2025-2026學年福建同安第一中學高一下冊期中質量監測數學試題 含答案

/數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項涂在答題卡相應的位置上.1.在復平面內，點對應的復數為，則復數的虛部為（）A.2 B. C. D.2.已知為單位向量，且滿足，則（）A. B. C. D.33.設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則4.在中，，，其面積為，則等于（）A. B. C. D.5.已知直四棱柱的高為2，其底面四邊形水平放置時的斜二測直觀圖為矩形如圖所示.若則該直四棱柱的表面積為（）A. B.C. D.6.已知正四棱錐的側棱長為4，且，若一只螞蟻從點A出發沿著該四棱錐的側面爬行一周回到點A，則螞蟻爬行的最短距離為（）A.6 B. C. D.7.在中，角，，的對邊分別為，，，若，則（）A. B. C. D.8.在直角三角形中，，，是斜邊上的兩個動點，且，則取值范圍為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為虛數單位，下列說法正確的有（）A.復數的共軛復數B.C.復數的模為D.已知復數滿足則在復平面內對應的點的軌跡為直線10.如圖所示，線段是的弦，其中點為上任意一點，則以下結論正確的是（）A.B.C.當時D.的最大值是11.如圖，在棱長為6的正方體中，已知M，N，P分別是棱，，BC的中點，點Q滿足，則下列說法正確的有（）A.平面B.若Q，M，N，P四點共面，則C.若，點F在側面內（包括邊界），且平面，則點F的軌跡長度為D.若，過A，P，Q三點作該正方體的截面將該正方體分成兩部分，較小體積與較大體積的比值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若與共線，則實數______．13.《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早1000多年.在《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖是陽馬，平面ABCD，，則該陽馬的外接球的體積為____________.14.趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成，如圖①），類比“趙爽弦圖”，可構造如圖②所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，其中，則的值為__________；設，則__________．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知中，分別為角，C的對邊，.（1）求B；（2）若，點D是AC的中點，且，求的面積.16.如圖，在直三棱柱中，點分別為棱的中點.（1）證明：直線平面；（2）求異面直線與所成的角的余弦值.17.已知向量，，且，.（1）求的值；（2）在中，內角的對邊分別為.若，求的取值范圍.18.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，，，，，M，N分別為PC，PB中點．（1）求證：．（2）求BD與平面ANMD所成角的余弦值．（3）求點C到平面PBD的距離．19.現有長度分別為1，2，3，4的線段各1條，必須將四條線段全部用上，首尾依次相連地放在桌面上，可組成周長為10的三角形或四邊形.（1）求出兩種符合條件的三角形的面積.（2）如圖，在平面凸四邊形中.①連接當大小變化時，試用和來表示四邊形面積并求的最大值.②當時所在平面內是否存在點使得達到最小？若有最小值，則求出該值；否則，說明理由.

數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項涂在答題卡相應的位置上.1.在復平面內，點對應的復數為，則復數的虛部為（）A.2 B. C. D.答案：B解析：思路：先根據復數對應的點得出復數，再應用復數除法計算化簡求解.解答過程：復數在復平面內對應的點為，則復數，復數，則復數的虛部為.2.已知為單位向量，且滿足，則（）A. B. C. D.3答案：B解析：思路：利用平方的方法化簡已知條件，由此求得，進而求得.解答過程：由兩邊平方得，所以.故選：B3.設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則答案：C解析：思路：對于ABD，由答案不完備即可判斷錯誤；對于C，由線面平行的性質、面面垂直的判定定理即可判斷.解答過程：對于A，若，則或異面，故A錯誤；對于B，若，則或，故B錯誤；對于C，若，則存在，且，因為，所以，而，從而，故C正確；對于D，若，則或，故D錯誤.故選：C.4.在中，，，其面積為，則等于（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由三角形面積公式可得，由余弦定理得，結合正弦定理即可求解.解答過程：由題意知，，即，解得，由余弦定理得，即，由正弦定理（為三角形外接圓半徑），可得：，故選：C.5.已知直四棱柱的高為2，其底面四邊形水平放置時的斜二測直觀圖為矩形如圖所示.若則該直四棱柱的表面積為（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：首先得到底面四邊形的平面圖形，根據斜二測法及勾股定理求出線段的長度，即可求出底面積與底面周長，再根據表面積公式計算可得；解答過程：由直觀圖可得底面四邊形的平面圖形如下，由，則，所以，則，所以直棱柱的底面周長，又直棱柱的高，所以棱柱的側面積，所以棱柱的表面積.6.已知正四棱錐的側棱長為4，且，若一只螞蟻從點A出發沿著該四棱錐的側面爬行一周回到點A，則螞蟻爬行的最短距離為（）A.6 B. C. D.答案：C解析：思路：將該四棱錐沿PA剪開，展成平面圖形求兩點距離即得答案.解答過程：將該四棱錐沿PA剪開，展成平面圖形，如圖，根據兩點之間線段最短.，螞蟻爬行的最短的路線為線段，由可得，，由余弦定理，，從而最短距離為.7.在中，角，，的對邊分別為，，，若，則（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由題意結合向量線性運算可得，再利用余弦定理計算求解.解答過程：因為，所以，即，依題意，與不共線，則，可得，所以.8.在直角三角形中，，，是斜邊上的兩個動點，且，則取值范圍為（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：令利用向量得線性運算及數量積運算將表示成t的函數，再求函數值域作答.解答過程：如圖，在中，，則，，令，則，于是得當時，，當或時，，所以取值范圍為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為虛數單位，下列說法正確的有（）A.復數的共軛復數B.C.復數的模為D.已知復數滿足則在復平面內對應的點的軌跡為直線答案：BD解析：解答過程：選項A：化簡，分子分母同乘，，共軛復數，故A錯誤.選項B：根據虛數單位性質，，，，，故B正確.選項C：復數的模，不是，故C錯誤.選項D：設，，，由得，整理得，是直線方程，故對應點的軌跡為直線，D正確.10.如圖所示，線段是的弦，其中點為上任意一點，則以下結論正確的是（）A.B.C.當時D.的最大值是答案：ABD解析：思路：根據平面向量數量積的運算律及定義，求得的范圍，判斷A；利用數量積的定義，求出，判斷B；結合圖象由點的位置不唯一，并求得，判斷C；利用平面向量的數量積運算律及定義求得的最大值，判斷D.解答過程：由題意可知，的半徑為.，因為，所以，所以，所以A正確；，所以B正確；當時，取的中點，記作，則三點共線，當時，，所以；當時，，所以.所以C錯誤；，因為，所以，所以的最大值是，所以D正確.11.如圖，在棱長為6的正方體中，已知M，N，P分別是棱，，BC的中點，點Q滿足，則下列說法正確的有（）A.平面B.若Q，M，N，P四點共面，則C.若，點F在側面內（包括邊界），且平面，則點F的軌跡長度為D.若，過A，P，Q三點作該正方體的截面將該正方體分成兩部分，較小體積與較大體積的比值為答案：ACD解析：思路：根據正方體的結構特征可知側面互相平行，可判斷A；根據平面的性質及正方體的截面可判斷B；根據面面平行的判定可判斷點F的軌跡，進而判斷C；時，先找出過A，P，Q三點的正方體的截面，進而可判斷D.解答過程：A，根據正方體的結構特征可知，平面平面，又平面，所以平面，故A正確；B，因為三個不共線的點M，N，P確定一個平面，如圖1：當分別為所在棱的中點時，T，M，N，P四點共面，所以重合，平面與正方體的截面為平面六邊形，此時，故B錯誤；C，取的中點E，上靠近的三等分點G，連接，如圖2：則，又平面，平面，則平面，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，則平面，由，平面，所以平面平面，所以點F的軌跡為線段，由勾股定理可知其長度為，故C正確；D，延長，與的延長線交于點H，連接，與棱交于I，與的延長線交于點J，連接，與棱交于點K，如圖3：則過A，P，Q三點的正方體的截面為五邊形，由比例關系可得，，，所以較小體積與較大體積的比值為，故D正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若與共線，則實數______．答案：##0.5解析：解答過程：由已知得，，因為兩向量共線，所以，解得．13.《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早1000多年.在《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖是陽馬，平面ABCD，，則該陽馬的外接球的體積為____________.答案：解析：思路：由題目條件有，，則陽馬的外接球與以為長寬高的長方體的外接球相同，進而求得外接球的半徑，再根據球的體積求解即可.解答過程：因為平面，平面，平面，則，又因為四邊形為矩形，則，則陽馬的外接球與以為長寬高的長方體的外接球相同.又，則外接球的直徑為長方體的體對角線，故外接球半徑為：，則外接球的體積為.故答案為.14.趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成，如圖①），類比“趙爽弦圖”，可構造如圖②所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，其中，則的值為__________；設，則__________．答案：①.②.解析：思路：利用建系的方法，假設，根據，利用余弦定理可得長度，由正弦定理求出大小正三角形的面積，即可求得的值；然后計算，可得點坐標，最后根據點坐標，可得結果.解答過程：由，設，則，，如圖由題可知：，在中，由余弦定理可得所以，則，可得小三角形面積，大三角形面積，所以；因為，在中，由正弦定理可得，且為銳角，則，可知，可得，，若，則所以故；.方法提示：關鍵點點睛：對于向量運算問題，常借助于坐標系，把復雜的向量線性運算轉為坐標運算，簡化計算和方便理解.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知中，分別為角，C的對邊，.（1）求B；（2）若，點D是AC的中點，且，求的面積.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根據正弦定理化簡得，進而由輔助角公式得，根據角的范圍即可求解.（2）根據中線向量的表示形式及數量積的運算律得，將條件代入得，代入三角形面積公式求解即可.（1）在中由正弦定理及已知條件，可得，因為，所以，所以，所以，所以.因為，所以.所以，即；（2）因為點D是AC的中點，所以，即，故．又，，所以.因為，所以，即，則，.所以的面積為:.16.如圖，在直三棱柱中，點分別為棱的中點.（1）證明：直線平面；（2）求異面直線與所成的角的余弦值.答案：（1）證明見解析（2）解析：思路：（1）由中位線得，再由線面平行判定證得平面.（2）以為原點建系，用向量法求異面直線所成角：先寫出各點坐標，求出向量與，再用公式計算余弦值.（1）因為是的中點，是的中點.所以是的中位線.故，又平面，平面所以平面.（2）因為在直三棱柱中，平面，平面，所以兩兩垂直.如圖以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，因為，，，為中點，所以，，，，，所以，，設異面直線與所成角為，，則.所以異面直線與所成角得余弦值為17.已知向量，，且，.（1）求的值；（2）在中，內角的對邊分別為.若，求的取值范圍.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用向量點積公式列方程，用輔助角公式化簡為單一三角函數，結合的取值范圍求解；（2）結合三角形內角和，用正弦定理將邊的比轉化為角的正弦比，再用三角恒等變換化簡，最后求三角函數值域.（1）根據向量點積公式：，用輔助角公式化簡：，即.已知，故，則，解得.（2）已知，故，即，.根據正弦定理，得，代入，化簡得，因此.由得，故，代入得.18.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，，，，，M，N分別為PC，PB中點．（1）求證：．（2）求BD與平面ANMD所成角的余弦值．（3）求點C到平面PBD的距離．答案：（1）證明見解析（2）（3）解析：思路：（1）由平面PAB，證明，結合等腰三角形中，即可證明平面ANMD，由線面垂直性質得；（2）關鍵在于找到BD與平面ANMD所成的角，由（1）知平面ANMD，且，所以為BD與平面ANMD所成角，進而結合邊長可求其余弦值；（3）C到平面PBD的距離就是三棱錐的高，使用等體積法將轉化到，即可求解.（1）因為平面ABCD，平面ABCD，所以，又因為，，且兩直線在平面內，所以平面PAB，因為平面PAB，所以，因為，且N為PB中點，所以，又因為，所以平面ANMD，又因為平面ANMD，所以．（2）連接DN，因為平面ANMD，，所以為BD與平面ANMD所成角，又因為且，N為PB中點，所以，所以，即，又因為且，所以，所以，所以BD與平面