2025北京初三一模數(shù)學匯編《幾何綜合》含答案

2025北京初三一模數(shù)學匯編

幾何綜合

一、解答題

1.（2025北京東城初三一模）如圖，在RlZX/18。中，N4CB=9O°,/1C=BC,點、D在4B上（ADvBD）,

過點。作交8。的延長線于點￡,連接力E,CD,以CO為底作等腰RtZ\CQF（點、E,歹在直線

C。的異側），連接

（1）依題意補全圖形；

（2）求證：ED=BD；

（3）用等式表示線段4E與打，的數(shù)量關系，并證明，

2.（2025北京西城初三一模）在A46C中，zlBAC=90\AB=AC,尸為邊8c上一點，點5與點E關于直

線力尸對稱，過點4作8c的垂線，交線段。的延長線于點。，連接OE交直線力產(chǎn)于〃，連接BE,CE,

設N8XP=a.

（1）如圖,當0。<0<45。時.

①求//CE的大小（用含。的式子表示）；

②詩用等式表示線段EH,DE,CE之間的數(shù)量關系，并證明；

⑵當45。<a<90°時，請直接寫出線段EH,。月,以之間的數(shù)量關系.

3.（2025北京海淀初三一模）如圖，在448。中，AB=AC,/力8C=a（0。<a<45。），力。工BC于。，

將射線81繞點8順時針旋轉(zhuǎn)45。得到射線8M,過點。作8M的垂線交8例于點E,交射線84于點/，連

接取

A

BDC

（1）依題意補全圖形，并求NEOC的大小（用含夕的式子表示）;

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(2)在。。上取點G,使OG=4O,連接EG.用等式表示線段EG,4月與。尸的數(shù)量關系，并證明.

4.(2025北京朝陽初三一模)在止方形力品。中，E為4)邊上一點(不與點力，。重合)，將線段。8沿直

線CE翻折，得到線段。/，連接FD并延長，與線段CE的延長線相交于點G,連接/G.

(1)依題意補全圖形；

(2)求/CG/的度數(shù)；

(3)用等式表示線段力G與。尸的數(shù)量關系，并證明.

5.(2025北京房山初三一模)如圖，在ZU8C中，/84C=90。，AB=AC,。是48邊上一點.E為8c的

中點.將線段DC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到力尸，連接/尸.

⑴依題意補全圖形；

(2)若點N是力廠的中點，連接NO和NE,猜想線段NQ與NE的數(shù)量關系和位置關系，并證明.

6.(2025北京通州初三一模)以.44為斜邊在它的同側分別作RtZiZBC和Rt△力4力，其中

/。=/。=90。,力。=8。，BC、AD交于■點、E.

(1)如圖1,當4?平分/C/4時，求證：BE=6CE;

(2)如圖2,在力力上取一點尸，使得力尸=8。，連接反，過點C作。OJ_4。，分別交4)、FB于點O、

點，.

①依據(jù)題意補全圖形；

②求證：〃是心的中點.

7.(2025北京大興初三一模)已知正方形力8CZ),點￡是8c邊上一點(不與點從。重合)，將線段8E繞

點B順時針旋轉(zhuǎn)a(450<a<90°)得到線段BF，作射線AF,將射線AF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到射線AH,

過點。作。M〃8/交力產(chǎn)于點M,連接知產(chǎn).

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(1)求乙”。。的大小(用含。的式子表示)；

(2)用等式表示線段4￡，”￡。河的數(shù)量關系，并證明.

8.(2025北京初三一模)如圖，在四邊形ABCD中，乙4BD=ZADB,CB1BD于B.AF18D于F,CB=AF,

力戶的延長線交。。于E.

(1)求證：EF=；AF；

(2)過點A作G/1_L4),交BD于G,以G為圓心，EG長為半徑作弧，交/出于〃，連接〃O.

①依題意補全圖形；

②用等式表示E/與"。之間的數(shù)量關系，并證明.

9.(2025北京石景山初三一模)如圖，在八月5。中，AB=AC,2BAC=a,。是3c的中點，￡是線段8。

上的動點(不與點從。重合)，連接力E.戶是人石的中點，線段尸E繞點少逆時針旋轉(zhuǎn)。得到線段開/,連

接4”,EH.

(1)求乙4HE的大小；

(2)連接。〃，判斷。〃與力C的位置關系，并證明.

10.(2025北京平谷初三一模)已知線段AB,將線段AB繞著點3順時針旋轉(zhuǎn)。(0°<a<180°)得到線段BC,

再將線段4c繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)夕(0°<夕<180。)得到線段CQ,連接力C,點力、B、。恰好在一條直線上.

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cc

圖1圖2

(1)如圖1,求。與尸的數(shù)量關系；

3

(2)如圖2,當。二］〃時，過點A作。。的垂線交。C的延長線于點E,取4C的中點尸，連接8/，在代上

截取產(chǎn)G=/8,連接EG,依題意補全圖形；判斷線段EG與8。的數(shù)量關系，并證明.

11.(2025北京豐臺初三一模)如圖，在ZU8C中，.48=4。，N8ZC=a(00<a<90。)，河為3C延長線

上一點，過點8作射線8N_L力9O為射線8N上一點(不與點8重合)，連接40.將線段4)繞點A逆時

針旋轉(zhuǎn)。得到線段力E，連接CE.

(1)求證：/CBD=/ECM；

(2)連接CQ,作EFHCD、交射線8M于點尸.連接8E交ZC于點G,若CDLBD，用等式表示線段CG與

所的數(shù)量關系，并證明.

12.(2025北京順義初三一模)在ZU4C中，AC=BC,過點8作DBJ.4B,ZBAD=-ZCAD=a,E是

2

力8上一點，連接DE交8C于點G,4BDE=ZCAD.

(I)如圖1,用含有a的式子表示N/QE的度數(shù)；

(2)如圖2,將射線EO繞點￡順時針旋轉(zhuǎn)4a,分別交力C,AD亍點、F,〃.用等式表示線段4D與BG

之間的數(shù)量關系，并證明.

13.(2025北京密云初三一模)圻圖，在等腰直角三角形力4。中，ZJSC=90°,。是線段力。上一點

(CA>2CD),連接3。，過點C作8。的垂線，交BD延長線于點E,交%1延長線于點”.

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c

(1)依題意補全圖形；

(2)若N/CE=a,求NO8c的大小(用含a的式子表示)；

(3)若點G在線段b上，且CG=8。，連接。G,用等式表示QG,CD,之間的數(shù)量關系并證明.

14.(2025北京二中初三一模)在Rt△48C中，乙%C=90。，AB=AC,力0sBe于點。.點N分別

是48,力。上的動點，且滿足44=4V.連接8N,交4D于點、E,過點時作M/IAN,交BC于點凡

垂足為從

(1)如圖1,當力E=/N時，求證：BM=BF；

(2)如圖2,當NEw/N時，依題意補全圖形，用等式表示線段。E與4尸的數(shù)量關系，并證明.

15.(2025北京101中初三一模)在CN8c中，AB=AC,。是邊8c上一動點，連接力。，將力。繞點A逆

時針旋轉(zhuǎn)到力￡的位置，使得NO/1E+N8/1C=18(F.

⑴如圖1,當N￡4C=90。，連接站交/C于點八若BE平分/ABC,BD=2,

①則4CE=；CF=；

②求才E的長；

(2)如圖2,連接8E,取6E的中點G,連接力G,猜想4G與C7)存在的數(shù)量關系，并證明.

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參考答案

I.(1)見解析

(2)見解析

(3)BF=gAE.理由見解析

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識，熟

練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵，

(1)根據(jù)題意補全圖形即可：

(2)證明N8EQ=NO8E=45。即可得到結論：

(3)延長￡)少到點G,使連接CG,BG.證明得至lJ/￡)=4G,ACBG=ACAD.iiE

明力七。絲得到力石=CG,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結論，

【詳解】(1)解：補全圖形如圖.

(2)證明：在RtZ\48C中，NACB=90FC=BC,

：./ABC=ABAC=45°.

,/DEJ.AB,

/.ARDE=90°.

:./BED=45°.

：./BED=NDBE=45。.

/.DE=DB.

(3)BF=-AE.證明如F：

2

如圖，延長。尸到點G,使bG=D/，連接CG,BG.

???AQO是以C。為底的等腰直角三角形,

:?DF=CF,￡DFC=90°.

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:.N8G=45°.

:￡）/,'=FG,

：,CD=CG.

???NCGF=NCDF=45。.

：,Z.DCG=90°.

乙DCG=NACB

：.4CD=/BCG.

在〉CO和"CG中，

AC=BC

</ACD=NBCG

DC=GC

???“CD0BCG.

:,AD=BG,ZCBG=ZCAD.

，乙DBG=4DBC+4CBG=90°.

在△/E。和△GOB中，

DE=BD

<NADE=NGBD=9cp

DA=GB

：."ED冬GDB.

/.AE=DG

在RaGQB中，NQ8G=90。，〃為。G的中點，

BF=-DG.

2

???BF=-AE.

2

2.（1）①45。+。；@DE=CE+2EHf證明見解析；

（2）DE=2EH-CE.

【分析】（1）①連接力E，BH,利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得乙4牝=乙1￡8=90。-0,NAEC=N4CE,

再利用四邊形內(nèi)角和來求解；②過點8作交。E于易得△8MO也A8EC（SAS）,利用全等三角形

的性質(zhì)得到DW=CE,再利用對稱性來求解：

（2）利用②的方法來求解.

【詳解】（1）解：①連接/E,BH,如下圖

?；P為邊BC上一點,點8與點E關于直線/仍對稱，

:"ABE=/AEB,AB=AE,NBAP=NEAP=a,

ion?_2a

NABE=NAEB=-—―=90c-a.

2

???在AABC中，N〃/C=90°,44=/C,

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AABC=ZACB=45°,AE=AC,

：.ZAEC=^ACE.

ZABE+NBAC+ZACE+NAEB+ZAEC=360°,

90。一a+90。+90。-a+45°+/BCE+45°+/BCE=360°,

/.ZBCE=a,

NACE=NACB+NBCE=45°+a.

?DE=CE+2EH

證明：過點8作交。后于"，

I)

，:RD1BC

NO8c=90。，

;.NDBM=NCBE.

???在△ABC中，Z5JC=90°,AB=AC,

：,AACB=ZABC=45°t

/.Z.ADB-/ABD-/.ABC-ZACB-45°,

:?BD=BC,AD=AB=AE=AC,

工點。,8,E,C在以點A為圓心，.4。的長為半徑的圓上,

???/BED=/BCD=45°,

NBME=ZBEM=45。,

/.BM=BE.

在ASMO和中

BD=BC

，/DBM=ZCBE,

BM=BE

???/MD%BEC(SAS),

/.DM=CE.

丁點B與點E關于直線AP對稱，

/.BH=EH,

第8頁/共30頁

：.4HBE=/HEB=45°,

：.NBHE=90°,

BH1ME,

:.EH=MH,

DE=DM+ME=CE+2EH.

（2）DE=2EH?CE

證明：同②的方法.

【點睛】本題考查了對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓，

四邊形內(nèi)角和度數(shù)，理解相關知識，作出輔助線是解答關鍵.

3.（l）ZEDC=90°-2a

⑵AF=EG+叵CF，證明見解析

2

【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形，證明NO8W=45。-。，再證明=,即可得到結論：

（2）過點C作/于〃，連接QH,證明。〃=8。=。E.則8,E,”在以。為圓心，〃。為半徑的

圓上.得至4NHDE=2N4BE=90。.證明得到4〃=EG.求出

FH=CF-cosABFE=—CF.即可得到結論.

2

【詳解】（1）解：如圖所示：

如圖，???射線BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°得到射線BM,

：.^ABM=45°

：.￡DBM=/ABM-ZABD=45°-a.

?rAB=AC,ADJ.BC于D.

:.BD=DC.

TCEl8M于E,

，/BEC=90°.

：.ED=-BC=BD,

2

/EDC=4DBM+/DEB=2NDBM.

VNDBM=45°-ct,

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???NEOC=90°—2a.

(2)線段EG,4/和C尸的數(shù)量關系為力b=EG+匕W.

2

證明：過點。作尸于〃，連接。”，如圖所示.

，￡CHB=/CHF=9G.

?/BD=DC,

???DH=-BC=BD.

2

;由(1),BD=DE,

，DH=BD=DE.

:.B,E,〃在以。為圓心，8。為半徑的圓上.

/HDE=2/ABE=90°.

VZJDC=90°.

Z.AADC=NUDE.

/.AADC-NHDC=/HDE-ZHDC.

.??AADH=/GDE.

?：AD=GD,DH=DE,

/.^ADH義4GDE.

/.AH=EG.

VZJJ5F=45°,ZCE5=90°,

，2BFE=45°.

*/NCH尸=90。，

5

???FH=CFcosNBFE=—CF.

2

,/AF=AH+HF,

R

,AF=EG+—CF.

2

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、解直角三角形、圓周角定理直角三角形的性

質(zhì)等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定是解題的關鍵.

第10頁/共30頁

4.(1)見解析

(2)45°

(3)DF=>/2AG,證明見解析

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵.

(1)依題意補全圖形即可；

(2)設=利用正方形和翻折的性質(zhì)得到NR7G=N8CG=90。-。，CF=CB=CD,再利用等腰

三角形的性質(zhì)即可求出NCG/的度數(shù)；

(3)作彳“14G,交FG的延長線于點，，連接8G,利用正方形和翻折的性質(zhì)證明0,得

至l]/G=4",GB=HD,推出是等腰直角三角形，則有G"=VLfG，等量代換即可得出結論.

【詳解】(1)解：補全圖形如圖1所示：

圖1

(2)解：設NOCG=a.

???四邊形力8c。是正方形，

:.CB=CD,/BCD=9H

ZBCG=90°-a,

???將線段沿直線C￡翻折，得到線段3,

：.CF=CB,NFCG=NBCG=90°-a,

:.CF=CD,/FCD=NFCG—/DCG=9伊一2a

180。-/產(chǎn)CO

:.NCDF=ZF==4于+a

￡CGF=/CDF-/DCG=45°.

(3)解：DF=41AG,證明如下:

如圖2,作力〃_L4G,交廠G的延長線于點〃，連接8G.

AHLAG,

圖2

第11頁/共30頁

:"HAG=9U,

???四邊形力8CQ是正方形，

/.AB=AD,N4/1O=9()。，

AHAG+ZGAD=ABAD+ZGAD,即4MD=NG4B,

???將線段。8沿直線C￡翻折，得到線段6,

:.GB=GF,NGBC=ZF,

/ABG=90°-Z.GBC,N4DH=90°-NCDF=90°-ZF,

:.ZABG=NADH,

:A4BG@"DH(ASA),

AG=AH,GB=HD,

.?.△4G”是等腰直角三角形，GF=HD,

:.GH=42AG，

DF=GF-DG=HD-DG=HG=揚G，

DF=41AG.

5.(1)見解析

Q)DN=NE,DN工NE

【分析】本題主要考查了三角形中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，需要

通過構造輔助線，利用以上知識來證明線段N。與NE的數(shù)量關系和位置關系.

(1)根據(jù)題意作圖即可；

(2)延長力上至點。，使EQ=4E,延長產(chǎn)。至點P,使DP=FD,連接。〃，PA,CQ,CP,CF,根

據(jù)中位線定理可得。N=g4,NE=g/。，DN//PA,NE//FQ,可得△"!)、△PC。和APCE都是等

腰直角三角形，繼而得到“CQ、△4CE和AECQ都是等腰直角三角形，證明咨△R?2(SAS),可得

PA=FQ,ZAPC=NQFC,UCP=ZQCF,從而得到DN=NE,延長P4,FQ,相交于點M,證得PAtFQ,

即可得到DV_LNE.

【詳解】(1)解：如圖所示，可得DC=FD,ZCDF=90°.

/

F

(2)解：如圖所示，延長力上至點。，使延長產(chǎn)。至點P,使。。=尸0,連接。尸，PA,CQ,

CP,CF,

第12頁/共30頁

DN=-PA,NE=、FQ,

22

ADN//PA,NE//FQ,

?；DC=FD,ZCPF=90°,DP=FD,

/.DC=FD=DP且CDLFD,

A/CQ和△PC。都是等腰直角三角形，

??.?PCE是等腰直角三角形，

.1?PC=FC,ZPCF=90°,

vABAC=90°,AB=AC,E是8c的中點，

AE±BC,AE=-8C=EC,

2

???EQ=AE,

/.AE=EQ=EC,

：.tACQ.ZX/ICE和AEC。都是等腰直角三角形，

???AACQ=NACF+AFCQ=90°,4FCP=ZACF+APCA=90°,

APCA=AFCQ,

在△尸。。和中，

PC=FC

<ZPCA=Z.FCQ,

CQ=CA

/.tPCA^FCQ(SAS),

PA=FQ,ZAPC=ZQFC,ZACP=ZQCFt

?;DN=；PA,NE=;FQ，PA=FQ,

DN=NE,

延長產(chǎn)力，F(xiàn)Q,相交于點M,

在右口。中，NC4M=N4PC+NACP,

在&廣CQrfi.ZCQM=ZQFC+LQCF,

第13頁/共30頁

/.CAM=ZCQM,

在ZU0A/中，NQ4M=45U-ZC^W,AAQM=ZAOC+ZCOM=45U+ZCV；W,

???NQAM+ZAQM+NM=180°,

45°-ZCAM+45°+ZCQM+ZM=90°+ZM=l80°,

/.Z.W=90°,

PAVFQ,

?:DN〃PA,NE//FQ,

DN工NE,

線段ND與NE的數(shù)量關系是DN=NE,位置關系是DN1NE.

6.(1)見解析

⑵①見解析；②見解析

【分析】(1)過點E作EG_L力8于點G,由角平分線的性質(zhì)得到￡。=反；，由sin/C'8/二空二也得到

BE2

BE=6EG，即可證明結論；

(2)①按照題竟補全圖形：②連接b、CD.證明"C"WAACO(SAS),得到=CQ,[hFO=OD及

黑=盤得到FH=HB,即可得到結論?

ODHD

【詳解】(1)證明：如圖1,過點E作EG_L/fB于點G,

C

圖1

EC=EG,

???ZC=90,JC=5C,

：.ZCAB=ZCBA=45°f

s\nZCBA=—=—

BE2f

BE=6EG，

BE=xf2EC?

（2）①依據(jù)題意補全圖形;

第14頁/共30頁

c

ED

圖2

②讓明：如圖3,連接6、CD.

c

圖3

:.CH//BD/CAD+/ACO=90°,

NOCE=NCBD,

?.?N4C8=90。，

/./OCE+N4co=9CP,

/OCE=/CAD,

NCAD=4CBD,

在△力(?/和△8CO中

AC=BC,

?NCAD=NCBD,

AF=BD,

.-.△^CF^A5CZ)(SAS),

:.CF=CD,

CHLAD,

:.FO=OD,

?/CH//BD,

.FO=FH_

'~OD~~HB'

FH=HB,

是尸8的中點.

【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)、解直角三角形、平行線分線段成比例定理、全等三角形的判定和性

質(zhì)，熟練掌握解直角三角形和全等三角形的判定是關鍵.

7.(\)^MDC=90Q-a

⑵廣加2=4尸+DM2，見解析

【分析】題目主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，構造

第15頁/共30頁

全等三角形，作出輔助線是解題關鍵.

(1)延長MD交BA的延長線于點P,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出ZABb+ZMPA=18()。，確定ZMPA=90°-a,

再由各角之間的等量代換即可得出結果：

(2)過點4作4K力/且4K=4/，連接KM.DK,根據(jù)全等三常形的判定和性質(zhì)得出公力BFGARDK(SAS),

BF=DK,/ABF=NADK=90。+a,確定/KQM=90。，繼續(xù)利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明

△4W產(chǎn)gz^MK(SAS),結合圖形利用勾股定理即可得出結果.

【詳解】(1)解：延長交8力的延長線于點P,如圖所示：

VDM//BF,

JZABF+ZMPA=\^Q,

根據(jù)題意得：/EBF=a,

:.^ABf=900+a,

：./MR4=90°—a,

???正方形為8CQ,

???/ADC=NDAP=90。,

,NMDC+NADP=90°,NADP+/APD=90°,

???NMDC=NDPA=90°-?：

(2)過點力作且力K=/尸，連接KAKQK,如圖所示:

???/FAK=NDAB=90。,

：./DAK+ZDAF=ZDAF+NFAB=90°,

/./DAK=NFAB,

笫16頁/共30頁

VDA=AB,

：.4JZ>/C(SAS),

:.BF=DK,ZABF=ZADK=900+a,

由(1)得/4//)。=90。一0，

/KDM=360O-ZADK-/MDC=90°,

???將射線AF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到射線AH,AKA.AF,

/HAF=/IL4K=45。,

VAK=AF,AM=AM,

???四△/MK(SAS),

/.MF=MK,

在中，KM2=DK2+DM2，

FM2=BF2+DM2.

8.(1)證明見解析

(2)①見解析②EF=：HD；證明見解析

【分析】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，中位線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握

等腰三角形的判定和性質(zhì)是關鍵.

(1)根據(jù)題意竺=:，BC//EF,EF=gBC,由C3=/F,得到E尸=:47即可求解；

BD222

(2)①根據(jù)題意補全圖形即可；②延長。力到乙使/尸=4),連接尸8/G,則肝=；牝，

由(1)得EF=%P,可證△BGPMA〃GZ)(SAS),得到=即可求解.

【詳解】(1)證明：?:乙4BD=4DB,

：.AB=AD,

?：AF1BD,

:.BF=DF,

.DF1

"~BD=2f

CBLBD,AFLBD,

NC6D=Z.EFD-90c,

z.BC//EF,

EFDF[

：.EF=-BC,

2

義:CB=AF,

:.EF=-AF:

2，

第17頁/共30頁

（2）解：①依題意補全圖形，如圖:

②歷與加之間的數(shù)顯關系是*=

P

C

證明：延長。力到P,使4>=力。，連接尸8,0G,

;BF=DF,AP^AD,

AF=>BP,

2

又；由（1）得E/尸，

2

:.EF=-BP,

4

???以G為圓心，8G長為半徑作弧，交.AB于H,

;.BG=HG,

Zl=Z2,

/.Z5G/7=18O0-2Z1,

AP=AD.GA1AD,

1.GP=GD,

ZAPG=NADB,

???N/8。=乙4DB,^ABD=Z1,

?.N4PG=/4DB=Nl,

/.ZPGD=18O0-2Z1,

:./BGH=NPGD,

:.乙BGP=4HGD,

.?.△BGP主△〃GO（SAS）,

:.BP=HD,

第18頁/共30頁

:.EF=-HD.

4

9.(1)90°

(2)D/7UC,證明見解析

【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半，圓周角定理，正確

作出輔助線是解題的關鍵.

(1)利用等腰三角形的定義即可解答；

(2)連接力。，連接/。，可得點乩〃，瓦。在以點尸為圓心，以以為半徑的圓上，再連接。，并延長交4C

于點G,證明IN4)G=9(P即可解答.

【詳解】(1)解：Tb是4E的中點，線段用繞點廠逆時針旋轉(zhuǎn)。得到線段，

：.FA=FE=FH,4EFH=a,

ZAHF+AFAH=2ZAHF=ZEFH=a,NFHE=儂?,

ZAHF=-,

2

HE=N4HF+NFHE=4怖"/90；

22

(2)解：DHLAC,理由如下：

如圖，連接力O，連接五。，

：AB=ACt。是8C的中點，

AD1BC,

,??尸是4E的中點,

;.FD=FA=FE=FH,

.??點4H，E,D在以點尸為圓心，以出為半徑的圓上，如圖，連接力，并延長交于點G,

,:FE=FH,NEFH=a,

180°-a

，F(xiàn)EH=

180°-a

ZADH=Z.AEH=

~2~

v￡BAC=a,AB=AC,。是AC的中點,

/.ZDAC=-ZBAC=-

221

第19頁/共30頁

180°-a

;./D4C+NADG=(

~2~9y,

..ZGO=90°,

DGLAC,即QH14C.

1().(1)6Z=9O°-1/?

（2）圖見解析，EG=gBD.理由見解析

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得。8=。，4BCD=B，再利用等邊對等角求得NC3O=9（）。-；/7,再根據(jù)

N4BC+/C8O=180。，列式計算即可求解；

（2）先求得。=135。，”9（）。,再證明力C是/￡4。的平分線，再證明是等腰直角三角形，設

61

FG=FB=a,求得GN=CN=±^，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求得EG=EC,據(jù)此求得EGyBD.

22

【詳解】（1）解：:將線段48繞著點8順時針旋轉(zhuǎn)。（0。＜。＜180。）得到線段8C,

AB=BC,ZABC=a,

???將線段8c繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)夕（0。＜夕〈180。）得到線段。，

:?CB=CD,4BCD=p,

???NC8O=；（180。一夕）=90。—

'：N4BC+NCBD=180°,

???a=90。-%

(2)解：EG=—BD.理由如F：

2

如圖，

???a=135。，夕=90。,

*/AB=BC,

:.Z.CAB=NBCA=1(180°-l35°)=22.5°,

?:CB=CD,

第20頁/共30頁

:.ACBD=/D=；(180P—9(F)=45°,

作CH上BD于點H,

，點〃為4。的中點，

:.CH=>BD,

2

???AFVDE,

是等腰直角三角形，

/.Z￡JP=45°,

:.WEAC=45°-NCAB=22.5°=ZCAB,即4C是ZEAD的平分線,

VAF1DE,CH1BD,

:,CE=CH,即CE=，8。，

2

連接￡7L作EN_L4C于點N,

???點尸是力。的中點，ZJ￡C=90°,

/.AF=CF=EF,

:.Z.FAE=NFEA=22.5°,

:.￡EFN=NFAE+AFEA=45°,

???△E/W是等腰直角三角形，

:?CF=EF=6FN，

設FG=FB=a,

:?BG=?，NFGB=NFBG=45°,

??.￡GBC=45°-Z.GCB=22.5°,

CG=BG=\[2a，

?**CF=a+\[la，

:.42FN=a+42a，

??FN=---a+a，

2

:.CF=41冬+“…衣」，

GN=FN-FG=—a，CN=CF-FN=-a，

22

：，GN=CN=—a.

2

?:ENICG,

/.EG=EC,

第21頁/共30頁

Z.EG=-BD.

2

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理.正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵.

II.(1)見解析

(2)CG=1EF,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得=ZDAE=a,證明絲”CE(SAS),求得乙1BD=4CE,

再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明=；

(2)先求得NEFH=ZABC,作班//AC交BM于點、H,證明△BOCZACfH,BC=CH,再證明CG是

△BE"的中位線，據(jù)此即可得到CG='a\

2

【詳解】(1)證明：???將線段/。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)。得到線段/E,

AD=AE,Z.DAE-a,

,:￡BAC=a,

：./BAD=ZCAE,

'：ABAC.

...AABD^ACE(SAS),

，/ABD=NACE,

VBNLAB,

:?NABD=9。。,

工人ABC+乙CBD=9。。，ZACE=9Q0,

:.Z4C8+NEGH=90。，

'：AB=ACt

，NABC=ZACB,

???/CBD=NECM；

(2)解：CG=gEF,理由如下，

2

,:CDA.BD,BD1AB,

??.AB//CD,

,?EF//CD,

:.EF//AB,

2EFH=乙4BC,

作胡〃AC交BM于點、H,

第22頁/共30頁

/.Z.ACB=ZEHF,

:.Z.EF1I-2EIIF,

:.EF=EH,

A/IBDgAACE,/CBD=ZECH,

ABD=CE,ZBDC=^ACE,

???EH〃AC,

:.AACE=NCEH,

/.￡BDC=4CEH,

???△8QC%CEH(ASA),

???BC=CH,

，:EI!//AC,

.BGBC,

??~=1,

GECH

：.BG=GE,

???CG是△BE”的中位線，

:.CG=-EH,

2

CG=-EF.

2

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵.

12.(1)90°-3?；

(2)AD-AF+2BG,證明見解析.

【分析】(1)先得出//8。=90。，結合/8力。=工/。。=a,ZBDE=ZCAD,故NCAD=NBDE=2a,

2

再整理得/力。￡的度數(shù)，

(2)延長此交。8的延長線于點P,取4/的中點/連接87,過點B作BQ上DE于點、°,作8N_L尸E于

點N.結合BDJ.AB,得證區(qū)/是△PQ”的中位線，BE平分NDEP.由角平分線的性質(zhì)得8。=8N,

/BQG=/BNJ=90°,運用三角形內(nèi)角和得出/47/=90。—々=4"http://，再根據(jù)等角對等邊，則力￡=力〃，

然后證明△AQGs4ANJ,故BG=BJ,即可作答.

第23頁/共30頁

【詳解】(1)解：，

???//8。=90。.

???NB4D=L/C4D=a,

2

/.Z.ADB=90°-NBAD=90°-a.

:CBDE=ACAD,

，ACAD=NBDE=la,

AADE=NADB-NBDE=90°-3a.

(2)證明：延長FE交DB的延長線于點P,取PH的中點J，連接BJ,這點8作3。J_DE于點Q,作BN_LPE

于點N.

?:￡FED=4a,ZBDE=2a,

：.N尸=NFED-4BDE=2a,

：.DE=PE.

又?:BD1AB,

：.HD=BP,/DEB=NPEB.

:.BJ是4PDH的中位線，BE平分/DEP.

：.BJ=-DH,BJ//DH.

2

???￡BJP=/DHE.

■:BE平分NDEP,BQLDE,BN1PE,

:,BQ=BN,NBQG=/BNJ=90。.

在二DEH中，^DHE=180°-ZADE-ZFED=180°-(90°-3a)-4?=90°-a.

/./AHF=/B.JP=/DHE=90°—a.

在2AHF中，N4FH=180°-ND.4F-乙4HF=180°-(90°-a)-2a=90°-a=ZJHF.

:.AF=AH.

VAC=BC,

，2ABC=3a,

：.ND8c=90。-3a.

???土EGB-NBDE+NDBC=2a+90°-3a=90°-a.

第24頁/共30頁

在^BQG與xBNJ中,

/EGB=NBJP=9G-a

-NBQG=NBNJ

BQ=BN

???匕BQG34BNJ.

，BG=BJ.

：.AD=AH+DH=AF+2BJ=AF+2BG.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)，中位線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性

質(zhì)，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵.

13.(1)圖見解析

(2)45。-a

(3)AB=y[2CD+DG?理由見解析

【分析】本題是三角形的綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識,

構造出等腰直角三角形和全等三角形是解本題的關鍵：

(1)根據(jù)題意畫出圖形解答即可：

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進行解答即可；

(3)如圖2,連接8G交“。于點延長GO交8c于點，，證明△力5。&△BCG(SAS),得出OM=GM,

可得AOMG,AGHB、△8"是等腰直角三角形，即可解答.

【詳解】(1)解：補全圖形，如圖1,

(2)解：?;AB=EC,48c=90°,

NBAC=NBCA=45°,

/ACE=a,

?/CF1BD,

NBEF=9M,

Z.BCE+ZDBC=9(T,

90P-450-a=45"a：

(3)解：AB=ECD+DG，理由如下：

如圖2,連接8G交4c于點M,延長GO交4c于點，,

第25頁/共30頁

H

/八\；NABC=NBEC=90P,

/、、\\

FAB

M2

.?.NABD+ZCBE=NCBE+NECB,

:.￡ABD=乙ECB,

???AB=BCtBD=CG,

.?.△48。空△8CG(SAS),

ZCBG=ABAD=4乎，AD=BG,

ZABG=ZCBG=ZBAC=49,

AM=BM,N4W4=9O°,

?/AD=BG,

AD-AM=BG-BM,即DM=GM,

/MGD=NGDM=49,

NBHG=90°,

DH1BC,

：ACDH、△GH8、△DWG是等腰直角三角形，

/.CH=DH,BH=GH,DM=GM,

設C〃=a,DM=b,

：.CD=E，DG=&b，

:.AB=BC=CH+BH=CH+GH=2CH+DG=2a+M)，

:.AB=y/2CD+DG.

14.(1)證明見解析

Q)BF=2DE,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明/4C8=//18C=N歷1D=/C4O=45。，結合AE=AN,可得

/AEN=Z1ANE=1(180。-45。)=67.5。，再進一步的分別求解/BMF,Z1BFM即可得到結論；

(2)如圖，連接CE,ME,證明△力EMgZVIEN,BM=CN,可得EM=EN,NAME=/ANE,證明

/BEM=ZCEN,可得C,E,M三點共線，延長EM至K,使CE=EK,而BD=CD,4DJ.BC,可得ED〃BK,

BK=2DE,BK1BC,再證明可得BK=BF,從而可得答案.

【詳解】(1)證明：VZ^JC=90°,AB=AC,AD1BC,

：.Z.ACB=NABC=/BAD=Z.CAD=45°,BD=CD=AD,

VAE=AN,

第26頁/共30頁

:.2AEN=/ANE=y(180°-45°)=67.5°,

/.CBED=ZAEN=67.5°,

,:BNIMF,ADIBC,

:?/EHF=/EDF=90°,

：.LHFD=360°-90°-90°-67.5°=112.5°,

ANBFM=180°-ll2.5°=67.5°,

:.￡BMF=180°-45°-67.5°=67.5°,

；?CBMF=Z1BFM,

???BM=BF；

(2)解：BF=IDE,理由如下：

如圖，連接CE,ME,

VAM=AN,/MAE=/NAE=4',AE=AE,AB=AC,

:?△AEMW/\AEN,BM=CN,

:?EM=EN,NAME=N4NE,

VAD1BC,BD=CD,

:?EB=EC,

:.△BME/4CNE,

:.CBEM=4CEN,

???C,E,M三點共線，

延長EM至K,使CE=EK,而4。=。。，ADIBC.

ED//BK,BK=IDE,BKIBC,

?:ZJBC=45。，

:./MBK=45°=/MBF,

?：MF±BN,NA4C=90°,

:./MHN=90°=NMAN,

:.￡BMH+ZAMH=180°=4AMH+4AN