若作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)某固定點(diǎn)（或軸）的矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)該固定點(diǎn)（或軸）的矩保持不變。——?jiǎng)恿烤厥睾愣ɡ?2-4質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理一、對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系：n個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)Mi

：——外力——內(nèi)力由質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，有簡(jiǎn)寫(xiě)成：n個(gè)方程將上述方程組兩邊相加,得：一、對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理將上述方程組兩邊相加,得：考慮到：有：（內(nèi)力系的主矩恒等于零）

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩隨時(shí)間的變化率，等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)該固定點(diǎn)矩的矢量和（主矩）。——質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理二、對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理將式（11-11）向固定坐標(biāo)軸投影，得

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩隨時(shí)間的變化率，等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)該固定軸矩的代數(shù)和（主矩）。——質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理注：與動(dòng)量定理類(lèi)似，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不影響質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量矩三、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒（1）若：（2）若：（各力與z軸平行或相交）——質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定理四、應(yīng)用（1）有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)動(dòng)碰撞問(wèn)題；流體對(duì)葉輪的沖擊力矩計(jì)算。（2）動(dòng)量矩守恒時(shí)，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度或速度等注：定理中各運(yùn)動(dòng)量均為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)量。例3：兩個(gè)轉(zhuǎn)子A和B分別以角速度ωA、ωB

繞同一軸線Ox、且同方向轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為JA

和JB

，現(xiàn)用離合器將兩轉(zhuǎn)子突然結(jié)合在一起，求結(jié)合后兩轉(zhuǎn)子的公共角速度。解：兩轉(zhuǎn)子A、B

——受力：——質(zhì)點(diǎn)系對(duì)x軸的動(dòng)量矩守恒計(jì)算結(jié)合前后系統(tǒng)對(duì)軸x

的動(dòng)量矩：結(jié)合前：結(jié)合后：由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)x軸的動(dòng)量矩守恒，有（這里假定ω與ωA

、ωB轉(zhuǎn)向相同）例4：均質(zhì)圓盤(pán)，其繞軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J

，可繞通過(guò)其中心的軸無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，另一質(zhì)量為m2的人由B點(diǎn)按規(guī)律沿距O軸半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)。初始時(shí)，圓盤(pán)與人均靜止。求圓盤(pán)的角速度與角加速度。解：圓盤(pán)與人一起——研究對(duì)象受力分析：動(dòng)量矩關(guān)于z

軸守恒計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩：初始時(shí)：任意瞬時(shí)：負(fù)號(hào)說(shuō)明實(shí)際轉(zhuǎn)向與圖中相反求：此時(shí)系統(tǒng)的角速度zaallABCD

ozABCD

例5：均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。圓輪在重物A帶動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為W。求：重物下落的加速度OAW例6：OAWmg解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象FOxFOyv應(yīng)用動(dòng)量矩定理:

例8：高爐上運(yùn)送礦料的卷?yè)P(yáng)機(jī)。半徑為R的卷筒可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，它關(guān)于轉(zhuǎn)軸O

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。沿傾角為θ的斜軌被提升的重物A重W。作用在卷筒上主動(dòng)轉(zhuǎn)矩為M。設(shè)繩重和摩擦均可不計(jì)。試求重物的加速度。解：(1)

研究對(duì)象——卷筒與重物A整個(gè)系統(tǒng)(2)

受力：（所有外力）(3)

分析運(yùn)動(dòng)，計(jì)算系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩：——以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎齭高爐上運(yùn)送礦料的卷?yè)P(yáng)機(jī)。半徑為R的卷筒可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，它關(guān)于轉(zhuǎn)軸O

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。沿傾角為θ的斜軌被提升的重物A重W。作用在卷筒上主動(dòng)轉(zhuǎn)矩為M。設(shè)繩重和摩擦均可不計(jì)。試求重物的加速度。解：(4)

外力對(duì)軸O的矩：s對(duì)重物A，有

(5)

代入動(dòng)量矩定理：方向與速度方向相同例8：例題9

水流通過(guò)固定導(dǎo)流葉片進(jìn)入葉輪，入口和出口的流速分別為v1和v2，二者與葉輪外周邊和內(nèi)周邊切線之間的夾角分別為

1和

2，水的體積流量為qV、密度為

，水流入口和出口處葉輪的半徑分別為r1和r2，葉輪水平放置。求：水流對(duì)葉輪的驅(qū)動(dòng)力矩。abcd解：在dt

時(shí)間間隔內(nèi)，水流ABCD

段的水流運(yùn)動(dòng)到abcd

時(shí)，所受的力以及他們對(duì)O軸之矩：

重力

——由于水輪機(jī)水平放置，重力對(duì)O軸之矩等于0；

相鄰水流的壓力

——忽略不計(jì)；

葉輪的反作用力矩

——與水流對(duì)葉輪的驅(qū)動(dòng)力矩大小相等，方向相反。abcdabcd應(yīng)用動(dòng)量矩定理:Mz小結(jié)2、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理3、動(dòng)量矩定理可以投影到固定軸上。1、質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩隨時(shí)間的變化率，等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)該固定點(diǎn)矩的矢量和。4、動(dòng)量矩定理，要注意守恒形式的意義與應(yīng)用。均質(zhì)圓盤(pán)，其繞軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J

，以角速度ω繞通過(guò)其中心的軸無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，另一質(zhì)量為m2的人由B點(diǎn)按規(guī)律沿距O軸半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)的動(dòng)量矩按如下式子計(jì)算：是否正確？思考題設(shè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體作用有力：F1、F2、……、Fn，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度：ω，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：Jz

，其繞軸的動(dòng)量矩——其轉(zhuǎn)向與ω

相同代入動(dòng)量矩定理，有——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程（轉(zhuǎn)動(dòng)定理）

剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角加速度的乘積，等于作用于剛體上的所有外力對(duì)轉(zhuǎn)軸矩的代數(shù)和。12-5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程討論：（1）方程建立了α與Mz

的瞬時(shí)關(guān)系（須在任意瞬時(shí)建立方程）（2）——?jiǎng)蜃兯俎D(zhuǎn)動(dòng)——?jiǎng)蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)——角速度ω取極值（3）則有——此時(shí)α取決于JzJz大α

小——說(shuō)明轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不易改變Jz

小α

大

——說(shuō)明轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)容易改變——慣性大——慣性小Jz是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)慣性的度量應(yīng)用：（1）已知外力矩Mz

，求α、ω、φ

=φ(t)。（2）已知α、ω、φ=φ(t)，求與力矩Mz有關(guān)的量（力、距離等）。注意事項(xiàng)：（1）不能求軸承反力；（須由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求）（2）方程兩邊α、ω、φ與力矩Mz

正轉(zhuǎn)向規(guī)定一致；（3）只適用于同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體。（一般適用于單個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體）例10：復(fù)擺compoundpendulum（物理擺physicalpendulum）如圖。已知擺的重量為W，擺關(guān)于轉(zhuǎn)軸O

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

JO，懸掛點(diǎn)（軸）O

到質(zhì)心的距離為a，求：復(fù)擺做微幅擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：運(yùn)動(dòng)分析：任意瞬時(shí)OC與x軸的夾角為φ（注：φ以增大方向?yàn)檎D(zhuǎn)向）建立定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，并求解（1）兩邊同除以JO，并整理得（2）當(dāng)做微幅擺動(dòng)（φ很小）時(shí)，（3）其解為：（4）式中：常數(shù)A、α由初始條件確定。擺動(dòng)周期：討論：——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的復(fù)擺測(cè)定法原理注意：方程兩邊正轉(zhuǎn)向規(guī)定必須一致。

0OFNF求：

制動(dòng)所需的時(shí)間。已知：

JO

，

0，F(xiàn)N，f

。解：取飛輪為研究對(duì)象解得:例11：xy高爐上運(yùn)送礦料的卷?yè)P(yáng)機(jī)。均質(zhì)卷筒半徑為R，重量為G

。沿傾角為θ

的斜軌被提升的重物A重W

。作用在卷筒上主動(dòng)轉(zhuǎn)矩為M

。斜面與重物間摩擦因素為μ，繩重可不計(jì)。試求重物的加速度。解：(1)

研究對(duì)象——卷筒OOM（1）A(2)

研究對(duì)象——重物A（2）（3）（4）(3)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：（5）聯(lián)立求解，得如何求軸承反力？需對(duì)卷筒用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。討論：例12：已知：

J1

，J2

，R1，R2

，

i12=

R2/R1，

M1

，

M2

。求：

軸Ⅰ的角加速度。(設(shè)I軸為主動(dòng)軸)ⅠⅡM1M2例13：M2M1α1α2解：分別取軸Ⅰ和Ⅱ?yàn)檠芯繉?duì)象解得：ⅠⅡM1M2F轉(zhuǎn)子Ⅰ對(duì)自身轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣J1=1kg·m2，轉(zhuǎn)子Ⅱ?qū)ζ滢D(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2=1.5kg·m2，兩輪的齒數(shù)之比

k=z1/z2=1/2，如圖所示。設(shè)轉(zhuǎn)子Ⅰ上作用有轉(zhuǎn)矩為M的力偶，使轉(zhuǎn)子Ⅰ自靜止開(kāi)始勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)10s

轉(zhuǎn)速達(dá)n1=1500r/min

。已知軸Ⅰ上齒輪的節(jié)圓半徑為r1=100mm，軸承摩擦不計(jì)。試計(jì)算轉(zhuǎn)矩M和齒輪的圓周力Ft

。解：運(yùn)動(dòng)分析：轉(zhuǎn)向與M

相同外嚙合，α1

與α2

轉(zhuǎn)向相反

由傳動(dòng)比概念，有例14：

轉(zhuǎn)子Ⅰ對(duì)自身轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1=1kg·m2，轉(zhuǎn)子Ⅱ?qū)ζ滢D(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2=1.5kg·m2，兩輪的齒數(shù)之比

k=z1/z2=1/2，如圖所示。設(shè)轉(zhuǎn)子Ⅰ上作用有轉(zhuǎn)矩為M的力偶，使轉(zhuǎn)子Ⅰ自靜止開(kāi)始勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)10s

轉(zhuǎn)速達(dá)n1=1500r/min

。已知軸Ⅰ上齒輪的節(jié)圓半徑為r1=100mm，軸承摩擦不計(jì)。試計(jì)算轉(zhuǎn)矩M和齒輪的圓周力Ft

。解：——兩邊都以逆時(shí)針為正軸Ⅰ——（1）軸Ⅱ——（2）——兩邊都以順時(shí)針為正利用：聯(lián)立求解（1）（2）得幾點(diǎn)注意：（1）對(duì)每一軸分別列方程；（2）方程兩邊正轉(zhuǎn)向規(guī)定一致；（3）α1

與α2

轉(zhuǎn)向協(xié)調(diào)。例14：圖示系統(tǒng)。均質(zhì)圓輪

A：質(zhì)量m1，半徑r1，以角速度ω繞軸A轉(zhuǎn)動(dòng)；均質(zhì)圓輪

B：質(zhì)量m2，半徑r2，繞軸B轉(zhuǎn)動(dòng)，初始靜止；現(xiàn)將輪A放置在輪B上，問(wèn)自A輪放在B輪上到兩輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)為止，需用多少時(shí)間。設(shè)兩輪間的摩擦因素為μ

，略去軸承摩擦和桿OA的質(zhì)量。解：AB假設(shè)兩輪的角加速度分別為：輪A——（1）y（2）（3）求解得任意瞬時(shí)角速度：輪B——（4）（5）例15：（6）無(wú)相對(duì)滑動(dòng)的條件：將式（4）（6）代入得：ABy（4）其中：OFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除約束前：

FOx=0,FOy=mg/2突然解除約束瞬時(shí)：

FOx=？

FOy=？

關(guān)于突然解除約束問(wèn)題

突然解除約束瞬時(shí)，桿OA將繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，不再是靜力學(xué)問(wèn)題。這時(shí)，

0，

0。需要先求出

，再確定約束力。OFOxFOyW=mgAC應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

解除約束的前、后瞬時(shí)速度與角速度連續(xù)，加速度與角加速度將發(fā)生突變。突然解除約束問(wèn)題的特點(diǎn)

系統(tǒng)的自由度一般會(huì)增加；均質(zhì)圓盤(pán)，質(zhì)量為m，半徑為R，不計(jì)軸承摩擦，圖示位置，OB

處于水平。現(xiàn)將繩子BD

突然切斷，求：切斷瞬時(shí)軸承O

處的反力。BCOD解：圓盤(pán)——mgnτ列寫(xiě)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程：切斷瞬時(shí)圓盤(pán)的角速度為：質(zhì)心的加速度：——以順時(shí)針為正例16：均質(zhì)圓盤(pán)，質(zhì)量為m，半徑為R，不計(jì)軸承摩擦，圖示位置，OB

處于水平。現(xiàn)將繩子BD

突然切斷，求：切斷瞬時(shí)軸承O

處的反力。BCOD解：mgnτ代入質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：

實(shí)際方向與圖中相反例17：質(zhì)心的加速度：小結(jié)1、由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理，有也可以有如下形式：這就是

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程。解除約束的前、后瞬時(shí)速度與角速度是連續(xù)的，加速度與角加速度將發(fā)生突變。2、突然解除約束問(wèn)題：思考題

如圖所示，轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)中，輪I、輪II的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，輪I的角加速度按下式計(jì)算對(duì)嗎？12-6質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理問(wèn)題的引出

C這些物體的運(yùn)動(dòng)中，有轉(zhuǎn)動(dòng)的成分，但又不是定點(diǎn)（軸）轉(zhuǎn)動(dòng)。能不能用動(dòng)量矩定理來(lái)描述他（它）們的運(yùn)動(dòng)呢？miri′Oyxzriy′x′z′CvirC由質(zhì)心坐標(biāo)公式，有一、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩計(jì)算miri′Oyxzriy′x′z′CvirC二、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心與對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩之關(guān)系三、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心(平移系)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩，這就是質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心(平移系)的動(dòng)量矩定理。

當(dāng)外力對(duì)質(zhì)心的主矩為0時(shí)，均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為2m，半徑為r。細(xì)桿OA質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l＝3r，繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w、求下列三種情況下系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩：(a)圓盤(pán)與桿固結(jié)；(b)圓盤(pán)繞軸A相對(duì)桿OA以角速度w逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)；(c)圓盤(pán)繞軸A相對(duì)桿OA以角速度ω順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。解：(a)圓盤(pán)與桿固結(jié)例17：解：(b)圓盤(pán)繞軸A相對(duì)桿OA以角速度w逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨質(zhì)心（以質(zhì)心為基點(diǎn)）的平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。miri′Oyxzriy′x′z′CvirC先將前面質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)之動(dòng)量矩的計(jì)算應(yīng)用到剛體平面運(yùn)動(dòng)中來(lái)：(b)(c)

CFNmgaCαF解：取圓盤(pán)為研究對(duì)象，

圓盤(pán)做純滾動(dòng)已知：

m，R，

，aC。斜面足夠粗糙，試求圓盤(pán)所受摩擦力。討論：圓盤(pán)的初始條件對(duì)所求結(jié)果會(huì)有什么影響呢？對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理描述是物體運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)的關(guān)系，與初始條件無(wú)關(guān)。計(jì)算圓盤(pán)的相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩：帶入相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：得：又已知運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：(1)(2)聯(lián)立(1)、(2)得：ω例18：課堂練習(xí)M圖示系統(tǒng),CODRr卷?yè)P(yáng)機(jī)鼓輪O：作用有轉(zhuǎn)矩M=常數(shù)；均質(zhì)圓柱體C：P，R，做純滾動(dòng)；斜面傾角為α，求：已知：某瞬時(shí)，圓柱中心C的加速度為aC；圓柱體D處的摩擦力。解：由對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：選圓柱體為研究對(duì)象。1、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩，這就是質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理。小結(jié)2、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理與相對(duì)于固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理具有相同的形式，而對(duì)相對(duì)于質(zhì)心以外的其它動(dòng)點(diǎn)，一般并不存在這種簡(jiǎn)單關(guān)系。3、由質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理和質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,可以進(jìn)一步得出剛體平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。M圖示系統(tǒng),CODRr卷?yè)P(yáng)機(jī)鼓輪O：作用有轉(zhuǎn)矩M=常數(shù)；均質(zhì)圓柱體C：P，R，做純滾動(dòng)；斜面傾角為α，求：已知：某瞬時(shí)，圓柱中心C的加速度為aC；圓柱體D處的摩擦力。思考題MCODRr解：由對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：選圓柱體為研究對(duì)象。思考題參考解答12-7剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，有：

F1F2FnOyxx′y′C

D

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程已知：

m

，R,f

，

。就下列各種情況分析圓盤(pán)的運(yùn)動(dòng)和受力。

CFNmg(a)斜面光滑aCα解：取圓輪為研究對(duì)象

圓盤(pán)做平動(dòng)例19：

C(b)斜面足夠粗糙F由

得：

滿足純滾的條件：FNmgaCα(c)斜面介于上述兩者之間圓盤(pán)既滾又滑

CFFNmgaCαFC

平板質(zhì)量為m1，受水平力F作用而沿水平面運(yùn)動(dòng)，板與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為f，平板上放一質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱，它相對(duì)平板只滾動(dòng)不滑動(dòng)。

求平板的加速度。

例20：FCFCαF1FN1FN2F2′FN2′F2m1gm2gaaCar解：取圓輪和板為研究對(duì)象對(duì)板：對(duì)圓輪：已知：m1,m2,R,f,F

。求：板的加速度。

取B分析，受力如圖。B做平面運(yùn)動(dòng)。應(yīng)用平面運(yùn)動(dòng)的微分方程有均質(zhì)圓柱體A和B質(zhì)量均為m，半徑均為r。圓柱A可繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上。求B下落時(shí)，質(zhì)心C點(diǎn)的加速度。摩擦不計(jì)。解：取A分析，受力如圖。A做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程有其中aAFTmgFOxFOyOAF'TmgaBCDBaC由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系aD＝raA,，而由加速度合成定理有D例21：均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面，另一端沿著鉛垂墻壁，從圖示位置無(wú)初速地滑下。不計(jì)摩擦，求開(kāi)始滑動(dòng)的瞬時(shí)，地面和墻壁對(duì)桿的約束反力。解：以桿AB為研究對(duì)象，分析受力。yBqCAmgxBqCAFAFB

桿作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)心C的加速度為aCx、aCy，角加速度為a。aaCxaCy由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程mg例22：BqCAyx以C點(diǎn)為基點(diǎn)，則A點(diǎn)的加速度為再以C點(diǎn)為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的加速度為aAaaBaCxaCyatBCatAC在運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí),w＝0,故,將上式投影到y(tǒng)

軸上，得an＝0AC同理， ，將上式投影到x軸上，得an＝0BC聯(lián)立求解(1)~(5)式，并注意到可得注：亦可由坐標(biāo)法求出(4)、(5)式：運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，，故BqCAxyjAxCB如圖質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB用細(xì)繩吊住，已知兩繩與水平方向的夾角為j。求B端繩斷開(kāi)瞬時(shí)，A端繩的張力。解：取桿分析，建立如圖坐標(biāo)。有AB做平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，則jjABFT因?yàn)閿嚅_(kāi)初瞬時(shí),vA＝0,w＝0,故,an＝0Aan＝0CA將上式投影到x軸上，得an

CAat

CAat

Aan

AajAxCBaaCxmg例23：長(zhǎng)l，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB和BC用鉸鏈B聯(lián)接，并用鉸鏈A固定，位于平衡位置。今在C端作用一水平力F，求此瞬時(shí)，兩桿的角加