2026年中考數學二輪復習講練測《折疊問題與幾何文化》含答案

初中熱點06折疊問題與幾何文化熱點聚焦方法精講能力突破第一部分熱點聚焦·析考情聚焦中考高頻熱點題型，明確命題趨勢下的核心考查方向。第二部分題型引領·講方法歸納對應高頻熱點題型的解題策略與實戰方法技巧。題型01平行四邊形中的折疊問題題型02矩形中的折疊問題題型03菱形中的折疊問題題型04正方形中的折疊問題第三部分能力突破·限時練精選熱點經典題目，限時訓練，實現解題速度與準確率雙重躍升。近三年：根據近三年廣州中考試題，“折疊問題與幾何文化”部分的考試方向是突出動態幾何直觀與數學人文素養的雙重考查。試題嚴格依據課標，高度關注折疊變換中圖形位置關系的確定、線段與角的等量轉化、勾股定理與方程思想的綜合運用，同時結合數學歷史、傳統工藝等“幾何文化”背景進行創新命題。在題型上，該板塊主要分布在填空題和解答題的中檔位置：填空題常以矩形、正方形、平行四邊形為載體的折疊問題出現，考查學生通過折疊找等量關系并運用勾股定理建立方程求解；解答題則可能將折疊與圖形變換后的特殊位置判定（如某點落在特殊線上）相結合進行綜合考查。預測2026年：2026年的考試方向將延續“素養立意”，更加注重在折疊動態問題中考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力。試題可能進一步與跨學科情境融合，如結合剪紙藝術、折紙文化等“幾何文化”背景設計任務型問題。考試題型預計保持穩定：填空題中仍會出現以矩形折疊為主線的幾何計算題，重在檢驗學生利用軸對稱性質進行轉化和建模的能力；解答題則可能將折疊問題與特殊四邊形的判定、三角形全等相似進行綜合考查。題型01平行四邊形中的折疊問題解｜題｜策｜略1.抓軸對稱性質：折疊前后圖形全等，對應邊相等、對應角相等，折痕垂直平分對應點連線。2.利用平行四邊形性質：結合對邊平行且相等、對角相等等性質，得到邊角關系，為全等或相似創造條件。3.勾股定理建方程：將折疊后的對應邊關系轉化到直角三角形中，設未知數列方程求解。例1（2025·廣東廣州·二模）如圖，將平行四邊形沿對角線折疊，使點落在處．若，，則的度數為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25八年級下·廣東河源·期末）綜合與實踐折紙操作簡單，富有數學趣味，同學們可以通過折紙開展數學探究．“樂學小組”以“平行四邊形紙片的折疊”為主題開展了數學活動：在平行四邊形紙片中，E為邊上任意一點，將沿折疊，點B的對應點為．(1)【感知】如圖①，若點恰好落在邊上時，求證：四邊形是平行四邊形；(2)【探究】如圖②，若點三點在同一條直線上，求證：；(3)【應用】如圖③，若，連接并延長，交于點F．若平行四邊形紙片的面積為6，，求線段的長．【變式2】綜合探究綜合探究課上，老師帶領同學們開展以“平行四邊形的折疊”為主題的數學活動．問題初探：（1）如1圖，點O是平行四邊形紙片對角線的交點，將該紙片沿過點O的線段折疊，使點C的對應點為，點B與點D重合，猜想和的數量關系，并說明理由；遷移探究（2）如2圖，連接，與交于點P，猜想和的位置關系，并說明理由；拓展探索（3）如3圖，若紙片沿過點O的線段折疊，點B不與重合，連接，猜想和的位置關系，并說明理由題型02矩形中的折疊問題解｜題｜策｜略1.抓軸對稱性質：折疊前后圖形全等，對應邊相等、對應角相等，折痕垂直平分對應點連線。2.勾股定理建方程：將折疊后的對應邊關系轉化到直角三角形中，設未知數列方程求解。3.利用矩形性質：結合矩形對邊平行且相等等性質，得到平行線間角相等，為全等或相似創造條件。例2（2025·廣東廣州·二模）如圖，在矩形中，，，點是邊上的中點，點是邊上的一動點連接，將沿折疊，若點的對應點，連接，則的最小值為______．當為直角三角形時，的長為____________________．【變式1】（2025·廣東廣州·二模）已知，在矩形中，點，分別在邊，上，將矩形沿折疊，使點的對應點落在邊的中點上，交于點，連接．(1)如圖，若，時①_____②求的長；(2)若為的三等分點，求的值．【變式2】（2025·廣東廣州·中考真題）寬與長的比是（約為）的矩形叫做黃金矩形．現有一張黃金矩形紙片，長．如圖1，折疊紙片，點B落在上的點E處，折痕為，連接，然后將紙片展開．(1)求的長；(2)求證：四邊形是黃金矩形；(3)如圖2，點G為的中點，連接，折疊紙片，點B落在上的點H處，折痕為，過點P作于點Q．四邊形是否為黃金矩形？如果是，請證明：如果不是，請說明理由．【變式3】（2025·廣東廣州·一模）某數學興趣小組在探究矩形的折疊問題．如圖9，他們把矩形的邊折疊，折疊后點與邊上的點重合．(1)怎么找出這條直線折痕呢？興趣小組發現可以通過尺規作圖，準確地找到這條折痕．請你利用尺規作圖幫他們確定折痕所在的直線（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)折痕與邊的交點為，連結，以為直徑作，興趣小組進一步探究點與的位置關系，請你與興趣小組一起思考分析，確定點與的位置關系并說明理由；(3)如果折痕，，通過探究，興趣小組發現可以求出矩形的周長．請你幫助興趣小組寫出詳細的求解過程．題型03菱形中的折疊問題解｜題｜策｜略1.抓軸對稱性質：折疊前后圖形全等，對應邊相等、對應角相等，折痕垂直平分對應點連線。2.利用菱形性質：結合菱形四條邊相等、對角線互相垂直平分等性質，得到邊角關系，為全等或相似創造條件。3.勾股定理建方程：將折疊后的對應邊關系轉化到直角三角形中，設未知數列方程求解。例3（2025·廣東廣州·模擬預測）如圖，將菱形紙片折疊，使點落在邊的點處，折痕為，若，為的中點，，則圖形的面積是（

）A． B． C． D．【變式1】（2025·廣東廣州·一模）如圖，在菱形中，，點、分別在邊、上，，將沿折疊，點落在延長線上的點處，則的大小是_______．【變式2】（2024·廣東廣州·二模）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線上的點G處（不與B，D重合），折痕為，若，則點E到的距離為____．題型04正方形中的折疊問題解｜題｜策｜略1.抓軸對稱性質：折疊前后圖形全等，對應邊相等、對應角相等，折痕垂直平分對應點連線。2.利用正方形性質：結合正方形四邊相等、四角均為直角、對角線平分對角等性質，得到邊角關系。3.勾股定理建方程：將折疊后的對應邊關系轉化到直角三角形中，設未知數列方程求解。例4（2025·廣東韶關·一模）如圖，點是正方形的邊的中點，連接，將沿折疊得到，延長交于點．若，則的長為（

）A．1.5 B．1 C． D．【變式1】（2025·廣東廣州·二模）如圖，在邊長為的正方形中，對角線、交于點，折疊正方形紙片，使落在上，點恰好與上的點重合，展開后折痕分別交、于點、，連接，給出下列結論，①；②四邊形是菱形；③；④，其中正確的是______．【變式2】（2024·廣東廣州·一模）如圖，已知正方形的邊長為，為的中點，是邊上的一個動點，連接，將沿折疊得，若延長交邊于點，則的取值范圍是______．【變式3】（2025·廣東廣州·一模）如圖，現有正方形紙片，點，分別在邊，上，沿垂直于的直線折疊得到折痕，點，分別落在正方形所在平面內的點，處，然后還原．(1)若點在邊上，且，求的大小（用含的式子表示）；(2)再沿垂直于的直線折疊得到折痕，點，分別在邊，上，點落在正方形所在平面內的點處，然后還原．若，點在線段上，且四邊形是正方形，與的交點為，與的交點為，連接．小明同學猜想：的面積是的2倍，他的猜想是否正確？如正確，請給予證明；若不正確，請求出兩三角形面積的比．（20分鐘限時練）一、單選題1．（2025·廣東廣州·一模）如圖，科技社團的同學們用矩形硬紙板制作立體模型，其中一個結構的制作需將紙板沿折疊得到，折疊后與交于點，已知，則的大小為（

）A． B． C． D．2．（24-25九年級下·江蘇泰州·月考）小雅同學手中有一張矩形紙片，，，他進行了如下操作：第一步，如圖1將矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，將紙片展平；第二步，如圖2，再一次折疊紙片，把沿折疊得到，交折痕于點，則到的距離為（

）A． B． C． D．3．（20-21八年級下·廣東廣州·期中）如圖，已知正方形的邊長為12，，將正方形的邊沿折疊到，延長交于，連接．現有如下3個結論：；；五邊形的周長是44，其中正確的個數為（

）

A． B． C． D．二、填空題4．（25-26九年級下·廣東廣州·月考）如圖，有一張矩形紙片，將矩形紙片沿折疊，使點落在邊上的點處，再將紙片沿折疊，使點落在的中點處，則_____．5．（25-26八年級下·廣東廣州·月考）小雅同學手中有一張矩形紙片，他進行了如下操作：第一步，如圖將矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，將紙片展平；第二步，如圖，再一次折疊紙片，把沿折疊得到交折痕于點，則到的距離為__________．6．（2024·安徽·中考真題）如圖，現有正方形紙片，點E，F分別在邊上，沿垂直于的直線折疊得到折痕，點B，C分別落在正方形所在平面內的點，處，然后還原．（1）若點N在邊上，且，則______（用含α的式子表示）；（2）再沿垂直于的直線折疊得到折痕，點G，H分別在邊上，點D落在正方形所在平面內的點處，然后還原．若點在線段上，且四邊形是正方形，，，與的交點為P，則的長為______．三、解答題7．（25-26八年級上·廣東廣州·期中）如圖，四邊形是一張長方形紙片，將紙片折疊，使點A與點D，點B與點C重合，得到折痕EF后再把紙片展平；在CD上選一點P，沿AP折疊，使點D恰好落在折痕EF上的點M處．求證：．8．寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．如圖，已知矩形紙片是黃金矩形，寬，折疊紙片，使點A落在上的點E處，得到折痕；再次折疊紙片，使點C落在上的點G處，得到折痕．

(1)求證：四邊形是正方形；(2)四邊形是黃金矩形嗎？請說明理由．9．如圖，將紙片沿中位線折疊，使點的對稱點落在邊上，再將紙片分別沿等腰和等腰的底邊上的高線折疊，折疊后的三個三角形拼合形成一個矩形．類似地，對多邊形進行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個無縫隙、無重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形．(1)將紙片按圖的方式折疊成一個疊合矩形，則操作形成的折痕分別是線段________，________；________．(2)紙片還可以按圖的方式折疊成一個疊合矩形，若，求的長．(3)如圖，四邊形紙片滿足，，，，小明把該紙片折疊，得到疊合正方形．請你幫助畫出疊合正方形的示意圖，并求出的長．10．（25-26九年級下·廣東廣州·開學考試）【閱讀資料】紙張大小的設計不僅要有美感，還應具有實用性．紙是我們常見的矩形打印紙，將紙沿垂直的對稱軸折疊（如圖1），展開后，折痕兩側的兩個小矩形稱為紙，它們與原來的矩形相似，以其中一個為例，可記為矩形矩形；將紙類似的對折，得到與之相似的紙……，紙的大小設計能在紙張的剪裁中避免浪費，且方便縮放打印，可謂兼具強大的功能性與視覺美感．(1)【初探結論】如圖1，設，則紙的寬______（用a表示）(2)【作圖再探】如圖1，連接，過點E作交于點G．證明：點G為邊的中點；(3)【拓展應用】在（1）的條件下，①如圖2，再次折疊紙片，使點B落在上的點E處，折痕為，連接．請寫出并證明線段與的關系；②如圖3，若點E為邊上的一動點，沿折疊紙片，使點A落在P處，連接，，求的最小值．

熱點06折疊問題與幾何文化熱點聚焦方法精講能力突破第一部分熱點聚焦·析考情聚焦中考高頻熱點題型，明確命題趨勢下的核心考查方向。第二部分題型引領·講方法歸納對應高頻熱點題型的解題策略與實戰方法技巧。題型01平行四邊形中的折疊問題題型02矩形中的折疊問題題型03菱形中的折疊問題題型04正方形中的折疊問題第三部分能力突破·限時練精選熱點經典題目，限時訓練，實現解題速度與準確率雙重躍升。近三年：根據近三年廣州中考試題，“折疊問題與幾何文化”部分的考試方向是突出動態幾何直觀與數學人文素養的雙重考查。試題嚴格依據課標，高度關注折疊變換中圖形位置關系的確定、線段與角的等量轉化、勾股定理與方程思想的綜合運用，同時結合數學歷史、傳統工藝等“幾何文化”背景進行創新命題。在題型上，該板塊主要分布在填空題和解答題的中檔位置：填空題常以矩形、正方形、平行四邊形為載體的折疊問題出現，考查學生通過折疊找等量關系并運用勾股定理建立方程求解；解答題則可能將折疊與圖形變換后的特殊位置判定（如某點落在特殊線上）相結合進行綜合考查。預測2026年：2026年的考試方向將延續“素養立意”，更加注重在折疊動態問題中考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力。試題可能進一步與跨學科情境融合，如結合剪紙藝術、折紙文化等“幾何文化”背景設計任務型問題。考試題型預計保持穩定：填空題中仍會出現以矩形折疊為主線的幾何計算題，重在檢驗學生利用軸對稱性質進行轉化和建模的能力；解答題則可能將折疊問題與特殊四邊形的判定、三角形全等相似進行綜合考查。題型01平行四邊形中的折疊問題解｜題｜策｜略1.抓軸對稱性質：折疊前后圖形全等，對應邊相等、對應角相等，折痕垂直平分對應點連線。2.利用平行四邊形性質：結合對邊平行且相等、對角相等等性質，得到邊角關系，為全等或相似創造條件。3.勾股定理建方程：將折疊后的對應邊關系轉化到直角三角形中，設未知數列方程求解。例1（2025·廣東廣州·二模）如圖，將平行四邊形沿對角線折疊，使點落在處．若，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的性質，折疊的性質，三角形的外角性質及三角形內角和定理等知識，由平行四邊形的性質和折疊的性質得，再由三角形的外角性質得到，然后根據三角形內角和定理解答即可求解，熟練掌握平行四邊形的性質和折疊的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，，由折疊的性質得，，，，，，故選：．【變式1】（24-25八年級下·廣東河源·期末）綜合與實踐折紙操作簡單，富有數學趣味，同學們可以通過折紙開展數學探究．“樂學小組”以“平行四邊形紙片的折疊”為主題開展了數學活動：在平行四邊形紙片中，E為邊上任意一點，將沿折疊，點B的對應點為．(1)【感知】如圖①，若點恰好落在邊上時，求證：四邊形是平行四邊形；(2)【探究】如圖②，若點三點在同一條直線上，求證：；(3)【應用】如圖③，若，連接并延長，交于點F．若平行四邊形紙片的面積為6，，求線段的長．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】（1）由折疊的性質結合平行四邊形的性質得到，推出，即可證明四邊形是平行四邊形；（2）由折疊的性質結合平行四邊形的性質證明是等腰三角形，即可得出結論；（3）延長交于點H，由折疊的性質先證明是等腰三角形，得到，根據平行四邊形的性質得到，易證是等腰三角形，用平行四邊形的面積公式即可求出，進而得到，利用勾股定理即可解答．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，理由如下：由折疊的性質可得：，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）證明：由折疊的性質可得：，四邊形是平行四邊形，，，，點三點在同一條直線上是等腰三角形，；（3）解：如圖，延長交于點H，由折疊的性質可得：，，，是等腰直角三角形，，四邊形是平行四邊形，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，．【變式2】綜合探究綜合探究課上，老師帶領同學們開展以“平行四邊形的折疊”為主題的數學活動．問題初探：（1）如1圖，點O是平行四邊形紙片對角線的交點，將該紙片沿過點O的線段折疊，使點C的對應點為，點B與點D重合，猜想和的數量關系，并說明理由；遷移探究（2）如2圖，連接，與交于點P，猜想和的位置關系，并說明理由；拓展探索（3）如3圖，若紙片沿過點O的線段折疊，點B不與重合，連接，猜想和的位置關系，并說明理由【答案】（1），見解析（2），見解析（3），見解析【分析】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，折疊的性質：（1）由平行四邊形的性質可得，，，推出，，證得，由全等三角形的性質可得，再根據線段的和差關系，即可得出結論；（2）由折疊的性質可得，，，，結合平行四邊形的性質，證得，可得，，進而推出，即可得出結論；（3）分別延長和交于點I，連接，，連接和交于點J，由（1）（2）可得，，，設，可得，證得，推出，即可得出結論．【詳解】（1）解：，理由：是對角線的交點，，，，，，在和中，，，，，；（2）解：，理由：紙片沿過點O的線段折疊，點B與點D重合，，，，，在中，，，，在和中，，，，，，即，，，，；（3）解：，分別延長和交于點I，連接，，連接和交于點J，由（2）得，在中，，，紙片沿過點O的線段折疊，，，，由（1）得，，，，設，，，，，在和中，，，，，，，．題型02矩形中的折疊問題解｜題｜策｜略1.抓軸對稱性質：折疊前后圖形全等，對應邊相等、對應角相等，折痕垂直平分對應點連線。2.勾股定理建方程：將折疊后的對應邊關系轉化到直角三角形中，設未知數列方程求解。3.利用矩形性質：結合矩形對邊平行且相等等性質，得到平行線間角相等，為全等或相似創造條件。例2（2025·廣東廣州·二模）如圖，在矩形中，，，點是邊上的中點，點是邊上的一動點連接，將沿折疊，若點的對應點，連接，則的最小值為______．當為直角三角形時，的長為____________________．【答案】85或【分析】本題考查翻折的性質，矩形的性質等知識，根據題意畫出圖形并分情況討論是解題關鍵．連接，則，當在上時，取最小值，即可求解；分情況討論：當時，當時，當時，再分別利用勾股定理和翻折的性質可得答案．【詳解】解：連接，在矩形中，，，∴，，∵點是邊上的中點，∴，∴，∵翻折，∴，∴∵，∴當在上時，取最小值，最小值為；∵為直角三角形，當時，∵點N是邊上的中點，，∴，∵，∴點B的對應點不能落在所在直線上，∴，不存在此類情況；當時，如圖所示，由折疊性質可得，，∴；當時，如圖所示∵，∴、N、C三點共線，設，則，∴，解得：，綜上所述的長為或5．故答案為：8；或5．【變式1】（2025·廣東廣州·二模）已知，在矩形中，點，分別在邊，上，將矩形沿折疊，使點的對應點落在邊的中點上，交于點，連接．(1)如圖，若，時①_____②求的長；(2)若為的三等分點，求的值．【答案】(1)①，②(2)或1【分析】（1）作于點，設與交于點，根據矩形的性質得到，，，利用勾股定理求出，，即可求出的長，再通過證明得到，即可解答；（2）延長與交于點，利用折疊的性質推出，通過證明得到，結合為的三等分點，分2種情況討論，設，利用相似三角形的性質和勾股定理表示出，進而表示出，即可求出的值．【詳解】（1）解：如圖，作于點，設與交于點，矩形，，，，∴，點落在邊的中點，，，，解得，即．，，，，四邊形是矩形，，由折疊的性質得，垂直平分，，，，又，，，．故答案為：①，②（2）延長與交于點，由折疊的性質得，，，，，即，，，，，為的三等分點，或，①當時，，設，則，，，，，，，，；②當時，，設，則，，，，，，，，；綜上所述，的值為或1．【變式2】（2025·廣東廣州·中考真題）寬與長的比是（約為）的矩形叫做黃金矩形．現有一張黃金矩形紙片，長．如圖1，折疊紙片，點B落在上的點E處，折痕為，連接，然后將紙片展開．(1)求的長；(2)求證：四邊形是黃金矩形；(3)如圖2，點G為的中點，連接，折疊紙片，點B落在上的點H處，折痕為，過點P作于點Q．四邊形是否為黃金矩形？如果是，請證明：如果不是，請說明理由．【答案】(1)2(2)證明見解析(3)四邊形是黃金矩形．證明見解析【分析】（1）根據黃金矩形的定義可得：，再進一步求解即可；（2）先證明四邊形是正方形；可得，，證明四邊形是矩形，從而可得答案；（3）先證四邊形是矩形，然后求解，由對折可得：，設，則，由面積可得：，可得：，再進一步可得結論．【詳解】（1）解：∵，矩形是黃金矩形，∴，∴；（2）證明：∵折疊黃金矩形紙片，點B落在上的點E處，∴，，又∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形；∴，由（1）可知，，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴四邊形是黃金矩形．（3）解：四邊形是黃金矩形，證明如下：∵，四邊形是正方形，∴，∴四邊形是矩形；由（2）可知，，∵為的中點，∴，∴，如圖，連接，由對折可得：，，，設，則，∵∴，解得：，∴，∴，∴四邊形是黃金矩形．【變式3】（2025·廣東廣州·一模）某數學興趣小組在探究矩形的折疊問題．如圖9，他們把矩形的邊折疊，折疊后點與邊上的點重合．(1)怎么找出這條直線折痕呢？興趣小組發現可以通過尺規作圖，準確地找到這條折痕．請你利用尺規作圖幫他們確定折痕所在的直線（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)折痕與邊的交點為，連結，以為直徑作，興趣小組進一步探究點與的位置關系，請你與興趣小組一起思考分析，確定點與的位置關系并說明理由；(3)如果折痕，，通過探究，興趣小組發現可以求出矩形的周長．請你幫助興趣小組寫出詳細的求解過程．【答案】(1)見解析(2)點在上，理由見解析(3)72，見解析【分析】（1）利用軸對稱的性質和尺規作角平分線的方法作圖即可；（2）連接，利用折疊的性質得到，再利用全等三角形的性質得到，最后由點與圓的位置關系求解；（3）利用矩形的性質得到，根據相似三角形的性質，全等三角形的性質，解直角三角形的知識、勾股定理來求出和的長度即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，射線為所求．（2）解：點在上．理由如下：∵沿折疊得到，∴，，在和中，∴，∴，連接，則，∴點在上．（3）解：由（2）知，∴，在矩形中，，∴，∴，∴．∵，，∴設，則，由勾股定理得．∵，∴，∴．∵，∴，設，則，在中，，解得，∴，，∴，∴，∴．題型03菱形中的折疊問題解｜題｜策｜略1.抓軸對稱性質：折疊前后圖形全等，對應邊相等、對應角相等，折痕垂直平分對應點連線。2.利用菱形性質：結合菱形四條邊相等、對角線互相垂直平分等性質，得到邊角關系，為全等或相似創造條件。3.勾股定理建方程：將折疊后的對應邊關系轉化到直角三角形中，設未知數列方程求解。例3（2025·廣東廣州·模擬預測）如圖，將菱形紙片折疊，使點落在邊的點處，折痕為，若，為的中點，，則圖形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了菱形的性質，折疊的性質，勾股定理，等邊三角形的性質與判定；連接，根據菱形的性質得出，則是等邊三角形，根據等邊三角形的性質，勾股定理求得的長，進而求得，根據折疊的性質可得，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵四邊形是菱形，，∴，則是等邊三角形，∵，為的中點，∴，，∴，∴，∵折疊，∴，∴圖形的面積是，(此時點重合)故選：B．【變式1】（2025·廣東廣州·一模）如圖，在菱形中，，點、分別在邊、上，，將沿折疊，點落在延長線上的點處，則的大小是_______．【答案】/度【分析】本題考查了菱形性質，全等三角形性質和判定，折疊的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵在于熟練掌握相關性質．根據菱形性質，證明，結合全等三角形性質和判定，折疊的性質推出，再利用三角形內角和定理求解，即可解題．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，，由折疊的性質可知，，，，故答案為：．【變式2】（2024·廣東廣州·二模）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線上的點G處（不與B，D重合），折痕為，若，則點E到的距離為____．【答案】【分析】本題考查的是翻轉變換的性質、菱形的性質、勾股定理、解直角三角形，掌握翻轉變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵．作于H，，根據折疊的性質得到，根據菱形的性質、等邊三角形的判定定理得到為等邊三角形，得到，設，則，在中，，，則，根據勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：作于H，由折疊的性質可知，，由題意得，，四邊形是菱形，∴，，∴為等邊三角形，∴，設，則，在中，，，∴在中，，即，解得，，∴，故答案為：題型04正方形中的折疊問題解｜題｜策｜略1.抓軸對稱性質：折疊前后圖形全等，對應邊相等、對應角相等，折痕垂直平分對應點連線。2.利用正方形性質：結合正方形四邊相等、四角均為直角、對角線平分對角等性質，得到邊角關系。3.勾股定理建方程：將折疊后的對應邊關系轉化到直角三角形中，設未知數列方程求解。例4（2025·廣東韶關·一模）如圖，點是正方形的邊的中點，連接，將沿折疊得到，延長交于點．若，則的長為（

）A．1.5 B．1 C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了正方形的性質，折疊的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．連接，根據折疊的性質和正方形的性質可得，，即可證明得到，設，則，，在中，由勾股定理進行求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質可得，，，∵，∴，又∵，∴，∴，設，則，在中，由勾股定理得，，∴，解得，即，故選：D．【變式1】（2025·廣東廣州·二模）如圖，在邊長為的正方形中，對角線、交于點，折疊正方形紙片，使落在上，點恰好與上的點重合，展開后折痕分別交、于點、，連接，給出下列結論，①；②四邊形是菱形；③；④，其中正確的是______．【答案】①②③④【分析】由正方形的性質得，，，，，則，所以，由折疊得，，，則，，可判斷正確；所以，則，所以，則四邊形是菱形，可判斷正確；可證明，，則，求得，，則，可判斷正確；再證明，則，所以，可判斷正確，于是得到問題的答案．【詳解】解：四邊形是正方形，對角線、交于點，，，，，，，，，由折疊得，，，，，故正確；，，，四邊形是菱形，故正確；，，，，，，，，，，，，故正確；，，，，，故正確，故答案為：．【變式2】（2024·廣東廣州·一模）如圖，已知正方形的邊長為，為的中點，是邊上的一個動點，連接，將沿折疊得，若延長交邊于點，則的取值范圍是______．【答案】【分析】本題考查正方形的性質、軸對稱的性質、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．當點與點重合，點在邊上，此時的值最大；連接，利用即可最小值．【詳解】解：如圖1，點與點重合，此時點在邊上，正方形的邊長為2，，由折疊得，的最大值為2；如圖2，連接，為的中點，，，，，，，的最小值為，的最值范圍是，故答案為：．【變式3】（2025·廣東廣州·一模）如圖，現有正方形紙片，點，分別在邊，上，沿垂直于的直線折疊得到折痕，點，分別落在正方形所在平面內的點，處，然后還原．(1)若點在邊上，且，求的大小（用含的式子表示）；(2)再沿垂直于的直線折疊得到折痕，點，分別在邊，上，點落在正方形所在平面內的點處，然后還原．若，點在線段上，且四邊形是正方形，與的交點為，與的交點為，連接．小明同學猜想：的面積是的2倍，他的猜想是否正確？如正確，請給予證明；若不正確，請求出兩三角形面積的比．【答案】(1)(2)小明同學的猜想不正確，兩三角形面積的比【分析】（1）連接，根據正方形的性質每個內角為直角以及折疊帶來的折痕與對稱點連線段垂直的性質，再結合平行線的性質即可求解；（2）先可證，則，，由勾股定理可求，由折疊的性質得到：，，，，，則，，由，得，繼而可證明，由等腰三角形的性質得到，故，再根據三角形的面積公式即可求得兩個三角形的面積，即可求解．【詳解】（1）解：連接，由題意得，，∵，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，，∴，，∴∴；（2）∵，設，∴，，∵四邊形是正方形，四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，同理可證：，∴，，在中，由勾股定理得，由折疊可知：，，，，，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，由題意得，而，∴，∴，∴的面積為，的面積為，∴．綜上，小明同學的猜想不正確，兩三角形面積的比．（20分鐘限時練）一、單選題1．（2025·廣東廣州·一模）如圖，科技社團的同學們用矩形硬紙板制作立體模型，其中一個結構的制作需將紙板沿折疊得到，折疊后與交于點，已知，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查矩形的性質，平行線的性質，折疊的性質，由折疊得是解題的關鍵．根據矩形的性質可得，，由平行線的性質及直角三角形的性質求出，根據折疊的性質可得，進而可求解．【詳解】解：在矩形中，，，，，由折疊可知：，，，．故選：B．2．（24-25九年級下·江蘇泰州·月考）小雅同學手中有一張矩形紙片，，，他進行了如下操作：第一步，如圖1將矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，將紙片展平；第二步，如圖2，再一次折疊紙片，把沿折疊得到，交折痕于點，則到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質，勾股定理，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．根據矩形的性質和折疊的性質推出，進而得出，設，則，根據勾股定理可得：，列出方程求解得出，再得出，利用等面積法求出點到的距離，進而即可得出到的距離．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，由折疊可得：，，，，，四邊形是矩形，，，，，，設，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，則，則點到的距離為：，則點到的距離為：．故選：C．3．（20-21八年級下·廣東廣州·期中）如圖，已知正方形的邊長為12，，將正方形的邊沿折疊到，延長交于，連接．現有如下3個結論：；；五邊形的周長是44，其中正確的個數為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據正方形的性質和折疊的性質可得，，于是根據“”判定，依據全等三角形的性質以及折疊的性質，即可得到；再由勾股定理求出相應線段的長可得五邊形的周長．【詳解】解：由折疊可知：，，，，在和中，，，，，故正確；，，由折疊可得，，，故正確；正方形邊長是12，，設，則，，由勾股定理得：，即：，解得：，，，，五邊形的周長是：，故正確；故選：D．二、填空題4．（25-26九年級下·廣東廣州·月考）如圖，有一張矩形紙片，將矩形紙片沿折疊，使點落在邊上的點處，再將紙片沿折疊，使點落在的中點處，則_____．【答案】【分析】由折疊性質得四邊形為正方形，設，則，為中點，則．過點作于點，由等腰直角得，在中得，故，進而即可求解．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，，由題意得，，，，∴，∴四邊形是正方形，∴，設，在中，，∵是的中點，∴，如圖，過點作于點，在正方形中，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，，，解得，由題意得，，在中，，∵，且，∴，∴．5．（25-26八年級下·廣東廣州·月考）小雅同學手中有一張矩形紙片，他進行了如下操作：第一步，如圖將矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，將紙片展平；第二步，如圖，再一次折疊紙片，把沿折疊得到交折痕于點，則到的距離為__________．【答案】【分析】根據矩形的性質和折疊的性質推出，進而得出，設，則，根據勾股定理可得：，列出方程求解得出，再得出，利用等面積法求出點到的距離，進而即可得出到的距離．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，由折疊可得：，，，，，四邊形是矩形，，，，，，設，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，則，則點到的距離為：，則點到的距離為：．6．（2024·安徽·中考真題）如圖，現有正方形紙片，點E，F分別在邊上，沿垂直于的直線折疊得到折痕，點B，C分別落在正方形所在平面內的點，處，然后還原．（1）若點N在邊上，且，則______（用含α的式子表示）；（2）再沿垂直于的直線折疊得到折痕，點G，H分別在邊上，點D落在正方形所在平面內的點處，然后還原．若點在線段上，且四邊形是正方形，，，與的交點為P，則的長為______．【答案】/【分析】①連接，根據正方形的性質每個內角為直角以及折疊帶來的折痕與對稱點連線段垂直的性質，再結合平行線的性質即可求解；②記與交于點K，可證：，則，，由勾股定理可求，由折疊的性質得到：，，，，，則，，由，得，繼而可證明，由等腰三角形的性質得到，故．【詳解】解：①連接，由題意得，，∵，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，，∴，，∴∴，故答案為：；②記與交于點K，如圖：∵四邊形是正方形，四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，同理可證：，∴，，在中，由勾股定理得，由題意得：，，，，，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，由題意得，而，∴，∴，故答案為：．三、解答題7．（25-26八年級上·廣東廣州·期中）如圖，四邊形是一張長方形紙片，將紙片折疊，使點A與點D，點B與點C重合，得到折痕EF后再把紙片展平；在CD上選一點P，沿AP折疊，使點D恰好落在折痕EF上的點M處．求證：．【答案】證明見解析【分析】本題考查矩形的性質、垂直平分線的性質、折疊的性質，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．連接，根據對折矩形紙片，為折痕，證得垂直平分，沿折疊，使點D落在矩形內部點M處，證得，進而證得，根據直角三角形的性質，證得即可．【詳解】證明：連接，如圖：∵對折矩形紙片，為折痕，，，垂直平分沿折疊，使點D落在矩形內部點M處，為等邊三角形．8．寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．如圖，已知矩形紙片是黃金矩形，寬，折疊紙片，使點A落在上的點E處，得到折痕；再次折疊紙片，使點C落在上的點G處，得到折痕．

(1)求證：四邊形是正方形；(2)四邊形是黃金矩形嗎？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)是，理由見解析【分析】（1）根據正方形的判定定理求解即可；（2）首先根據題意設設，，然后根據正方形和矩形的性質表示出，進而求解即可．【詳解】（1）∵折疊紙片，使點A落在上的點E