江蘇某中學18-19高三年級下冊開學質量檢測-數學

江蘇揚州中學18-19高三下開學質量檢測一數學

數學

一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分,請將答案填寫

在答題卷相應的位置上）

lo已知集合。

2.在復平面內，復數日勺對應點位于第象限。

3,向量，若，則實數日勺值為。

4.右圖是甲、乙兩名同學在五場籃球比賽中得分情況的莖葉圖.

那么甲、乙兩人得分的平均分（填〈，〉，=）

5o設且，則“函數在上是減函數〃，

是“函數在上是增函數”的條件.

6o某程序日勺框圖如圖所示，執行該程序,若輸入日勺為，

則輸出時時值為.

7.連續拋擲一個骰子（一種各面上分別標有1,2,3,4,5,6個點

的正方體玩具）兩次，則出現向上點數之和大于9的概率是.

8.若一個圓錐的側面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為。

9.數列滿足且對任意日勺，都有，則的前項和.

10。已知函數,其中.若時值域是，則H勺取值范圍是.

Ik一個等差數列中，是一個與無關日勺常數，則此常數的集合為.

12.點在不等式.表示的平面區域內，若點到直線時最大距離為，則

k二,

13.橢圓的左右焦點分別為，若橢圓上恰好有6個不同的點，使得為

等腰三角形,則橢圓歐I離心率的I取值范圍是.

14o設tR,若x>0時均有，則t=.

二、解答題：(本大題共6道題，計90分.解答應寫出必要W、J文字

說明、證明過程或演算步驟)

15.已知的三個內角，，所對口勺邊分別是，，，，.

(I)求的值;

(II)求的面積。

16o在直三棱柱中,二2，。點分別是，的中點，是棱上的動點。

(I)求證：平面；

(H)若〃平面，試確定點的位置,并給出證明；

17.如圖所示，有一塊邊長為日勺正方形區域，在點處有一個可轉動的

探照燈.，其照射角始終為弧度(其中點分別在邊上運動)，設，.

(1)試用表示出的長度，并探求日勺周長；

(2)求探照燈照射在正方形內部區域日勺面積的最大值。

18.已知數列的前項和為，且滿足:，N*,.

(I)求數列口勺通項公式；

(【I)若存在N*,使得,，成等差數列，試判斷：對于任意日勺N*,

且，，，是否成等差數列，并證明你的結論.

19o已知橢圓的離心率，一條準線方程為

⑴求橢圓的I方程；

⑵設為橢圓上日勺兩個動點，為坐標原點,且.

①當直線的傾斜角為時，求日勺面積；

②是否存在以原點為圓心口勺定圓，使得該定圓始終與直線相切?若存

在,請求出該定圓方程；若不存在,請說明理由.

20.己知函數日勺定義域為，若在上為增函數，則稱為“一階比增函數”;

若在上為增函數,則稱為“二階比增函數”.

我們把所有“一階比增函數”組成的集合記為，所有“二階比增函數

〃組成的集合記為。

(I)已知函數，若且，求實數的取值范圍；

(11

)已

知，

且時

部分

函數

值由

下表

給

出，

求證：；

(山)定義集合

請問：是否存在常數，使得,，有成立?若存在，求出H勺最小值；若不

存在，說明理由.

附力口題

1.已知,，求曲線在矩陣MN對應日勺變換作用下得到出J曲線方程.

2o在極坐高二年級高三年級

標系中，

圓C:和直

線相交于

A.B兩點,

求線段AB

時長.

3o今年雷

鋒日，某

中學預備

從高中三

個年級選

派4名教師

和20名學

生去當雷

鋒志愿者，

學生的名

額分配如

(I)若從20下：名學生中選

出3人參加文高一年級明交通宣傳，

求他們中恰10人6人4人好有1人是高

一年級學生的概率；

（ID若將4名教帥安排到三個年級（假設每名教帥加入各年級是等

可能日勺，且各位教師的選擇是相互獨立日勺），記安排到高一年級的教

師人數為，求隨機變量的分布列和數學期望。

4.對于數集，其中，，定義向量集

.若對于任意，存在，使得，則稱X

具有性質P。例如具有性質Po

⑴若，且具有性質，求日勺值；

（II）若X具有性質P,且xl二1,x2=q（q為常數）,求有窮數列的通

項公式.

參考答案

1.2.二3.4.〈5.充分不必要6.7.

8.9.10.11.12.13.14.

15.（14分）解：（I）解

...........................5分

（II）由（I）知,................................7分

*

??

???...............................10分

...............................14分

16.（14分）

（I）證明：???在直三棱柱中，，點是日勺中點,

：?....................1分

???，平面................3分

平面

?**,即............5分

又

???平面........................7分

（II）當是棱的中點時，〃平面。.....................8分

證明如下：

連結，取的中點H,連接，則為的中位線

.??〃，.............10分

?.,由已知條件，為正方形J〃，;為日勺中點，J...........12

分

???〃，且

???四邊形為平行四邊形，〃

又I................又分

.??〃平面................14

17.（15分）（1）設，，，，，

（2分）

???，為定值.（7分）

（2）............（10分）

又函數在上是減函數，在上是增函數，.......（12分）

???，J.............（14分）

所以探照燈照射在正方形內部區域的面積日勺最大值

為。.......（15分）

18.（15分）解析：（I）由已知可得，兩式相減可得，即，又，

所以當廠0時，數列為a,0,0……,0,……；當時，由已知，所以，于

是由，可得，所以成等比數列，當時，。

綜上,數列的通項公式為：

（II）對于任意日勺，且，是否成等差數列，證明如下：

當r=0時,由（I）,知，

故對于任意的，且,7成等差數列；

當時，，.

若存在，使得成等差數列，則，

，即，

由（I）,知的公比，

于是對于任意的，且，，從而，

,即成等差數列。

綜上，對于任意日勺，且，成等差數列.

19.（1）因為，，，.......................2分

解得，所以橢圓方程為.4分

（2）①由，解得，?…?,6分

由得，.........................................8分

所以，所以........................10分

②假設存在滿足條件的定圓，設圓W、J半徑為，則

因為，故，

當與日勺斜率均存在時，不妨設直線方程為：,

由，得,所以，.................12分

同理可得（將中歐!換成可得）.................14分

當與的斜率有一個不存在時，可得，

故滿足條件的定圓方程為：.....................16分

20.（16分）解：（I）因為且，

即在是增函數，所以...........2分

而在不是增函數，而

當是增函數時，有，所以當不是增函數時，

綜上，得.......4分

（II）因為，且

所以,所以，

同理可證，

三式相加得

所以...........6分

因為所以

而，所以

所以............8分

(III)因為集合

所以，存在常數，使得對成立

我們先證明對成立假設使得，

記因為是二階比增函數，即是增函數。

所以當時，，所以

所以一定可以找到一個，使得

這與對成立矛盾............11分

對成立所以，對成立

下面我們證明在上無解假設存在,使得，

則因為是二階增函數，即是增函數

一定存在，，這與上面證明日勺結果矛盾

所以在上無解

綜上，我們得到，對成立

所以存在常數，使得，，有成立

又令，則對成立，

又有在上是增函數，所以，

而任取常數，總可以找到一個，使得時，有

所以日勺最小值為。............16分

1?！窘馕觥勘绢}考查矩陣日勺乘法，MN二二，...........4分

設是曲線上任意一點，點在矩陣MN對應的變換下變為點,則有

于是，????..............................8分

代入得，

所以曲線在批對應的變換作用下

得到的曲線方程為......................10分

2.解：本小題主要考查直線、圓的J極坐標方程、直線與圓KJ位置關系

等基礎知識,考查運算求解能力.分別將圓C和直線1時極坐標方程化

為直角坐標方程：

3o解：(I)設“他們中恰好有1人是高一年級學生”為事件,則

答：若從選派的學生中任選3人進行文明交通宣傳活動，他們中恰

好有1人是高一年級學生的概率為...............4分

(II)解法L的所有取值為0,1,2,3,4,由題意可知，每位教師選擇

高一年級W、J概率均為.所以；；

隨機01234

變量

KJ分

布列

為：

所以

解法2:隨機變量服從參數為4,的二項分布，即二

隨機01234

變量

的分

布列

為：

所以

4.解：（1）選取,Y中與垂直的元素必有形式?！?分

所以尸2仇從而44。...4分

（2）［解法一］猜測，i=l,2,…，no''

記，k=2,3,…，no

先證明：若具有性質匕則也具有性質P。