廣東省佛山市普通高中2025-2026學年高一下學期供題訓練數學試卷（含解析）

廣東佛山市2025-2026學年普通高中供題訓練高一數學一、單選題1．的虛部為（

）A． B． C． D．2．樣本數據，，，，，，的中位數為（

）A．12 B．14 C．16 D．203．已知，，則（

）A． B． C． D．4．如圖，在長方體中，，為中點，則直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．5．已知，，則（

）A． B． C． D．6．在中，，，，則（

）A． B． C． D．7．一列高鐵列車在平直鐵軌上沿水平向右的方向做勻速直線運動，速度大小為米/秒，列車車輪半徑為米，當秒時，車輪上的點恰好與鐵軌表面接觸（即位于最低點）．設經過時間秒，點到鐵軌表面的高度為，則（

）A． B．C． D．8．在中，、分別在邊和上，與交于點，若，則與的面積之比為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知函數，則（

）A．的最小正周期為 B．的最小值為C． D．在上單調遞增10．已知復數，，則下列復數中，在復平面上對應的點位于第一象限的有（

）A． B． C． D．11．如圖，正方體的棱長為2，則（

）

A．三棱錐的外接球半徑為B．三棱錐的內切球半徑為C．點在正方體的棱上，若，則滿足條件的點有6個D．點在正方體表面，若，則點的軌跡圍成的面積為三、填空題12．如圖，，，，均在單位格點上，則__________．

13．一個半徑為2的半圓卷成圓錐，則該圓錐的高為__________．14．平面四邊形中，，，，則的最大值為__________．四、解答題15．如圖，在四棱臺中，底面是正方形，底面，．(1)求四棱臺的體積；(2)求點到平面的距離．16．讀書啟智，書香潤心．堅持課外閱讀不僅能積累知識、開闊眼界，更能涵養品格、豐盈內心，青少年應當主動培養每日閱讀的良好習慣．為營造書香校園氛圍，了解學生日常閱讀情況，某校隨機抽取100名高一學生，調查他們一周課外閱讀時長（單位：小時），根據統計結果作得下面頻率分布直方圖．(1)求的值，并估計該校高一學生平均每周課外閱讀時長（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；(2)用分層抽樣的方法，樣本按比例分配，從課外閱讀時長在的學生中抽取5人，請問課外閱讀時長在有多少人；(3)定義“閱讀愛好者”為一周課外閱讀時長不低于第80百分位數的學生，請估計該校高一學生“閱讀愛好者”一周課外閱讀時長的最小值．17．如圖，在直三棱柱中，，，，，分別是，，的中點．(1)證明：平面平面；(2)探究直線與平面的位置關系，并說明理由；(3)求二面角的正弦值．18．記的內角，，所對的邊分別為，，．已知，．(1)求的值；(2)若的面積為，是邊上的點，且，求的長．19．已知函數．(1)求的對稱軸方程；(2)若在上的值域為，求的取值范圍；(3)若關于的方程存在三個相鄰實根，，（其中），且，求．參考答案1．C【詳解】，故其虛部為2．B【詳解】將數據從小到大排序為：10，12，14，14，16，20，24，樣本容量，故該樣本數據的中位數為14.3．B【詳解】因為，所以，所以，所以.4．A【詳解】如圖所示：

設，由，得.在長方體中，由、，可得，因此直線與所成的角為（或其補角）.在中，，則，因為為中點，故，在中，則，由，，可得，所以為等邊三角形，故，.因此直線與所成角的余弦值為.5．D【詳解】由，得，即得，，則，得解得：故.6．B【詳解】，，故．7．C【詳解】根據得，當秒時，點位于最低點，則經過時間秒后車輪轉過的角度，則點到鐵軌表面的高度為.得到符合初始條件.8．A【詳解】由可知，點到的距離是點到距離的，即，點到的距離是點到距離的，即，已知，則，設，則，由于與共線，則存在實數使得，即，所以，解得，所以，即，所以，設，，則由于與共線，則存在實數使得，即，所以，解得，所以，即，所以，因此，故A正確.

9．BCD【詳解】對于A，，則其最小正周期為，故A錯誤；對于B，當，其中時，有最小值，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，時，，因在上單調遞增，則在上單調遞增，故D正確.10．AC【詳解】因為復數，，所以，對應點為，在第一象限，故A正確；，對應點，不在第一象限，B錯誤；，對應點為，在第一象限，C正確；，對應點為，不在第一象限，D錯誤.11．ACD【詳解】三棱錐的外接球與正方體的外接球相同，故其半徑為，故A正確；因為，三棱錐的表面積為，所以三棱錐的內切球半徑為，故B錯誤；分別取的中點，則當點與以上六點重合時，，故C正確；因為是正方形，所以，因為平面，平面，所以，因為平面，所以平面，又平面，所以，同理可證，，因為平面，所以平面，因為點在正方體表面，，所以點的軌跡為線段，則點的軌跡圍成的面積為的面積，即，故D正確.

12．【詳解】

以點為坐標原點，網格線所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標系，設小正方形的邊長為1,由圖可知,，，，,所以，。則.13．【詳解】設圓錐的母線長為，底面半徑為，高為,由題意可知，半圓的半徑即為圓錐的母線長，故；半圓弧長為圓錐底面的周長，半圓弧長，因此有，解得；因為，所以.14．【詳解】設，，根據題意，，即，已知，由于是四邊形的內角，所以，因為，所以，即是銳角，由此可得，，，設的外接圓的圓心為，半徑為，的外接圓的圓心為，半徑為，如圖所示，由正弦定理，得，解得，，解得，點在以為弦，半徑為的圓弧上，點在以為弦，半徑為的圓弧上，因此的最大值即為這兩個圓弧上兩點的最大距離，即圓心距與兩個半徑的和，即，設圓心到弦的距離為，則，圓心到弦的距離為，則，則，則.即的最大值為.

15．(1)(2)【詳解】（1）由題意，上底面正方形的邊長，下底面正方形邊長，所以上、下底面積分別為，又棱臺的高，所以.（2）設點到平面的距離為,因為底面，底面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，在直角梯形中，可得,由可得，,即，解得.16．(1)，平均每周課外閱讀時長為小時；(2)人；(3)小時．【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖的性質，可得，可得，則平均每周課外閱讀時長（小時）.（2）解：由頻率分布直方圖知，課外閱讀時長在的頻率為，其中課外閱讀時長在的頻率為，若從課外閱讀時長在的學生中抽取5人，則課外閱讀時長在有人.（3）解：由頻率分布直方圖知，前3個矩形的面積和為，前4個矩形的面積之和為，設第分位數位于，設第分位數為，則，所以該校高一學生“閱讀愛好者”一周課外閱讀時長的最小值為小時.17．(1)證明：因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，因為平面，所以，因為，為的中點，所以⊥，因為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以平面平面；(2)平面，理由如下：取的中點，連接，因為，，分別是，，的中點．所以，，且，，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面；(3)【詳解】（1）略（2）略（3），故，由勾股定理得，，，由可知，，過點作⊥于點，則，由勾股定理得，過點作，則⊥，連接，因為，所以⊥，，故即為二面角的平面角，因為，所以，所以，，在中，，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，，二面角的正弦值為.18．(1)(2)【詳解】（1）由可得，由余弦定理及可得，，即，故所以，又，所以.（2）由，解得，則，因為，所以，所以.19．(1)；(2)(3)【詳解