《空間解析幾何》課件 第三章 曲面與空間曲線

第三章

曲面與空間曲線§3.1柱面坐標和球面坐標§3.3柱面§3.2曲面與空間曲線方程§3.4錐面§3.7直紋面§3.5旋轉曲面§3.6特殊二次曲面本章所取坐標系均為直角坐標系

§3.1柱面坐標和球面坐標一、柱面坐標二、球面坐標稱有序數組r、θ、z為P的柱面坐標.

設點P坐標為(x,y,z)，則其定位向量

坐標為{x,y,z}.

點

是P在xOy面上的投影點，其在xOy面上的極坐標為r、θ.一、柱面坐標柱面坐標與點的對應關系稱為柱面坐標系.柱面坐標與直角坐標的關系是其中我們稱上述圓柱面、半平面、平面為柱面坐標系的坐標面.圓柱面；半平面；平面．ρ：點P到原點O的距離，θ：方位角，P在xOy面上的投影點

的極角.φ：仰角，

與z軸正向的夾角，有序數組ρ、φ

、θ為點P的球面坐標.球面坐標與點的對應關系稱為球面坐標系.二、球面坐標球面坐標與直角坐標的關系是我們稱上述球面、圓錐面、半平面為球面坐標系的坐標面.球面；圓錐面；半平面．其中例1

把直角坐標系下的平面方程x+y+z+1=0分別化成柱面坐標系和球面坐標系下的方程.

解

將直角坐標與柱面坐標的關系代入平面方程得

即

將直角坐標與球面坐標的關系代入平面方程得即

§3.2曲面和空間曲線方程一、曲面方程三、空間曲線的一般方程二、曲面的參數方程四、空間曲線的參數方程單位球面：半徑為1的球面.球面方程：

在直角坐標系下，設球心

，半徑為r,稱之為球面的標準方程.一、曲面方程則空間任意點P(x,y,z)在球面上當且僅當其滿足其中

且將球面的標準方程展開可得(2)可改寫成即稱滿足以上不等式的(3)為球面的一般方程.特點：(1)是關于x、y、z的三元二次方程;(2)二次項中

的系數都等于1且不含關于x、y、z的交叉項xy、yz、xz.

定義3.2.1

在直角坐標系中，如果一張曲面S與一個三元方程F(x,y,z)=0滿足如下關系：(1)曲面S上任何一點都滿足F(x,y,z)=0；(2)滿足F(x,y,z)=0的點都在曲面S上.則稱F(x,y,z)=0為S的方程，且稱S為F(x,y,z)=0表示的圖形.注1：曲面S的方程F(x,y,z)=0有時候也寫成z=f(x,y),此時z是關于x,y的二元函數，即說明二元函數對應的幾何圖形就是一張曲面.注2：定義中的(1)、(2)缺一不可.例1

在空間直角坐標系下，點A和點B坐標分別為(1,2,3)、(2,-1,4)，求到它們距離相等的點構成的曲面方程.解

設空間任意點的坐標為(x,y,z)，其在所求曲面上當且僅當即曲面方程為2x-6y+2z-7=0.二、曲面的參數方程且

所以以原點為球心的單位球面上的點滿足原點為球心的單位球面的參數方程點的直角坐標與球面坐標的關系且

所以以原點為球心的單位球面上的點滿足滿足(3)的點也滿足x2+y2+z2=1,即他們在原點為球心的單位球面上.稱式(3)為該球面的參數方程.

球面的參數方程含有兩個參數.一般地，刻畫一個三元方程F(x,y,z)=0，需要兩個參數.

定義3.2.2

在直角坐標系中，當參數

取完一切可能取值時，以滿足下面方程的點與曲面S上的點一一對應，則稱上述方程為曲面S的參數方程.注:

曲面的參數方程不唯一，如下面例子.例：直角坐標系下的方程以下均為其參數方程(2)(1)稱為空間曲線的一般方程.三、空間曲線的一般方程

以下聯立兩個曲面方程的方程組注：空間曲線的一般方程并不唯一.例2在直角坐標系下，求xOy面上圓點為圓心，半徑為1的圓的方程.解

所求的圓在以原點為球心的單位圓上，又在xOy面上，因此圓的方程為上述方程組與等價.所以上面方程組也可以作為所求圓的方程.四、空間曲線的參數方程例2中圓的一般方程為

球面

的參數方程為與z=0聯立，可得例2中曲線上點的坐標均為θ的一元函數.將其化為參數方程：

定義3.2.3

在直角坐標系中，當參數t取完一切可能取值時，滿足以下方程的點與曲線L上的點一一對應，則稱上式為曲線L的參數方程.

經過t時間，運動到M點.例2

設某動點一方面繞著z軸做恒定角速度的圓周運動，另一方面做平行于z軸的勻速直線運動，求該動點的軌跡方程.解

取時間t為參數，動點從A點出發，

經過t時間，運動到M點.例2

設某動點一方面繞著z軸做恒定角速度的圓周運動，另一方面做平行于z軸的勻速直線運動，求該動點的軌跡方程.解

取時間t為參數，動點從A點出發，

稱其為圓柱螺旋線.記

，則以上參數方程可化為其中.

進一步，消去參數可以得到圓柱螺旋線的一般方程稱其為圓柱螺旋線.二、柱面的方程

§3.3柱面

一、柱面的概念三、特殊的柱面四、空間曲線的射影柱面

給定空間兩平行直線l1和l2，把l2繞著l1旋轉一周形成的曲面叫作圓柱面，其中l1稱為對稱軸.說明：圓柱面也可以看成是由l2沿著緯圓平行于對稱軸l1移動形成.緯圓：l2上任意點繞對稱軸旋轉得到的圓.圓柱面

定義3.3.1

給定空間直線l和曲線C，把l沿著C平行移動形成的曲面叫作柱面，其中l稱為柱面的母線，C稱為柱面的準線.一、柱面的概念母線準線注1：柱面的母線不唯一，所有與母線平行的直線都可以作為母線.注2：準線也不唯一，與柱面的母線都相交的任意曲線都可以作為準線.注3：當準線和母線的方向給定，柱面就是確定的.設

和準線C的交點為

，從而

在空間直角坐標系下，設柱面S的母線l的方向向量的坐標為{m,n,p}，準線C的方程為二、柱面的方程設P(x,y,z)為空間上任意一點，則CP在S的某條母線

上母線

與準線C的交點的坐標是(x(u),y(u),z(u)).

設柱面的準線C的參數方程從而可得柱面的參數方程為例1

在空間直角坐標下，柱面的母線的方向向量的坐標為{-1,0,1}，柱面的準線的方程為,求柱面的方程.解

任取柱面上一點P(x,y,z)，其所在母線與準線交點為

，則，代入得消去參數t，并化簡得所求柱面方程:于是如果知道圓柱面上得點到對稱軸的距離為r，則

圓柱面方程

設圓柱面的對稱軸l的方程為,有

為l上定點，

為l方向向量.在圓柱上例2在空間直角坐標系下，圓柱面的對稱軸l的方程是

緯圓半徑是2，求其方程.解

由條件知，對稱軸的方向向量

，且經過原點O.任取圓柱面上點P(x,y,z)得直接計算有再由(1)式有滿足式(2)的點在xOy面上的投影點在C上.于是滿足(2)的點在S上.

考慮空間直角坐標系下的方程圓柱面S上的點均滿足式(2).

設xOy面上以原點為圓心的單位圓為C，以C為準線平行于z軸的方向作為母線方向，得圓柱面S.zxyo表示的圖形.三、特殊的柱面

類似地，方程

在空間分別表示的圖形是分別稱為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面，母線平行于z軸.

他們的準線方程如下所示zxyzxyOzxyo

定理3.3.1

在空間直角坐標系下，如果關于x、y、z的三元方程只含其中兩個坐標，則該方程表示柱面，且母線平行于缺失坐標同名的坐標軸.

設空間曲線L的一般方程為消去z得只含x、y的方程四、空間曲線的射影柱面式(4)表示母線平行于z軸的柱面,也就是說該柱面垂直于xOy面，稱其為L對xOy面的投影柱面.稱為L在xOy面上的投影曲線，簡稱投影.投影柱面與xOy面的交線

同理可得L在xOz面或yOz面上的投影柱面和投影.例3

在空間直角坐標系下，空間曲線L的方程是分別求其對三個坐標面的投影.解

對曲線方程分別消去x、y、z得因此L在xOy面、yOz面、xOz面上的投影分別是§3.4錐面

一、錐面的概念

二、錐面的方程

三、齊次函數

設l?和l?是空間兩條相交但不垂直的直線，l?繞l?旋轉一周形成的曲面叫作圓錐面,

l?叫作對稱軸，l?叫作母線.母線對稱軸頂點

l?與l?的交點叫作頂點；它們之間的夾角叫做半頂角.

l?上任意點繞著對稱軸旋轉得到的圓叫做緯圓.說明：圓錐面也可以看作是通過頂點且與某一定緯圓相交的直線族形成的曲面.圓錐面

頂點P準線母線說明：錐面的準線、母線不惟一。

定義3.4.1

給定空間曲線C和曲線外一點P,則把通過P且與C相交的直線族形成的曲面叫作錐面.頂點：點P.準線：曲線C.母線：過P且與C相交的任一直線稱為錐面的.一、錐面的概念

設

和準線C的交點為

，于是P在S的某條母線

上.

在空間直角坐標系下，設錐面S的頂點A的坐標為(a,b,c)，準線C的方程為

設空間任意點P的坐標是(x,y,z)，則二、錐面的方程

例1

在空間直角坐標系下，設頂點A(4,0,-3),準線C的方程為求錐面S的方程.解

設空間點P(x,y,z)，則P在S上當且僅當

消去x、y、z得圓錐面方程特點：任一母線與對稱軸的夾角都等于半頂角.

設

為圓錐面的頂點，

是軸的方向向量，則M(x,y,z)在圓錐面上解

由條件知，對稱軸方向向量

的坐標為{2,2,-1}.點P(x,y,z)在錐面上當且僅當向量

與

的夾角等于30o或150o.例2在空間直角坐標系下，設頂點A(1,2,3)，對稱軸與平面2x+2y-z+1=0垂直，半頂角為30o,求圓錐方程.即圓錐方程為從而

定義3.4.2

設k、t是實數，如果三元函數f(x,y,z)滿足則稱f(x,y,z)為k次齊次函數，方程f(x,y,z)=0為k次齊次方程.三、齊次函數

證

設O為坐標原點,非原點P坐標為,f(x,y,z)=0為k次齊次方程.

則將過O和P的直線的參數方程如果P的坐標滿足

定理3.4.1

在空間直角坐標系下，三元k次齊次方程表示頂點在原點的錐面，其中k≠0.代入f(x,y,z)=0得

于是，以原點為頂點，過O和P的直線為母線的錐面S上的點均滿足齊次方程f(x,y,z)=0.說明:

當齊次方程f(x,y,z)=0只表示一個原點,稱其為具有實頂點的虛錐面.如

反之，顯然滿足方程f(x,y,z)=0的點也在錐面S上.

定理3.4.1

在空間直角坐標系下，三元k次齊次方程表示頂點在原點的錐面，其中k≠0.證

一、旋轉曲面的概念二、旋轉曲面的方程§3.5旋轉曲面

三、特殊的旋轉曲面一、旋轉曲面的概念

定義3.5.1一條空間曲線

繞著定直線l旋轉一周所生成的曲面S稱為旋轉曲面.

l一、旋轉曲面的概念

定義3.5.1一條空間曲線

繞著定直線l旋轉一周所生成的曲面S稱為旋轉曲面.

Sll稱為旋轉曲面的旋轉軸.

稱為旋轉曲面的母線.

緯圓SlM經線說明1:

旋轉曲面可以看成是由所有緯圓構成.

經過旋轉軸且以旋轉軸為邊界的半平面與旋轉曲面的交線稱為經線.說明2：任一經線都可以作為母線，但母線不一定是經線.

母線上一點繞旋轉軸旋轉一周的圓稱為緯圓.點P(x,y,z)在旋轉曲面S上設旋轉曲面的母線

，設緯圓與母線的交點為

，

l旋轉軸為直線l:二、旋轉曲面的方程緯圓從而

例1

在空間直角坐標系下，求直線繞直線旋轉所得的旋轉曲面的方程解

設P1(x1,y1,z1)為母線l1上任意一點，則過點P1的緯圓方程為且有則代入上式消去t得

即與母線的交點是

,則y軸方向向量

且經過原點，如果在S上任取一點的坐標是(x,y,z)

，坐標面上的曲線繞該坐標面上的某坐標軸旋轉.三、特殊的旋轉曲面Γ

給定yOz面上曲線

繞y軸旋轉得曲面S其所在緯圓

只需將曲線Γ一般方程中的那個二元方程里的與旋轉軸同名的坐標保留，然后用其余兩坐標平方和的正負平方根代替方程中的另一個坐標.規律：如：xOz面上的曲線

繞x軸旋轉得到旋轉曲面方程是

對于橢圓1.繞x軸旋轉的旋轉，則曲面的方程為:上述統稱為旋轉橢球面.2.繞y軸旋轉的旋轉，則曲面的方程為:單葉旋轉雙曲面雙葉旋轉雙曲面yzoxb

對于雙曲線2.繞y軸旋轉,1.繞z軸旋轉,則曲面的方程為：則曲面的方程為：旋轉拋物面xyzoxyzo

對于拋物線繞z軸旋轉,所得旋轉曲面的方程為：例1

在空間直角坐標系下，求xOz面上的圓解

繞z軸旋轉,zyOxab即環面繞z軸旋轉所得的曲面方程.所得的曲面方程為§3.6特殊二次曲面

二、橢球面

三、單葉雙曲面

四、雙葉雙曲面

一、二次曲面的概念

五、橢圓拋物面

六、雙曲拋物面

在空間直角坐標系下，三元二次方程的一般形式為一、二次曲面的概念

其中二次項系數不全為零，他表示的圖形稱為二次曲面.

定義3.6.1

在空間直角坐標系下，方程表示的曲面稱為橢球面，方程(6.1)稱為橢球面的標準方程，其中a、b、c均為大于零的常數.

當a、b、c中有2個相等時，表示的是旋轉橢球面.二、橢球面

當a、b、c相等時表示的是以原點為球心，a為半徑的球面.

關于坐標面、坐標軸、原點均對稱，它們稱為主平面、主軸和中心.(1)對稱性：不妨設a>b>c，(2)頂點和范圍:坐標軸上兩頂點構成的線段分別稱為長軸、中軸、短軸.o-b-aacb-c平行截線法：

考慮三個坐標面x=0，y=0，z=0與橢球面的交線，這些都是橢圓，統稱為主橢圓.他們的方程分別為

選取平行于xOy面的平面族,它們與橢球面的截線方程為(0,0,c)，(0,0,-c).

當|h|=c時，此時x=y=0,于是相截于一個點.

當|h|<c時，截線均為橢圓，和

他們頂點坐標為

他們分別在主橢圓(1)(2)上.平行截線法演示(用z=h切割橢球面)(1)主橢圓xyzO(2)無圖形(3)(0,0,c)(0,0,-c)兩個點(4)橢圓(端點在主橢圓上)平行截線法：用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo橢球面結論：一個橢圓進行平行移動，保持所在的平面與xoy面平行，且頂點在兩個主橢圓上滑動，那么動橢圓的軌跡就是一個橢球面.和坐標為

的點P，求橢球面方程.例1

在空間直角坐標系下，橢球面的對稱軸與坐標軸重合且經過橢圓解

由已知條件可設橢球面方程為

將點P的坐標代入以上方程得

因此橢球面方程三、單葉雙曲面

定義3.6.2

在空間直角坐標系下，方程表示的曲面稱為單葉雙曲面，方程(6.2)稱為單葉雙曲面的標準方程，其中a、b、c均為大于零的常數.

當a=b時，式(6.2)表示旋轉單葉雙曲面.

關于坐標面、坐標軸和原點對稱(2)頂點和范圍：和z軸無交點，和x軸、

y軸的交點坐標分別為

，這些交點叫作單葉雙曲面的頂點.(1)對稱性：(a、b、c均為正數)因此單葉雙曲面分布在橢圓柱面

及其外部.平行截線法

yx

zO(2)

用y=0

截曲面(3)

用x=0

截曲面(1)

用z=0

截曲面I用坐標面截割主雙曲線主雙曲線腰橢圓(1)z=h截曲面

這些截線都是橢圓，和頂點坐標為他們對應在截線(2)和(3)上，

yx

zO結論：單葉雙曲面可看作由橢圓的變動(大小和位置都發生改變)而產生，在變動的過程中，保持與xoy面平行，且兩對頂點分別在兩主雙曲線上滑動.II用平行坐標面的平面截割(2)用y=h截曲面①當時，截線為雙曲線.II用平行于坐標面的平面截割y=h

yx

zo②當時，截線也為雙曲線.(2)用y=h截曲面II用平行于坐標面的平面截割②當時，截線也為雙曲線.(2)用y=h截曲面II用平行于坐標面的平面截割y=h

yx

zo③當時，方程變為截線為兩相交直線，交點是(0,b,0).(2)用y=h截曲面II用平行于坐標面的平面截割③當時，方程變為截線為兩相交直線，交點是(0,b,0).(2)用y=h截曲面II用平行于坐標面的平面截割②當時，①當時，③當時，單葉雙曲面用y=h截曲面

以下方程表示的圖象也稱為單葉雙曲面.和試求平行于xOz面的平面方程，使該平面與單葉雙曲面的交線是一對相交直線.例2

在空間直角坐標系下，已知單葉雙曲面方程為解

設所求平面方程是方程為

，則其與單葉雙曲面的截線方程為

可見當且僅當

時，交線才是一對相交直線.因此

所求平面方程為四、雙葉雙曲面

定義3.6.3

在空間直角坐標系下，方程表示的曲面稱為雙葉雙曲面,方程(6.3)稱為雙葉雙曲面的標準方程，其中a、b、c均為大于零的常數.

當a=c，式(6.3)表示一個旋轉雙葉雙曲面.

雙葉雙曲面的圖形分布在z≥c和z≤-c的那側.(1)對稱性:

關于坐標面、坐標軸和原點對稱.(a、b、c均為正數)(2)頂點和范圍:雙葉雙曲面只與z軸有交點且坐標為

稱為頂點.即圖形有兩葉平行截線法I用坐標面截割②用y=0

截曲面③用x=0截曲面①用z=0

截曲面無交點主雙曲線主雙曲線xy

zo①當時,②當時,交點坐標截線為橢圓（1）用

截曲面②當時,結論：雙葉雙曲面可看作由一個橢圓的變動（大小位置都發生改變）而產生，在變動過程中，保持與xoy面平行，且兩軸的端點分別在兩主雙曲線上滑動.yx

zoII用平行于坐標面的平面截割頂點

在截線(2)和(3)上.和（2）用y=t截曲面，截線為雙曲線yx

zoII用平行于坐標面的平面截割yx

zo（2）用x=t截曲面，截線為雙曲線II用平行于坐標面的平面截割所表示的圖象也稱為雙葉雙曲面.

以下方程和

橢球面和雙曲面的標準方程可以統一寫成其中A、B、C均為非零常數.①當A、B、C均大于零時，方程表示橢球面.②當A、B、C中只有一個大于零時，方程表示雙葉雙曲面.③當A、B、C中只有兩個大于零時，方程表示單葉雙曲面.④當A、B、C均不大于零時，方程表示虛曲面.試求當

取異于A、B、C的各種數值時，它表示怎樣的曲面.例3

在空間直角坐標系下，給定方程解

實數集被A、B、C分成四個部分,如圖所示①當

此時

均小于零，方程表示虛曲面.①②③④②當

此時

而

均小于零，方程表示雙葉雙曲面.CBA試求當

取異于A、B、C的各種數值時，它表示怎樣的曲面.例3

在空間直角坐標系下，給定方程解

實數集被A、B、C分成四個部分,如圖所示①②③④CBA④當

此時

均大于零，方程表示橢球面.

③當

此時

而

均大于零，方程表示單葉雙曲面.

定義3.6.3

在直角坐標系下,方程表示的曲面稱為橢圓拋物面，方程(6.4)稱為橢圓拋物面的標準方程，其中a、b均為大于零的常數.

當a=b，式(6.4)表示一個旋轉拋物面.五、橢圓拋物面

(1)對稱性：只關于xOz面、yOz面和z軸對稱.(a、b均為正數)(2)頂點和范圍：橢圓拋物面分布在z≥0的那側.頂點：原點.②用y=0截曲面③用x=0

截曲面①用z=0截曲面I用坐標面截割平行截線法Cx＝0Cy＝0兩條主拋物線具有相同的頂點、對稱軸和開口方向主拋物線主拋物線xzyOxzyO①用z=h(h>0)截曲面結論：橢圓拋物面可看作由橢圓變動(大小位置都發生改變)而產生的，在變動過程中，保持與xOy面平行，且兩對頂點分別在兩主拋物線上滑動.II用平行于坐標面的平面截割分別在主拋物線②和③上頂點和xzyO②用y=k截曲面結論：取兩個這樣的拋物線，它們所在的平面互相垂直，頂點和軸重合，且開口方向相同，讓其中一條平行于其所在的平面，頂點在另一條上滑動，那么動拋物線的軌跡就是一個橢圓拋物面.II用平行于坐標面的平面截割頂點在主拋物線③上.

以下方程所表示的圖象也稱為橢圓拋物面.

定義3.6.3

在空間直角坐標系下，方程表示的曲面稱為雙曲拋物面(馬鞍面)，式(6.5)稱為雙曲拋物面的標準方程，其中a、b為大于零的常數.(1)對稱性：只關于xOz面、yOz面和z軸對稱.六、雙曲拋物面

(2)頂點(鞍點)：雙曲拋物面與坐標軸的交點為原點，稱為頂點(鞍點).Oxzy②用y=0

截割曲面，得③用x=0

截割曲面，得①用z=0

截割曲面，得I用坐標面截割曲面平行截割法Cy＝0Cx＝0兩條主拋物線具有相同的頂點、對稱軸，但開口方向相反.-Oxzy①用平面z=h截割曲面，得II用平行于坐標面的平面截割曲面當h<0

時，實軸平行于y軸.當h>0

時，實軸平行于x軸.Cz＝hCz＝h在主拋物線②上.頂點在主拋物線③上.頂點Oxzy②用平面y=t截曲面，得Cy＝tII用平行于坐標面的平面截割曲面頂點在主拋物線③上.Oxzy結論：如果取兩條拋物線，它們所在平面相互垂直，有公共的頂點與軸，開口相反，讓其中一條平行于自己所在的平面平行，且使頂點在另一條上滑動，那么動拋物線的軌跡便是雙曲拋物面。

最后，橢圓拋物面和雙曲拋物面的標準方程可以統一寫成所表示的圖形也稱為雙曲拋物面.

以下方程

①當A、B同號時，方程表示橢圓拋物面;

②當A、B異號時，方程表示雙曲拋物面.其中A、B均為非零的常數.試求當

取異于A、B的各種數值時，表示怎樣的曲面.例4

在空間直角坐標系下，給定方程解

實數集被A、B分成三個部分①②③②當

此時

方程表示雙曲拋物面.

①當

此時

均小于零，方程表示橢圓拋物面.

BA③當

此時

均大于零，方程表示橢圓拋物面.

試求當

取異于A、B的各種數值時，表示怎樣的曲面.例4

在空間直角坐標系下，給定方程解

實數集被A、B分成三個部分①②③BA§3.7直紋面

一、直紋面的概念

二、單葉雙曲面三、雙曲拋物面單葉雙曲面馬鞍面大家相信他們是直線生成的嗎？

封閉在一個長方體內部，不存在直線,不是指紋面.

在空間中,我們把由一族直線形成的曲面叫作直紋曲面，簡稱直紋面，這族直線叫作直紋面的一族直母線.

橢球面:一、直紋面的概念

柱面和錐面都是直紋面.(1)直線穿越xOy面，有一段不在曲面上;

雙葉雙曲面：

橢圓拋物面：xyzoxyzo(2)直線平行于xOy面，那么其會落在平行于xOy面的平面上，這樣的平面與雙葉雙曲面的交線為橢圓.不是直紋面.同上，也不是直紋面.

接下來討論單葉雙曲面和雙曲拋物面!單葉雙曲面馬鞍面

設有單葉雙曲面S，其方程為其中x、y、z均為大于零的數，將式(1)改寫成從而有二、單葉雙曲面(直母線)

引入不全為零的實數u、v,令下述比例等于

上述方程組表示一族直線，記為.于是有于是有(2)證明曲面S上任意一點都會落在直線族

中的某條直線上.(1)證明直線族

均在S上;

定理3.7.1

單葉雙曲面S是直紋面，

為其一族直母線.證

從兩方面證明：

定理3.7.1

單葉雙曲面S是直紋面，

為其一族直母線.證

(1)直線族

上的點都在S上.消去u、v

如果實數u、v均不為零，將直線族

的方程

這就證明了直線族

上的點都在S上.上式即曲面S的方程.

如果實數u、v中有一個為零，不妨設u=0，由直線族

的方程，易得曲面S的方程也成立

任取S上一點P，設坐標為

證

(2)S上任意一點必定在

中的某一條直線上.因為

和

不可能同時為零,則有記設

定理3.7.1

單葉雙曲面S是直紋面，

為其一族直母線.

定理3.7.1

單葉雙曲面S是直紋面,為其一族直母線.證

于是其中

是不全為零的實數將式(6)代入式(5)得

定理3.7.1

單葉雙曲面S是直紋面,為其一族直母線.證

因此P的坐標滿足即曲面S上任一點P在直線族

中的某一條直線上.

對曲面S的方程

變形也可以推出

設有不全為零的實數

，令上述比例等于

，則有上述方程組表示一族直線，記為.二、單葉雙曲面(直母線的性質)

定理3.7.3

分別屬于單葉雙曲面S的兩族不同直母線

和

的直線必定共面；屬于單葉雙曲面S同族直母線

或

的任意兩條直線必定異面.

定理3.7.2

直線族

是單葉雙曲面S的另一族直母線.說明：直紋面的直母線未必唯一.

分別取

和

中一條直線，記為l和l?，如下證

這里只證明定理前半部分，后半部份同理可得.和其中u?和v?與

和

都是不全為零的實數對.

定理3.7.3

分別屬于單葉雙曲面S的兩族不同直母線

和

的直線必定共面；屬于單葉雙曲面S同族直母線

或

的任意兩條直線必定異面.證

經過l和l’的平面束可設為取

與

代入上述平面束方程時發現，它們完全相同，說明有同一個平面既經過l又經過l