2026暑假新高三數學暑假精講精練專題11三角函數的定義、同角三角函數基本關系（教師版）

高二數學暑假作業精講精練（新人教A版2019）

專題11三角函數的定義、同角三角函數基本關系

基礎知識復習

1．角的概念

(1)任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；②分

類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角．

(2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，構成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．

(3)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說

這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．

2．弧度制

(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度

數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0.

180

π

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝rad，1rad＝π°.

180

11

(3)扇形的弧長公式：l＝|α|·r，扇形的面積公式：S＝lr＝|α|·r2.

22

3．任意角的三角函數

任意角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)時，

y

則sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．

x

三個三角函數的性質如下表：

三角

定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號

函數

sinαR＋＋－－

cosαR＋－－＋

π

{α|α≠kπ＋，

tanα2＋－＋－

k∈Z}

4．同角三角函數的基本關系

(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.

sinαπ

(2)商數關系：＝tanα(α≠＋kπ，k∈Z)．

cosα2

5．三角函數的誘導公式

公式一二三四五六

ππ

角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α

22

正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα

余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα

正切tanαtanα－tanα－tanα

口訣函數名不變，符號看象限函數名改變，符號看象限

【知識拓展】

1．同角三角函數關系式的常用變形

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；

sinα＝tanα·cosα.

2．誘導公式的記憶口訣

“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指π的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化．

2

典型習題強化

題型一利用定義求三角函數值

【例1】在平面直角坐標系xOy中，角與角均以x軸的非負半軸為始邊，終邊關于原點O對稱.若角的

25

終邊與單位圓⊙O交于點P(,)，則cos（）

33

2255

A．B．C．D．

3333

【答案】B

25

【分析】根據對稱可得P(,)，進而根據三角函數的定義即可求解.

33

25

【詳解】角與角終邊關于原點O對稱，且若角的終邊與單位圓⊙O交于點P(,)，所以角的終

33

25

邊與單位圓⊙O交于點P(,)，

33

2

故cos，

3

故選：B

【例2】已知角的終邊落在直線y2x上，則sin的值為（）

2552525

A．B．C．D．

5555

【答案】D

【分析】根據三角函數得定義求解即可得出結論.

【詳解】設直線y2x上任意一點P的坐標為(m,2m)（m0），

2

則OPm22m5m（O為坐標原點），

y2m2m

根據正弦函數的定義得：sin，

rOP5m

2525

m0時，sin；m0時，sin，

55

所以選項D正確，選項A，B，C錯誤，

故選：D.

2π2π

【變式1-1】已知角的終邊上一點的坐標為sin，cos，則角的最小正值為（）

33

5π2π

A．B．

63

5π11π

C．D．

66

【答案】D

【分析】根據特殊角的三角函數值，結合正切函數的定義進行求解即可.

2π2π

【詳解】因為角終邊上一點的坐標為sin，cos，

33

2π1

cos

3

所以有tan32，

2π

sin33

32

2π12π3

因為cos0,sin0，

3232

所以角是第四象限角，

π11π

所以角的最小正值為2π，

66

故選：D

34

【變式1-2】已知角以坐標系中Ox為始邊，終邊與單位圓交于點,，則下列各式正確的有（）

55

71

A．sincosB．sincos

55

129

C．sincosD．sintan

2520

【答案】C

【分析】根據三角函數的定義求出的三角函數值，再逐一判斷即可.

34

【詳解】因為角以坐標系中Ox為始邊，終邊與單位圓交于點,，

55

434

所以sin,cos,tan，

553

7

所以sincos，故A錯誤；

5

1

sincos，故B錯誤；

5

12

sincos，故C正確；

25

4416

sintan，故D錯誤.

5315

故選：C.

511

【變式1-3】已知角的終邊與一次函數yx(x≤0)的函數圖象重合，則cosa的值為．

12tanasina

77

【答案】

13

【分析】由題意利用任意角的三角函數的定義，求得的正切值、正弦值、余弦值，可得要求式子的值．

5

【詳解】∵角的終邊與一次函數yx(x≤0)的函數圖象重合，

12

則不妨在角的終邊上取點P(12,5)，則|OP|13,

1255

∴cos，sin，tana,

131312

1112121377

則cosa，

tanasina135513

77

故答案為：．

13

題型二根據三角函數值求參數

1

【例3】設是第二象限角，Px,1為其終邊上一點，且cosx，則tan.

3

21

【答案】/2

44

【分析】由三角函數的定義及角所在象限、終邊上的點列方程求參數，進而求正切值.

x111

【詳解】由題設cosx0，則且x0，可得x22，

x213x219

12

所以tan.

x4

2

故答案為：

4

2

【例4】已知為第二象限角，點Px,5在其終邊上，且cosx，則tan．

4

15

【答案】

3

【分析】根據根據三角函數定義和所在象限求出x值，再根據三角函數定義求出正切值.

x2

【詳解】根據三角函數定義cosx，解得x3，

x254

因為為第二象限角，所以x3，

515

所以tan.

33

15

故答案為：.

3

【變式2-1】已知角的終邊經過點Ax,2，B8,y，且yx8，則sin（）

552525

A．B．C．D．

5555

【答案】B

2y

【分析】由三角函數的定義，有tan，結合yx8，解出x,y，可求sin.

x8

2yx425

【詳解】由題意可得tan，所以xy16,又yx8，所以，則sin.

x8y41645

故選：B

【變式2-2】若300°角的終邊所在直線上一點為4,a，則a的值為．

【答案】43

【分析】根據橫坐標判斷終邊位置，結合三角函數定義可解.

【詳解】∵40，且點4,a在300所在直線上，

∴點4,a在120°角的終邊上，a0，

a3

sin120，得a43.

16a22

故答案為：43

【變式2-3】（多選）已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上存兩點A1,a，Bb,1

1

且sin，則（）

3

2

A．aB．b22

4

222

C．cosD．tan

34

【答案】BCD

【分析】根據任意角的三角函數的定義列方程可求出a,b的值，從而可求出角的其它三角函數值.

【詳解】因為角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上存兩點A1,a，Bb,1且

1

sin，

3

a11

所以，

1a2b213

1

所以a2,b28，

8

a1

由，可知a0，所以角為第二象限的角，所以b0，

1a23

2

所以a,b22，所以A錯誤，B正確，

4

b22112

所以cos，tan，所以CD正確，

b213b224

故選：BCD

題型三象限的符號問題

【例5】設是三角形的一個內角，下列那些值有可能取負值？

sin，cos，tan，tan

2

【答案】cos，tan有可能取負值

【分析】根據題意結合三角函數值的符號分析判斷.

π

【詳解】因為(0,π),0,，

22

所以sin0，tan0恒為正數，cos,tan可能為負值.

2

sinxcosxtanx

【例6】當x為第四象限角時，（）

sinxcosxtanx

A．1B．1C．3D．3

【答案】B

【分析】由象限角確定對應函數值符號，進而化簡目標式求值.

【詳解】由x為第四象限角，則sinx0,cosx0,tanx0，

sinxcosxtanxsinxcosxtanx

所以1.

sinxcosxtanxsinxcosxtanx

故選：B

【變式3-1】“cos0且tan0”是“為第三象限角”的（）

A．充要條件B．必要不充分條件

C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據三角函數符號判斷即可.

π3π

【詳解】充分性：由cos0可知2kπ2kπ,kZ，

22

π3π

由tan0可知2kπ2kπ或π2kπ2kπ,kZ，

22

3π

綜上，π2kπ2kπ,kZ，即為第三象限角.

2

必要性：若為第三象限角，則cos0且tan0.

所以“cos0且tan0”是“為第三象限角”的充要條件.

故選：A

【變式3-2】已知是第二象限角，則（）

A．sin0B．cos0

22

θ

C．tan>0D．tan0

22

【答案】C

【分析】由題意利用象限角的概念求解即可.

【詳解】∵θ是第二象限角，

π

∴2kπ+2kπ+π,kZ,

2

ππ

∴kπ+kπ+,kZ

422

θ

∴是第一或第三象限角，可得tan>0.

22

故選：C.

【變式3-3】（多選）下列函數值符號為正的是（）

A．sin155B．cos225

3π7π

C．tanD．tan

46

【答案】AD

【分析】利用三角函數的象限角的符號判斷.

【詳解】解：因為155是第二象限角，所以sin1550，故A正確；

因為225是第三象限角，所以cos2250，故B正確；

3π3π

因為是第二象限角，所以tan0，故C正確；

44

7π7π

因為是第三象限角，所以tan0，故D正確；

66

故選：AD

題型四弦切知一求二

4

【例7】若tan，0,π，則cos的值為（）

3

3344

A．B．-C．D．

5555

【答案】A

【分析】利用商關系和平方關系建立方程組可得答案.

4sin4

【詳解】因為tan，所以；

3cos3

16223

因為sin2cos21，所以coscos1，解得cos；

95

4π3

因為tan0,0,π，所以0,，所以cos.

325

故選：A.

2

【例8】若0,π，2sincos，則tan（）

5

3431

A．-B．C．D．

5544

【答案】C

【分析】根據同角三角函數平方關系和角的范圍可構造方程求得sin，進而得到cos，由同角三角函數商

數關系可求得結果.

22

【詳解】由2sincos得：cos2sin，

55

2

2222284

sincossin2sin5sinsin1，

5525

37

解得：sin或sin，

525

3264

又0,π，sin0，即sin，cos，

5555

3

sin3

tan5.

4

cos4

5

故選：C.

1

【變式4-1】已知cos，則sin的值為（）

3

226226

A．B．C．D．

3333

【答案】C

【分析】根據同角三角函數基本關系求解.

1

【詳解】因為cos，

3

122

所以sina1cos21，

93

故選：C

12

【變式4-2】（1）已知cos，且為第四象限角，求sin和tan的值；

13

π

（2）已知tan3,π，求sin,cos的值；

2

1

（3）已知sincos，若是第二象限角，求sincos的值．

5

55103107

【答案】（1）sin，tanθ=-；（2）cos，sin；（3）sincos.

131210105

【分析】（1）由同角三角函數的基本關系求解；

（2）由同角三角函數的基本關系求解；

（3）由(sincos)212sincos得sincos的值，再由(sincos)212sincos求解.

【詳解】（1）因為為第四象限角，則sin0，

2

2125

sin1cos1，

1313

5

sin135

tan.

cos1212

13

sin

（2）因為tan3，所以3，則sin3cos.

cos

21

又sin2cos21，故(3cos)2cos21，則cos.

10

10

因為，所以sin0，cos0，故cos，

210

310

所以sin1cos2.

10

1

（3）(sincos)2sin2cos22sincos12sincos，

25

24

所以2sincos，

25

2449

所以(sincos)2sin2cos22sincos12sincos1，

2525

7

所以sincos,又因為是第二象限角，所以sin0，cos0，

5

7

所以sincos.

5

2

【變式4-3】已知2cos3sin0,,，則cosθ的值是（）

22

1233

A．B．C．D．

2223

【答案】C

【分析】由同角三角函數平方關系，將已知條件化為(2sin1)(sin2)0求sin，結合(,)及平

22

方關系求cos即可.

1

【詳解】由題設，2sin23sin2(2sin1)(sin2)0，可得sin或sin2（舍），

2

3

又(,)，則cos1sin2.

222

故選：C

題型五正余弦齊次式的運算

【例9】已知sin2cos，則3sin24sincos．

【答案】4

【分析】首先求tan，再將所求轉化為齊次分式形式，并用tan表示，即可求解.

【詳解】因為sin2cos，則tan2，

3sin24sincos3tan24tan3442

原式4.

sin2cos2tan2141

故答案為：4

1

【例10】已知tan2，則＝.

sin2sincos2cos2

5

【答案】

4

1sin2cos2sin

【分析】，再利用tan可得答案.

sin2sincos2cos2sin2sincos2cos2cos

【詳解】因sin2cos21，tan2,

1sin2cos2sin

則，又tan，

sin2sincos2cos2sin2sincos2cos2cos

sin2cos2tan21415

則.

sin2sincos2cos2tan2tan24224

5

故答案為：

4

【變式5-1】已知角的終邊經過點P(a,3a)(a0)，

sincos

(1)求的值；

sincos

(2)若sin,cos是方程x2mxn0的兩個根，求m2n的值.

1

【答案】(1)

2

19

(2)

10

【分析】（1）先由三角函數的定義求得tan，再利用齊次式法即可得解；

（2）先利用韋達定理求得m,n關于sin,cos的表達式，再利用齊次式法即可得解.

3a

【詳解】（1）因為角的終邊經過點P(a,3a)(a0)，所以tan3，

a

sincostan1311

則.

sincostan1312

（2）因為sin,cos是方程x2mxn0的兩個根，

所以sincosm，sincosn，且m24n0，

23sincos

則m2nsincossincos13sincos1

sin2cos2

3tan3319

11.

tan2132110

4sin2cos

【變式5-2】已知1，

5sin3cos

(1)求tan的值；

(2)求2sin23cos2sincos的值．

【答案】(1)5

21

(2)

13

【分析】（1）等式左邊的分子，分母同除以cos得到關于正切的方程，求出答案；

2sin23cos2sincos

（2）式子化為，化弦為切，代入求值即可.

sin2cos2

4sin2cos

【詳解】（1）1，等式左邊的分子，分母同除以cos得，

5sin3cos

4tan2

1，即5tan34tan2，

5tan3

解得tan5；

2sin23cos2sincos

（2）2sin23cos2sincos

sin2cos2

2

2tan23tan253521

2

tan215113

3π110

【變式5-3】已知π，tan

4tan3

(1)求tan的值；

sincos

(2)求的值；

sincos

(3)求2sin2sincos3cos2的值．

1

【答案】(1)

3

1

(2)

2

11

(3)-

5

【分析】（1）根據角的范圍確定1tan0，即可由一元二次方程求解，

（2）（3）根據弦切齊次式即可求解.

3π

【詳解】（1）由于π，所以1tan0，

4

110

又tan得3tan210tan30，

tan3

1

解得tan或tan3（舍去），

3

1

故tan

3

1

1

sincostan11

（2）3

1

sincostan112

3

（3）

2

11

22223

2sinsincos3cos2tantan311

2233

2sinsincos3cos2222

sincostan115

1

3

題型六sincos與sincos關系應用

1

【例11】（多選）已知0,π，sincos，則下列結論正確的是（）

5

12π

A．sincosB．,π

252

37

C．cosD．sincos

55

【答案】BD

【分析】通過平方的方法，結合同角三角函數的基本關系式求得正確答案.

1

【詳解】依題意，0,π，sincos，

5

1

兩邊平方得sin22sincoscos212sincos，

25

12π

sincos0，所以π，A選項錯誤，B選項正確.

252

2

則sinθ-cosθ>0，所以sincossincos12sincos

247

1，所以D選項正確.

255

1

sincos

53

由，兩式相減并化簡得cos，所以C選項錯誤.

75

sincos

5

故選：BD

10

【例12】已知sincos，則sin4cos4，若π,0，則tan.

5

411

【答案】/0.82

503

10

【分析】根據sincos及sin2cos21從而可求出空①，又π,0，利用同角三角函數的

5

關系可求出空②.

10222

【詳解】由題意：sincos，得：sincos2sincos，

55

3

所以：sincos，

10

2

2

442222341

所以：sincossincos2sincos12，

1050

因為：π,0，所以：sin0，

10

又因為：sincos，得：cos0，

5

2228210

所以：sincossincos2sincos，得：sincos

55

1010310

又因為：sincos，所以：sin，cos，

51010

10

sin1

所以：tan10.

cos3103

10

411

故答案為：；.

503

2

【變式6-1】已知sinxcosx，x0,π，求sinxcosx的值．

3

【答案】14

3

25214

【分析】sinxcosx兩邊平方得到2sinxcosx，進而求出sinxcosx，

399

結合角的范圍和sinxcosx0得到sinx0,cosx0，從而求出答案.

24

【詳解】sinxcosx兩邊平方得sin2x2sinxcosxcos2x，

39

45

即12sinxcosx，故2sinxcosx，

99

222514

sinxcosxsinx2sinxcosxcosx1，

99

又x0,π，sinxcosx0，故sinx0,cosx0，sinxcosx0，

14

故sinxcosx.

3

1

【變式6-2】已知sin,cos是關于x的方程x2axa0的兩個根aR，則tan．

tan

【答案】12/21

sincosa2

【分析】根據根與系數關系可以求得，然后利用sincosa2，求出a的值，然后

sin·cosa

111

tan即可求解.

tansincosa

2

【詳解】由題意得：sin，cos是x2axa0的兩個根，即：a4a0，解得：a4或a0，

sincosa2

由根與系數的關系得：，所以：sincos12sincosa2，

sin·cosa

即：a22a10，解得：a12，a12（舍去），

1sincos111

tan12.

tancossinsincosa12

故答案為：12.

133

【變式6-3】已知sincos，則sincos．

4

47

【答案】

128

33221

【分析】由立方差公式，得sincossincossincossincos.將sincos兩

4

邊平方，解得sincos15，代入即可得解.

32

【詳解】由題知sin3cos3sincossin2cos2sincos，

1

因為sincos1，兩邊平方有12sincos，

416

3311547

所以sincos15，所以sincos1.

32432128

47

故答案為：.

128

題型七同角三角函數關系的化簡求值

3π1sin1sin

【例13】若π，則的化簡結果是（）

21sin1sin

2222

A．B．