幾何圖形問題（課件）2026-2027學年人教版數學九年級上冊

25.3實際問題與一元二次方程第1課時幾何圖形問題新課導入直角三角形的面積公式是什么？一般三角形的面積公式又是什么？

正方形的面積公式是什么？長方形的面積公式又是什么？正方形的面積=邊長×邊長長方形的面積=長×寬梯形的面積公式是什么？

菱形的面積公式是什么？平行四邊形的面積公式是什么？圓的面積公式是什么？①S=ah(a底，h為這條底對應的高)

S=ah(a為底邊長度，h為這條底邊對應的高)S=πr2

(π為圓周率，r為圓的半徑)

如圖，(1)一塊長方形鐵皮的長是10cm，寬是8cm，四角各截去一個邊長為2cm的小正方形，制成一個長方體容器，這個長方體容器的底面積是__________，高是_________，體積是_________．24cm22cm48cm3(2)一塊長方形鐵皮的長是10cm，寬是8cm，四角各截去一個邊長為xcm的小正方形，制成一個長方體容器，這個長方體容器的底面積是___________________，高是_________，體積是_______________________．(10－2x)(8－2x)cm2xcmx(10－2x)(8－2x)cm3探究新知例1

是否存在三邊長是三個連續正整數的直角三角形？如果存在，這樣的三角形有多少個？解：若存在這樣的三角形，設其三邊長依次為x，x十1，x+2，其中x為正整數.由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2.解方程，得x1=3，x2=?1（不符合題意，舍去）.因此，三邊長是三個連續正整數的直角三角形存在且只有一個，其三邊長分別為3，4，5.例2

用一根長為40m的細繩，能否圍成一個面積為96m2的矩形區域？如果能圍成，這樣的矩形是否唯一？分析：假設細繩能圍成面積為96m2的矩形區域,則矩形的周長就是細繩的長度，設矩形一邊長為xm，由周長為40m，可用含x的式子表示出該邊的鄰邊長，再利用面積列方程求解。解：設矩形的一邊長為xm，由矩形的周長為40m，可得此邊的鄰邊長為（20?x）m；再由矩形的面積為96m2，得解方程，得

x1=12，x2=8.x（20?x）=96.因此，用一根長為40m的細繩可以圍成面積為96m2的矩形區域，這樣的矩形唯一，其兩鄰邊長分別為8m，12m.方程有兩個根，是否表示可以圍成兩個滿足條件的矩形區域？思考：對于例2中的問題，設矩形的兩鄰邊長的方法有多種，例如：

（2）可設一邊長為（10+x）m，那么其鄰邊長為（10?x）m.能根據以上設兩鄰邊長的方法列方程求解例2嗎？比較這些設法，說說它們各自的特點。

x2

+96=20x,x2?20x+96=0,解得x1=12，x2=8.x=8時，另一邊=12；x=12時，另一邊=8.（2）可設一邊長為（10+x）m，那么其鄰邊長為（10?x）m.解：(10+x)(10?x)=96

解得x1=2，x2=?2.x=2時，邊長：12m、8m；x=?2時，邊長：8m、12m.知識歸納1．直接利用面積公式列一元二次方程解決問題時，要熟記各種常見幾何圖形的面積公式．2．對于不規則圖形的面積或周長問題，一般通過平移、割補等方法轉化為規則圖形，然后列方程求解，和周長有關的問題中，平移或割補之后注意邊是否存在重復或遺漏．例1例題與練習有一根10m長的鐵絲，怎樣用它圍成一個面積為6m2的矩形？請求出這個矩形的長和寬．(用一元二次方程的知識解決)解：設圍成的矩形的長為xm，則寬為(5－x)m.根據題意，得x(5－x)＝6.解得x1＝2，x2＝3.此時5－x＝3或5－x＝2.答：這個矩形的長為3m，寬為2m．例2

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點P從A出發，沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從點C出發，沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動．如果P，Q同時出發，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為8cm2?解：設xs后，可使△PCQ的面積為8cm2，則AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.

整理，得x2－6x＋8＝0，解這個方程，得x1＝2，x2＝4.所以P，Q同時出發，2s或4s后可使△PCQ的面積為8cm2.1.如圖，要為長22cm，寬29cm的照片配相框，要求相框的四條邊寬度相等，并且相框邊的面積是照片面積的四分之一,相框邊的寬度應是多少厘米（結果保留小數點后一位）？解：設相框邊的寬度為x

cm，(22+2x)(29+2x)=797.5整理，得4x2＋102x?159.5＝0.

因為x取正值，

2.一個直角三角形的三邊長均為正整數，斜邊的長比一直角邊的長大1，比另一直角邊的長大8，這樣的直角三角形存在嗎？如果存在，有多少個？解：設斜邊長為x，則一條直角邊長x?1，另一條直角邊長x?8.可列方程：(x?1)2

+(x?8)2=x

2

整理，得x2?18x+65＝0.解這個方程，得x1＝5，x2＝13.當x=5時，邊長不能為負數，舍去直角邊：5?1=4,

5?8=?3當x=13時，直角邊：13?1=12,

13?8=5由勾股定理a2+b2=c2得52

+122

=25+144=169=132

所以這樣的直角三角形存在，只有1個.3.如圖，要設計一幅寬20cm，長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3：2.如果要使彩條所占面積是圖案面積的四分之一，應如何設計彩條的寬度（結果保留小數點后一位）？解:設橫彩條的寬度為3xcm,則空白部分的長：30?2×2x=30?4x空白部分的寬：20?2×3x=20?6x圖案總面積：30×20=600

cm2

因此可列方程：(30?4x)(20?6x)=450整理，得12x2?130x+75＝0.豎彩條的寬度為2xcm.

橫彩條寬度：3x≈3×0.61≈1.8

cm豎彩條寬度：2x≈2×0.61≈1.2

cm4．在一幅長為80cm，寬為50cm的矩形風景畫的四周鑲一條相同寬度的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是

(

)A．x2＋130x－1400＝0B．x2＋65x－350＝0C．x2－130x－1400＝0D．x2－65x－350＝0B課堂小結1．利用已學的特殊圖形的面積(或體積)公式建立一元二次方程的數學模型，并運用它解決實際問題的關鍵是弄清題目中的數量關系．2．根據面積與面積(或體積)之間的等量關系建立一元二次方程，并能正確解方程，最后對所得結果是否合理要進行檢驗．隨堂檢測1.怎樣用一根長為40m的細繩圍成一個面積為75m2的矩形區域？能圍成一個面積為101m2的矩形區域嗎？如果能，說明圍法；如果不能，說明理由.解:細繩長40m，即矩形周長40m,長+寬=20m.設矩形一邊長為xm，則另一邊長為(20?x)m.①圍成面積75m2列方程：x(20?x)=75,方程可化為：x2

?20x

+75=0.因式分解，得：(x?5)

(x?15)=75解得：x1＝5，x2＝15.所以能圍成面積75m2的矩形區域，矩形兩邊為5m和15m

.②圍成面積101m2列方程：x(20?x)=101,方程可化為：x2

?20x

+101=0.所以不能圍成面積101m2的矩形區域.此時a=1，b=?20，c=101，

方程無實數根2.如圖，矩形ABCD的兩條鄰邊AD=1，CD=4，AB上是否存在點E，使得∠DEC為直角？解:設AE=x，則EB=4?x.在矩形ABCD

中，AD=1，CD=4，∠A=∠B=90°根據勾股定理得：DE2

=AD2

+AE2

=12+x2

=1+x2CE2

=BC2

+EB2

=12+(4?x)2

=1+(4?x)2若∠DEC=90°，則△DEC為直角三角形，且DC為