第04講 勾股定理 折疊問題專練（解析版）

第04講勾股定理折疊問題專練一、單選題1．如圖，在中，，，．將折疊，使點B恰好落在邊AC上．與點重合，AE為折痕，則的長為（

）A．12 B．25 C．20 D．15【答案】D【解析】【分析】由勾股定理可求出AC，再由折疊的性質可知，，進而可得，設，在中，由勾股定理列方程即可求解．解：∵在中，，，，，∵折疊，點B與點重合，，，，，設，則，又，在中，，即，解得：，．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質，熟練掌握折疊的性質以及勾股定理列方程是解題的關鍵．2．已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，則BE的長為（）A．6cm B．9cm C．4cm D．5cm【答案】D【解析】【分析】根據折疊的性質可得BE＝ED，設AE＝x，表示出BE＝9﹣x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式計算即可得解．解：∵長方形折疊點B與點D重合，∴BE＝ED，設AE＝x，則ED＝BE＝9﹣x，在Rt△ABE中，，即，解得x＝4，∴AE的長是4cm，∴BE＝9﹣4＝5（cm），故選：D．【點睛】本題考查了翻折變換的性質，勾股定理的應用，根據勾股定理列出關于AE的長的方程是解題的關鍵．3．如圖，三角形紙片ABC，點D是BC邊上一點，連接AD，把△ABD沿著AD翻折，得到△AED，DE與AC交于點G，連接BE交AD于點F.若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面積為8，則點F到BC的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出△ABD的面積，根據三角形的面積公式求出DF，設點F到BD的距離為h，根據?BD?h＝?BF?DF，求出BD即可解決問題．解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝8，∴S△ADE＝16，由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝16，∠BFD＝90°，∴?（AF+DF）?BF＝16，∴?（6+DF）×4＝16，∴DF＝2，∴DB＝，設點F到BD的距離為h，則有?BD?h＝?BF?DF，∴h＝4×2，∴h＝，∴點F到BC的距離為．故選：C【點睛】此題考查了翻折變換，三角形的面積，勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數構建方程解決問題．4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，點D是BC上一動點，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點C落在點E處，連接DE交AB于點F，當∠DEB是直角時，DF的長為（

）．A．5 B．3 C． D．【答案】C【解析】【分析】如圖，由題意知，，，，可知三點共線，與重合，在中，由勾股定理得，求的值，設，，在中，由勾股定理得，計算求解即可．解：如圖，∵是直角∴由題意知，，∴∴三點共線∴與重合在中，由勾股定理得設，在中，由勾股定理得即解得∴的長為故選C．【點睛】本題考查了折疊的性質，勾股定理等知識．解題的關鍵在于明確三點共線，與重合．5．如圖，在中，，cm，cm，點、分別在、邊上．現將沿翻折，使點落在點處．連接，則長度的最小值為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】【分析】當H落在AB上，點D與B重合時，AH長度的值最小，根據勾股定理得到AB=10cm，由折疊的性質知，BH=BC=6cm，于是得到結論．解：當H落在AB上，點D與B重合時，AH長度的值最小，∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，由折疊的性質知，BH=BC=6cm，∴AH=AB-BH=4cm．故選：C．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．6．如圖，在長方形紙片中，，.把長方形紙片沿直線折疊，點落在點處，交于點，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知條件可證△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折疊知AE=AB=8cm，設AF=xcm，則DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.∵四邊形ABCD是長方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD,由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD∴EF=DF設AF=xcm，則DF=（8-x）cm在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm，故選擇A.【點睛】此題是翻折問題，利用勾股定理求線段的長度.7．如圖，正方形ABCD中，AB＝12，將△ADE沿AE對折至△AEF，延長EF交BC于點G，G剛好是BC邊的中點，則ED的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】連接AG，證明△ABG≌△AFG，得到FG＝BG，△ADE沿AE對折至△AEF，則EF＝DE，設DE＝x，則EF＝x，EC＝12－x，則Rt△EGC中根據勾股定理列方程可求出DE的值．如圖，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝12．∵△ADE沿AE對折至△AEF，∴EF＝DE，AF＝AD，∵AF＝AD，AB＝AD，∴AF＝AB，又AG是公共邊，∴△ABG≌△AFG（HL），∵G剛好是BC邊的中點，∴BG＝FG＝，設DE＝x，則EF＝x，EC＝12－x，在Rt△EGC中，根據勾股定理列方程：62＋（12－x）2＝(x＋6)2解得：x＝4．所以ED的長是4，答案選C．【點睛】本題考查了正方形和全等三角形的綜合知識，根據勾股定理列方程是本題的解題關鍵．8．如圖，直角三角形紙片中，，，D為斜邊中點，第1次將紙片折疊，使點A與點D重合，折痕與交于點；設的中點為，第2次將紙片折疊，使點A與點重合，折痕與交于點；設的中點為，第3次將紙片折疊，使點A與點重合，折痕與交于點，則的長為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出AD的長，再由折疊的性質可得AP1=AD1，AP2=AD2，AP3=AD3，計算出AD3的長度，可得AP3的長．解：∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴BC==10，∵D為斜邊BC中點，∴AD=BC=5，由折疊可知：AD1=AD，AP1=AD，∴AP1=AD1，AD2=AD1=AD，AP2=AD1=AD，∴AP2=AD2，可知：AP3=AD3，AD1=AD=，AD2=AD1=AD=，∴AD3=AD2==，∴AP3=AD3=，故選D．【點睛】本題主要考查了翻折變換的性質、勾股定理、直角三角形的性質等幾何知識點及其應用問題；靈活運用翻折變換的性質，正確找出命題中隱含的數量關系是關鍵；對運算求解能力提出了較高的要求．9．如圖，三角形紙片ABC，點D是BC邊上一點，連接AD，把△ABD沿著AD翻折，得到△AED，DE與AC交于點G，連接BE交AD于點F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面積為，則點F到BC的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】首先求出ABD的面積．根據三角形的面積公式求出DF，設點F到BD的距離為h，根據?BD?h＝?BF?DF，求出BD即可解決問題．解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝，∴S△ADE＝5，由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝5，∠BFD＝90°，∴?(AF+DF)?BF＝5，∴?(4+DF)?2＝5，∴DF＝1，∴DB＝＝＝，設點F到BD的距離為h，則?BD?h＝?BF?DF，即：，∴h＝，故選：B．【點睛】本題考查翻折變換，三角形的面積，勾股定理二次根式的運算等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數構建方程解決問題．10．和按如圖所示的位置擺放，頂點B、C、D在同一直線上，，，．將沿著翻折，得到，將沿著翻折，得，點B、D的對應點、與點C恰好在同一直線上，若，，則的長度為（

）．A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【解析】【分析】由折疊的性質得，，故，，推出，由，推出，根據AAS證明，即可得，，設，則，由勾股定理即可求出、，由計算即可得出答案．由折疊的性質得，，∴，，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，，設，則，∴，解得：，∴，，∴．故選：A．【點睛】本題考查折疊的性質以及全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定定理和性質是解題的關鍵．二、填空題11．如圖，長方形ABCD中，BC=5，AB=3，點E在邊BC上，將△DCE沿著DE翻折后，點C落在線段AE上的點F處，那么CE的長度是________．【答案】【解析】【分析】由對折先證明再利用勾股定理求解再證明從而求解于是可得答案.解：長方形ABCD中，BC=5，AB=3，由折疊可得：故答案為：【點睛】本題考查的是長方形的性質，勾股定理的應用，軸對稱的性質，求解是解本題的關鍵.12．如圖，在中，，于點D．E為線段BD上一點，連結CE，將邊BC沿CE折疊，使點B的對稱點落在CD的延長線上．若，，則的面積為__________．【答案】【解析】【分析】在△ABC中由等面積求出，進而得到，設BE=x，進而DE=DB-BE=，最后在中使用勾股定理求出x即可求解．解：在中由勾股定理可知：，∵，∴，∴，在中由勾股定理可知：，∴，設BE=x，由折疊可知：BE=B’E，且DE=DB-BE=，在中由勾股定理可知：，代入數據：∴，解得，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理求線段長、折疊的性質等，解題的關鍵是掌握折疊的性質，熟練使用勾股定理求線段長．13．如圖，直角三角形紙片，，，，將其折疊，使點C落在斜邊上的點，折痕為；再沿折疊，使點B落在的延長線上的點處．則的長________．【答案】1【解析】【分析】設CD=x，根據，，，利用勾股定理BC=，DB=BC-CD=4-x，根據折疊，AC=AC′=3，CD=C′D=x，BD=B′D，求出C′B=AB-AC′=5-3=2，在Rt△DC′B中，根據勾股定理列方程，解得：即可．解：設CD=x,∵，，，∴BC=，∴DB=BC-CD=4-x，根據折疊，AC=AC′=3，CD=C′D=x，BD=B′D，∴C′B=AB-AC′=5-3=2，在Rt△DC′B中，根據勾股定理即，解得：，∴BD=4-，∴，故答案為1．【點睛】本題考查折疊性質，勾股定理，一元一次方程，線段的和差計算，掌握折疊性質，勾股定理，一元一次方程，線段的和差計算是解題關鍵．14．如圖，一張直角三角形紙片ABC，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6．將此三角形紙片先沿CD折疊，使點A落在AB邊的點A′處．再沿CE折疊，使點B的對應點B'落在CA的延長線上．則△A'B'E的面積為_____．【答案】【解析】【分析】由題意可知，，，由折疊可知，，，，，，推出為等邊三角形，，所以，推出，即，根據即可求出的面積．解：，，，，，由折疊可知，，，，，，為等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，的面積：．故答案為：．【點睛】本題考查了折疊問題，做題注意折疊的性質和勾股定理的使用，最后找到是直角三角形是解題的關鍵．15．如圖，是的中線，，，把沿翻折，使點落在的位置，則為___．【答案】【解析】【分析】根據翻折知：∠ADE＝∠ADC＝45°，ED＝EC，得到∠BDE＝90°，利用勾股定理計算即可．解：是的中線，，翻折，，，，，在中，由勾股定理得：，故答案為：．【點睛】本題考查的是翻折變換以及勾股定理，熟記翻折前后圖形的對應角相等、對應邊相等是解題的關鍵．16．如圖，在△ABC中，點D是BC邊上一點，連接AD，把△ABD沿著AD翻折，得到，與AC交于點E，連接交AD于點F，若，，，的面積為12，則點B到的距離為_________．【答案】【解析】【分析】由翻折的性質可得，，，由可得，然后利用勾股定理求出，即可推出，則，即可得到，，設點B到的距離為h，由，進行求解即可．解：由翻折的性質可知：，，，∵，∴，∴，∴，∴，在直角三角形ABF中，，∴，∴，∴，∴，∴，，設點B到的距離為h，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了折疊的性質，勾股定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握折疊的性質．17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E是邊AB上的點，連接CD，CE，先將邊AC沿CD折疊，使點A的對稱點A'落在邊AB上；再將邊BC沿CE折疊，使點B的對稱點B'落在CA'的延長線上．若AC＝15，BC＝20，則下列結論：①EB'∥CD，②∠DEC＝45°，③EA'＝3，④S△BCE＝18．其中正確的是_______（將所有正確答案的序號都填在橫線上）．【答案】①②③【解析】【分析】先由勾股定理求得AB的長，然后利用折疊得到相關線段長度和相關角度，再利用等面積法求CD得長，然后利用等腰直角三角的性質得到∠DEC的大小，最后求得△BCE的面積．解：∵AC＝15，BC＝20，∠ACB＝90°，∴AB＝25，∵S△ABC＝AC×BC＝AB×CD，∴×15×20＝×25×CD，∴CD＝12，∴AD＝＝9，∴BD＝25﹣9＝16，由折疊得，∠ACD＝∠DCA'，∠BCE＝∠B'CE，∠BEC＝∠B'EC，AD＝AD'＝9，∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCA'＋∠BCE＋∠B'CE＝90°，∴∠DCA'＋∠B'CE＝45°＝∠DCE，故②正確；∴∠DEC＝90°﹣45°＝45°＝∠DCE，∴DC＝DE＝12，∴A'E＝DE﹣DA'＝12﹣9＝3，故③正確；∵∠BEC＝180°﹣45°＝135°，∴∠CEB'＝135°，∴∠B'EA'＝90°＝∠CDE，∴CD∥B'E，故①正確；∵S△BCE＝BE×CD，∴S△BCE＝×（16﹣12）×12＝24，故④錯誤；∴正確的有①②③．故答案為：①②③．【點睛】本題主要考查了折疊的性質，勾股定理，直角三角形兩銳角互余，準確計算是解題的關鍵．18．如圖，點D是的邊上的一點，連接，將沿翻折得到，連接交于點G，連接，交于點F，若的面積是，則點G到的距離是______．【答案】【解析】【分析】根據題意求出的面積，根據折疊的性質可知,,然后求出的長度進而求得的長度，運用勾股定理求出的長度，運用等面積法可求得結果．解：∵，的面積為,∴,由折疊的性質可知:,,∴,∴,∴,,∴到距離為．故答案為：【點睛】本題考查了折疊的性質，勾股定理等知識點，熟練運用三角形面積的不同表示方法是解本題的關鍵．三、解答題19．如圖，折疊長方形的一邊AD，使點D落在BC邊上的點F處，BC=10cm，AB=8cm，求EF的長【答案】5【解析】【分析】根據折疊的性質得到AF=AD，DE=EF，根據勾股定理計算即可．解：∵四邊形ABCD是長方形，BC=10cm，AB=8cm∴AD=BC=10cm，AB=CD=8cm又∵AF為AD折疊所得

∴AF=AD=10cm，∴BF2=AF2-AB2=36∴BF=6cm∴FC=BC-BF=4設CE長為xcm，則DE長為（8-x）cm，則EF長為（8-x）cm．在RT△CEF中，x2+42=(8-x)2解得：x=3∴CE=3cm∴EF=8-3=5cm故EF的長為5cm．【點睛】本題考查的是翻轉變換的性質，勾股定理的應用，掌握翻轉變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵．20．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，D為BC上一點，連接AD，將△ABC沿AD折疊，使點B恰好落在邊AC上的點B'處，求DB'的長度．【答案】【解析】【分析】由折疊的性質可得，，，先利用勾股定理求出，即可得到，設，則，在直角三角形中：，則，解方程即可．解：由折疊的性質可得，，，∴∵∠B=90°，AB=9，BC=12，∴，∴，設，則，在直角三角形中：，∴，解得，∴．【點睛】本題主要考查了折疊的性質，勾股定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握折疊的性質與勾股定理．21．在長方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是邊AD上一點，將△ABP沿著直線BP翻折得到△A'BP．(1)如圖1，當A'在BC上時，連接AA'，求AA'的長；(2)如圖2，當AP＝6時，連接A'D，求A'D的長．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據題意可得，再利用勾股定理，即可求解；（2）過點作于點M，延長交BC于點N，可得AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，再設，則，，在和中，根據勾股定理可得，，從而得到，，進而得到，再由勾股定理，即可求解．(1)解：根據題意得：，∴；(2)解：如圖，過點作于點M，延長交BC于點N，根據題意得：AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，∴DP=4，∵，∴MN⊥BC，∴MN=AB=8，AM=BN，設，則，，在中，由勾股定理得，即，在中，由勾股定理得，即，由①②聯立得：，把代入②得：或（舍去），∴，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了圖形的折疊，勾股定理，熟練掌握圖形折疊前后對應角相等，對應邊相等是解題的關鍵．22．如圖是三個全等的直角三角形紙片，且，按如圖的三種方法分別將其折疊，使折痕（圖中虛線）過其中的一個頂點，且使該頂點所在角的兩邊重合，記折疊后不重疊部分面積分別為．(1)若，求的值．(2)若，求①單個直角三角形紙片的面積是多少？②此時的值是多少？【答案】(1)(2)①36；②【解析】【分析】（1）設DE=CE=x，則BE=4-x，依據S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到x的值，進而得出S1的值．（2）①如圖1，依據S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到DE=x，進而得出S1=x2；如圖2，依據S△ABN=AB×HN=AN×BC，即可得到EN=x，進而得出S2=x2，再根據S1+S2=13，即可得到x2=6，進而得出單個直角三角形紙片的面積．②如圖3，由折疊可得，AC=CF=3x，所以BF=BC-CF=4x-3x=x，則S3=S△CMF=S△ACM，所以S3=，即可求解．(1)解：∵AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，AC＝3，∴BC＝4，AB＝5，由折疊可得，DE＝CE，∠ADE＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，設DE＝CE＝x，則BE＝4﹣x，∵S△ABE＝AB×DE＝BE×AC，∴AB×DE＝BE×AC，即5x＝3（4﹣x），解得x＝，∴S1＝BD×DE＝＝．(2)解：由AC：BC：AB=3：4：5，可設AC=3x，BC=4x，AB=5x，①如圖1，由折疊可得，AD=AC=3x，BD=5x-3x=2x，DE=CE，∠ADE=∠C=90°，∵S△ABE=AB×DE=BE×AC，∴AB×DE=BE×AC，即5x×DE=（4x-DE）×3x，解得DE=x，∴S1=BD×DE=×2x×x=x2；如圖2，由折疊可得，BC=BH=4x，HN=CN，∴AH=x，AN=3x-HN，∵S△ABN=AB×HN=AN×BC，∴AB×HN=AN×BC，即5x×HN=（3x-HN）×4x，解得HN=x，∴S2=AH×HN=×x×x=x2，∵S1+S2=13，∴x2+x2=13，解得x2=6，∴S△ABC=×3x×4x=6x2=36．答：單個直角三角形紙片的面積是36；②如圖3，由折疊可得，AC=CF=3x，∴BF=BC-CF=4x-3x=x，∴S3=S△CMF=S△ACM，∴S3==，答：此時S3的值為．【點睛】本題主要考查了翻折變換（折疊問題），折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．解決問題的關鍵是利用面積法求得某些線段的長度．23．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分別是斜邊AB和直角邊CB上的點，把△ABC沿著直線DE折疊，頂點B的對應點是B′．（1）如圖①，如果點B′和頂點A重合，求CE的長；（2）如圖②，如果點B′是AC的中點，求CE的長．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設CE＝x，則BE＝8－x，根據折疊的性質，實施勾股定理即可；（2）設CE＝x，則BE＝8－x，根據折疊的性質，實施勾股定理即可．解：(1)設CE＝x，則BE＝8－x，由題意得AE＝BE＝8－x，由勾股定理得，解得x＝，即CE的長為；(2)因為點是AC的中點，所以C＝AC＝3，設CE＝x，則BE＝8－x，由題意得E＝BE＝8－x，由勾股定理得，解得x＝，即CE的長為．【點睛】本題考查了折疊的性質，勾股定理，熟練掌握折疊的性質，靈活使用勾股定理是解題的關鍵．24．如圖，長方形，點E是上的一點，將沿折疊后得到，且點O在長方形內部．已知，．(1)如圖1，若，求四邊形的面積．(2)如圖2，延長交于F，連結，將沿折疊