考研數學二（線性方程組）模擬試卷20

考研數學二(線性方程組)模擬試卷20

一、選擇題(本題共9題，每題L0分，共9分。)

1、非齊次線性方程組Ax二b中，系數矩陣A和增廣矩陣的秩都等于4,A是4x6

矩陣，則()

A、無法確定方程組是否有解。

B、方程組有無窮多解。

C、方程組有唯一解。

D、方程組無解。

標準答案：B

知識點解析：由于非齊次線性方程組的系數矩陣和增廣矩陣的秩相同是方程組有解

的充要條件，旦方程組的未知數個數是6,而系數矩陣的秩為4,因此方程組有無

窮多解，故選B。

2、設A是mxn矩陣，B是nxm矩陣，則線性方程組(AB)x=0()

A、當n>m時,僅有零解。

B、當n>m時,必有非零解。

C^當m>n時,僅有零解。

D、當m>n時,必有非零解。

標準答案：D

知識點解析:因為AB是m階矩陣,且r(AB)Wmin/(A),r(B)}<min{m,n),所以

當m>n時，必有r(AB)Vm,根據齊次方程組存在非零解的充分必要條件可知，

選項D正確。

3、已知四，是非齊次線性方程組Ax=b的兩個不同的解，那么四一2a2，4al—

X41一.3一

3a2，(2a1+(X2)，44中，仍是線性方程組Ax二b特解的共有()

A、4個

個

B、3

個

C、2

個

D、1

標準答案：C

知識點解析：由于Aai=b,Aa2=b,那么A(4ai—3a2)=4Aai—3Aa2=b,

▲(13\1.3.13

a

A’-4ra,+:4-a/I=4+7442=＞可知4ai—3a2，~4T\+V4%均是Ax=b

1A1

的解。而A(a]—2a2)=一b,A[4(2cq+。2[=4b。可知ai—2a2，(2oq+a2)不是

Ax二b的解。故應選C。

air

1a1

4、設A=L1。」，方程組Ax=O有非零解。a是一個三維非零列向量，若Ax=O

的任一解向量都可由a線性表出，則a=()

A、lo

B、一2o

C、1或一2。

D、-1<>

標準答案：B

知識點解析：由于Ax=O的任一解向量都可由a線性表出，所以a是Ax=O的基礎

解系，即Ax=O的基礎解系只含一個解向量，因此r(A)=2。由方程組Ax=O有非零

解可得，IAI=(a—l)2(a+2)=O,即a=l或一2。=a=l時，r(A)=l,舍去；當a二

一2時,r(A)=2o所以選B。

5、設A是秩為。一1的n階矩陣，ai，a2是方程組Ax=O的兩個不同的解向量，

則Ax=O的通解必定是()

A^aj+a2o

B、kan

C、k(a1+(x2)。

D、k(aj一。2)。

標準答案：D

知識點解析：因為A是秩為n—1的凡階矩陣，所以Ax=0的基礎解系只含一個非

零向量。又因為ai，(X2是方程組Ax=0的兩個不同的解向量，所以ai—az必為方

程組Ax=O的一個非零解，即四一a2是Ax=0的一個基礎解系，所以Ax=0的通解

必定是k(a]一a2)。選D。此題中其他選項不一定正確。因為通解中必有任意常

數，所以選項A不正確；若兇=0,則選項B不正確；若a尸一。2,0,則

ai+a2=0,此時選項C不正確。

6、設n階矩陣A的伴隨矩陣A'#),若小，及，小，0是非齊次線性方程組Ax=b

的互不相等的解，則對應的齊次線性方程組Ax=O的基礎解系()

A、不存在。

B、僅含一個非零解向量。

C、含有兩個線性無關的解向量。

D、含有三個線性無關的解向量。

標準答案：B

知識點解析：由A*翔可知，A*中至少有一個非零元素，由伴隨矩陣的定義可得矩

陣A中至少有一個n—1階子式不為零，再由矩陣枚的定義有r(A巨n—1。乂因

Ax=b有互不相等的解知,即其解存在且不唯一，故有r(A)Vn,從而r(A)二11一1。

因此對應的齊次線性方程組的基礎解系僅含一個非零解向量，故選Bo

7、設山，a2,(13是四元非齊次線性方程組人*=1)的三個解向量，且r(A)=3,

ai=(l,2,3,4)T,(12+013=(0，1，2,3)1,c表示任意常數,則線性方程組Ax二b

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：根據線性方程組解的結構性質，易知2al一?2+a3)=(2,3,4,5)丁是

Ax=0的一個非零解，所以應選C。

8、設A為n階矩陣，A1＞是A的轉置矩陣，對于線性方程組(I)Ax=0和

(n)AlAx=0,必有()

A、(I)的解是(E)的解，(H)的解也是(I)的解。

B、(I)的解是(口)的解，(口)的解不是(I)的解。

C、(口)的解是(1)的解，(1)的解不是(11)的解。

D、(11)的解不是(1)的解，(1)的解也不是(口)的解。

標準答案：A

知識點解析：如果a是(1)的解，有Aa=0,nJWATAa=AT(Aa)=AT0=0,即a是(2)

的解。故(1)的解必是(2)的解。反之，若a是(2)的解，有ATAOI=(),用P左乘可得

TTTTTT

O=aO=a(AAa)=(aA)(Aa)=(Aa)(Aa),若設Ac=(b],b2，…，bn),那么

T222

(Aa)(Aa)=b1+ba+...+bn=0bi=0(i=1?2,…，n),即Aa=0,說明a是⑴的

解。因此(2)的解也必是(1)的解。所以應選A。

9、設A為n階方陣，齊次線性方程組Ax=0有兩個線性無關的解向量，A*是A的

伴隨矩陣，則()

A、A*x=0的解均是Ax=0的解。

QRI+a2x2=%與a2=(i7,4,2),是線性方程組

Xj+3X2-2X3=1,

2x,+Sx2+x3=8

的兩個解，則此方程組的通解是_______O

標準答案：(6,-1,l)T+k(13,-5,-1)T,k為任意常數

知識點解析：一方面因為ai，a2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個不同的解，所以

_13；

一定有r(A尸＜3。另一方面由于在系數矩陣A中存在二階子式25I=一

1加，所以一定有r(A巨2,因此必有r(A)="彳)=2。由n—r(A)=3—2=1可知，導

出組Ax=O的基礎解系曰一個解向量構成，根據解的性質可知ai一ct2=(6,—1,

1)T一(一7,4,2)T=(13,-5,—1戶是導出組Ax=0的非零解，即基礎解系，則

方程組的通解為x=(6,-1,1)T+k(13,—5,11),，k為任意常數。

13、設A是秩為3的5x4矩陣，川，(12，(13是非齊次線性方程組Ax=b的三個不同

TT

的解，如果a]+a2+2a3=(2,0,0,0),3ai+a2=(2,4,6,8),則方程組AX=b的

通解是O

T

標準答案：(2,O0,0)+k(0,2,3,4)T,k為任意常數

知識點解析：由于r(A)=3,所以齊次方程組Ax=0的基礎解系只含有4一r(A)=l個

解向量。又因為(ai+a2+2a3)—(3ai+a2尸2(a3一囚)二(0,-4,-6,一8產是

Ax=0的解，所以其基礎解系為(0,2,3,4)丁，由

A(a1+a2+2a3)=Aa)+Aao+2Aas=4b,可知4(川+。2+2(13)是方程組Ax=b的一個解，

1

根據非齊次線性方程組的解的結構可知，其通解是(2,0,0,0)T+k(0,2,3,

4)、

『[23]

14、若42Jl46J,則x二________o

2-詼3.叫

標準答案：I巧力L其中X2,y2是任意常數

[I:]不可逆，故可設*=0)\

22

知識點解析：矩陣X2力叱

K]+x2=2,

可得線性方程組力+力=3,故x]=2—X2，yi=3—y2，所以X=

3-力]

孫力,其中X2，y2是任意常數。

三、解答題（本題共70題，每題1.0分，共70分。）

+anx2+…+5.4=與，

Q”與i+。22盯+…+a血=%,

(1)

叼+…+

15、已知方程組/+°?2有解，證明：方程組

a“陽+a2lx2+???+aMlx?=0,

3+。22盯+…位/=°，

%內+。2尸2+….。?匕=0，

6西.3?…=1無解。

標準答案：用A，4和乙，A2分別表示方程組（]）與⑵的系數矩陣和增廣矩陣，則

^,=A2Te已知方程組（1）有解，故r（Ai）="4）。又由于（b],b2，…，bm，1）不能

由（a][,321>…，3m1?0）?（a12，322?…，3m2?0），…，（31n?32n?…，3mn?0）

線性表示,所以

O'

〃0

■220

a&0

="4).

%…噎°

2A0

，b2…6.1」

.1o-ml

40

而=r(A；),

0Lau%、

故r(4：)#r(A2),再由r(A：)=r(Al)=r(41)=r(A；)=r(A?).可得r(A?)#r(A2)，所以方

程組(2)無解。

知識點解析：暫無解析

pXj+AX2+f￡Xx+x4=0,

2.t)+x2+x3+2X4=0,

16、設線性方程組3/+(2+A)孫—4+”)x3+4/=1,已知(1,—1,1,-1)T

是該方程組的一個解，求方程組所有的解。

標準答案：將(1,一1,1,一1)T代入方程組可得入=2對增廣矩陣作初等行變

換，可得

1AA1。AA1：O-I

II

A=2112；001-2A1-2A0；00I-2AI-2A0；0

4-2A?

-32+A4+A41」-02-2A1-LO13

1

1；0

1-2

A二5時,A1

013

因為r(A)="4)=2V4,所以方程組有

⑴當-00000」

1

,1

無窮多解，其通解為(21,0,0)T+k|(l,一3,1,0)7+1<2(—1,一2,0,

2)丁，其中k”k2為任意常數。(口)當

1011：On

AW了時/一0110i00110iO

r(4)=3<4,所

LO131-00211」o因r(A)=

以方程組有無窮多解，其通解為(一1,0,0,l)T+k(2,—I,I,一2戶，其中k

為任意常數。

知識點解析：暫無解析

'139'

206

已知A,B為三階非零矩陣，且A」-?I-7」，p1=(o,1,一1/，p2=(0,

2,1)L飽=(6,1,0)T是齊次線性方程組Bx=O的三個解向量，且AX寸3有解。

求

17、a,b的值；

標準答案：由BWO,且仇，歷，飽是齊次線性方程組Bx=O的三個解向量可知，向

0ab

121

量組由，陽的必線性相關，于是IB1，「2，「3I=一??°=0,解得a=3b。

由AX邛3有解可知，線性方程組Ax邛3,的系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，對

1396]

206]-0-T2-26

5-A

L-3I-70」L000-~-

增廣矩陣作初等行變換得(A,p3)=3」，

所以b=5,a=3b=15o

知識點解析：暫無解析

18、求Bx=0的通解。

標準答案：因為B￥O,所以r(B巨1,則3—r(B)S2。又因為由，的是Bx=0的兩個

線性無關的解，故3—1(0巨2,故r(。尸1所以仇，的是Bx=0的一個基礎解系,于

是Bx=0的通解為x=kifh+k2P2，其中ki，kz為任意常數。

知識點解析：暫無解析

Xj+?2+x5+x4+x5=a,

X

3x,+2X2+,+x4-3xs=0,

x2+2x3+2X4+6xs=b,

5%+4X+3x+3X-x=2。

19、已知線性方程組(2s45問；a、b為何值時，方程組

有解，并求出方程組的通解。

標準答案：

1111111：a-

11-3；001226：3a

B

226b0000016-3a

332--00000i2-2n-

fb-3a

方程組有解O"A)=r(8)=

12-2a

10-1-1-5：-2,

1

01226：3

當Q=1,且6=3時］—?

00000;0

1

-00000：0-原方

-^4-5%,=-2,

程組等價于匕2+23+2x,+6%=3,該方程組對應的齊次方程組為

■O'

0

-0-

得齊次方程組的一個基礎解系

-2'

3

0

0

得方程組的一個特解n=0-，則方程組的通解為x=rj+k]K+k2及+k313,其中k|,

k2,k3為任意常數。

知識點解析：暫無解析

a”/+al3x2+…+可.%〃=0.

（]）知陽+。22巧+…+”2.租=0，

20、已知方程組+?七+…+冊&5=°的一個基礎解系為（b]|,

b]2，…，bl.2n）T，（b21,b22，…，^2-211）,，…，（bnl，bn2，…，bn.2n）^<>試與出

“I力+bl2y2+…+61211y2,=0.

（2）62,+b22y?+…+—=0,

線性方程組心力+岫力+…+鼠入仄=o的通解，并說明理由。

標準答案：由題意可知，線性方程組⑵的通解為廣C]（au，a]2,…，ai.

2n）+，2（a21,222,…，32,2n）+…+Cn（anl，Hn2?…，Hn.2n）^?其中C],C2,…，Cn

是任意的常數。這是因為：設方程組⑴和⑵的系數矩陣分別為A,B,則根據題

意可知ABT=O,因此BAT=（AB）T=O,可見A的n個行向量的轉置為（2）的n個解

向量。由于B的秩為n,所以⑵的解空間的維數為2n—r（B）=2n—n=n,乂因為A

的秩等于2n與（1）的解空間的維數的差，即n,因此A的n個行向量是線性無關

的，從而它們的轉置向量構成⑵的一個基礎解系。

知識點解析：暫無解析

21、已知4x5矩陣A=（ai,012，as,04，as）,其中ai，a2,as，（u,as均為四維列

向量，cq,口2，04線性無關，又設口3=川一。4，（15=（x1+012+04，B=2a]+a2一

013+04+（x5,求Ax=p的通解。

標準答案：由于囚，a2,04線性無關，a3=ai—04-a5=ai+02+04?所以r（A）=3。

由已知條件P=2ai+a2—013+04+（x5,從而線性方程組Ax=p有特解n=（2,1,一1,

1,l)To由ot3=a]—04,a5=ai+a2+?4，可知導出組Ax=0的兩個線性無關的解為

號=(1,0,一1,一1,0)T,々=(1,1,0,1,一1兒由r(A)=3,可知齊次線性

方程組Ax=0的基礎解系由兩個線性無關的解構成，故&2為Ax=0的基礎解

系,方程組Ax=0的通解為x=r|+kiqi+k242，其中ki，kz為任意常數。

知識點解析：暫無解析

X.+x,=0.

(1):2(2)：

設四元齊次線性方程組44;0；與+”0c求:

22、方程組(1)與(2)的基礎解系;

標準答案:求方程組(1)的基礎解系：對方程組(1)的系數矩陣作初等行變換

110

010-m。分溫,其基礎解系可取為

0'

01

10

-01■求方程(2)的基礎解系：對方程組(2)的系數矩陣作初等行變

-10011

1-11卜分別取

換01-1門山哨…

知識點解析：暫無解析

23、(1)與(2)的公共解。

標準答案：設X=(X|,X2,X3,X4)T為(1)與(2)的公共解，用兩種方法求X的一般表

達式：將⑴的通解X=(C],—C],C2，-Cl)T代入⑵得C2=-2ci，這表明⑴的解

中所有形如(C1，一C1，-2ci，-C1)T的解也是(2)的解，從而是(1)與(2)的公共

解。因此(1)與(2)的公共解為X=k(—1,1,2,1)T,kGRo

知識點解析：暫無解析

aUX\+al2X2+…+4?乙=°,

02IX1+anx2+…+勺d”=0,

24、已知齊次線性方程組3+3……即:黑,“二；二二瓦,

Ql2Xl+a22X2+…+=8,

5抵+a2?x2+…+<1".=6.

biX|+b2X2+...+bnxn=0的解。試證明線性方程組有

解。

標準答案：由已知齊次線性方程組

?ii?i+anx2++ai^=0,

。21町+ax+…+=0,

n2(1)

+。7町+…+=°的所有解都是方程

b|Xiib2X2+...+bnXn=O(2)的解，可知方