2027屆高考數學一輪總復習第三章 培優專題一導數綜合應用的工具性策略（課件）

第三章一元函數的導數及其應用培優專題一導數綜合應用的工具性策略高三一輪數學內容索引課時作業關鍵能力提升考試要求三年考情在利用導數解決不等式證明、恒成立、函數的零點等綜合問題時,若掌握切線放縮、超越函數、指對同構、隱零點等策略性工具,在解決問題時會事半功倍.202320242025

關鍵能力提升

策略2

常見的超越函數在導數的應用中常用到以下函數,記住以下的函數圖象對解題有事半功倍的效果.

ACD

【對點訓練2】

(1)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,則(

)A.c<b<a B.b<c<aC.a<c<b D.a<b<cD

3y<2x<5z

【例3】

(1)(2025·山東煙臺三模)若不等式xex-x-lnx-a≥0恒成立,則實數a的取值范圍為(

)A.(0,1] B.(0,e-1]C.(-∞,1] D.(-∞,e-1]【解析】

xex-x-ln

x-a≥0,即eln

x+x-(ln

x+x)-a≥0,令t=ln

x+x,t∈R,則et-t-a≥0恒成立,則a≤et-t恒成立.令φ(t)=et-t,則φ'(t)=et-1,當t∈(-∞,0)時,φ'(t)<0;當t∈(0,+∞)時,φ'(t)>0.故φ(t)在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增,則φ(t)min=φ(0)=1,故a≤1,即a的取值范圍為(-∞,1].故選C.C

A

策略4

隱零點1.函數零點按是否可求得精確解分為兩類:一類是數值上能精確求解的,稱為“顯零點”;另一類是能夠判斷其存在但無法直接求解的,稱為“隱零點”.2.利用導數求函數的最值或單調區間,常常會轉化為求導函數的零點,若導數零點存在,但無法求出,我們可以設其為x0,再利用導函數的單調性確定x0所在區間,最后根據f'(x0)=0,研究f(x0),我們把這類問題稱為隱零點問題.注意若f(x)中含有參數a,關系式f'(x0)=0是關于x0,a的關系式,確定x0的合適范圍,往往和a的范圍有關.

策略5

端點效應恒成立問題中,我們常常會見到類似的命題:“對于任意的x∈[a,b]或x∈[a,+∞)都有f(x)≥0恒成立(f(x)中包含參數)”.這里的端點a,b往往是使結論成立的臨界條件,這種觀察區間端點值解決問題的方法,稱之為端點效應.1.適用類型:①不便于參變分離;②參變分離后的函數形式較為復雜.2.解題步驟:①移項,將所有變量移到一邊,使不等式右邊為0.②計算端點處的函數值,驗證端點處的函數值是否為0,若為0,則可繼續處理,否則此題不適用于端點分析法.③若端點處函數值為0,則此時應有f'(a)≥0,求出參數取值范圍;若端點處函數值為0,且f'(a)=0,則此時應有f″(a)≥0,求出參數取值范圍.④需證明必要性:求出參數取值范圍后,應滿足任意的x∈[a,b]或x∈[a,+∞),f'(x)≥0或f″(x)≥0.

區間端點處的函數值恰好是不等式成立的臨界值是這類問題的顯著特征.

課時作業21

當x∈(1,+∞)時,h'(x)>0,此時h(x)在(1,+∞)上單調遞增,因此h(x)在x=1處取得極小值,也是最小值,h(x)min=h(1)=