2026-2027學年高二上學期數學人教A版選擇性必修第二冊+課件+第四章　數列求和(習題課)

第二課時數列求和(習題課)[目標導航]課標要求1.通過具體實例,理解并掌握數列的分組求和法2.通過具體實例,理解并掌握數列求和的裂項相消法3.通過具體實例,理解并掌握數列求和的錯位相減法新知導學·素養啟迪新知梳理1.公式法求和2.分組轉化法求和有些數列,通過適當分組,可把它拆分成等差數列和等比數列求和.3.裂項相消法求和把數列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其和.4.錯位相減法求和如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的,在求和式子的左、右兩邊同乘等比數列的公比,然后錯位相減,使其轉化為等比數列的求和問題.5.倒序相加法如果一個數列{an}的前n項中與首末兩項“等距離”的兩項的和相等或等于同一個常數,那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解.6.并項求和法一個數列的前n項和中,可兩兩結合求解,則稱之為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5

050.小試身手1.已知數列{an}的通項公式為an=2n+n,前n項和為Sn,則S6=

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1473.若Sn=1-2+3-4+5-6+…+(-1)n-1·n,則S50=

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-25解析:S50=(1-2)+(3-4)+…+(49-50)=-25.4.3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)·2-n=

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課堂探究·素養培育(1)求數列{an}的通項公式;分組轉化法求和即時訓練1-1:已知等差數列{an}滿足a3+a5=20,a6=4a2.(1)求數列{an}的通項公式.(2)設數列{bn}是各項均為正數的等比數列,cn=an+bn,再從以下條件中選擇兩個作為一組已知條件,求數列{cn}的前n項和Sn.條件①:b1=1.條件②:b5=8b2.條件③:b2+b3=6.分組轉化法求和的常見類型(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}為等差或等比數列,可采用分組求和法求{an}的前n項和.(3)例1中分組求和時同時也用到了并項求和.裂項相消法求和[例2]

已知公差d不為零的等差數列{an}中,a5+a7=22,且a1,a2,a5成等比數列.(1)求數列{an}的通項公式;裂項求和的幾種常見類型:錯位相減法求和[例3]

已知數列{an}的前n項和為Sn=n2+2n.(1)求這個數列的通項公式an;解:(1)數列{an}的前n項和為Sn=n2+2n,①當n=1時,解得a1=3.當n≥2時,Sn-1=(n-1)2+2(n-1),②①-②得an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1.由于n=1也適合上式,故an=2n+1.(2)若bn=2nan,求數列{bn}的前n項和Tn.解:(2)由(1)得bn=2nan=(2n+1)·2n,所以Tn=3×21+5×22+…+(2n+1)·2n,①2Tn=3×22+5×23+…+(2n+1)·2n+1,②①-②得-Tn=3×21+2(22+23+…+2n)-(2n+1)·2n+1,整理得(1)設bn=an-n,求證:數列{bn}是等比數列;(2)求數列{(2n-1)·bn}的前n項和Tn.(2)解:由(1)可知bn=2n,(2n-1)bn=(2n-1)·2n,故Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n,①2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1,②①-②得,(1-2)Tn=21+(23+24+…+2n+1)-(2n-1)×2n+1,所以-Tn=21+(23+24+…+2n+1)-(2n-1)×2n+1=-(2n-3)×2n+1-6,故數列{(2n-1)·bn}的前n項和Tn=(2n-3)×2n+1+6.探究點三函數零點個數問題錯位相減法求和時的三個注意點(1)如果數列{an}是等差數列,{bn}是等比數列,求數列{an·bn}的前n項和時,可采用錯位相減法.(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式,同時應注意差式中成等比數列的項數.(3)在應用錯位相減法求和時,若等比數列的公比為參數,應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.當堂即練·素養達成1.已知an=(-1)n,數列{an}的前n項和為Sn,則S9與S10的值分別是(

)A.1,1

B.-1,-1C.1,0

D.-1,0當堂即練D

解析:S9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1,S