期末解答題新題（40題）原卷版-2025-2026學年九年級數學上學期（人教版）

期末解答題新題速遞(40題)

一.解答題

1.定義：如果關于1的一元二次方程蘇+版+《=0滿足。-“。=(),那么稱這個方程為“聯合方程”.

(I)判斷一元二次方程2，+9.什7=0是否為“聯合方程”，說明理由；

(2)己知3X2-〃次+〃=0是關于x的“聯合方程”，若-2是此“聯合方程”的一個根，求〃?和〃的值.

2.已知關于x的一元二次方程4『+A+。=0,如果。，b,。滿足3〃?2b+c=0,我們就稱這個一元二次方程

為美妙方程.

(1)判斷方程2x2-x-8=0是否為美妙方程，并說明理由.

(2)已知關于x的美妙方程G2+2X+C=0的一個根是-1,求這個美妙方程.

3.“新定義”問題就是給出一個從未接觸過的新規定，要求同學們現學現用，更多考查閱讀理解能力、應

變能力和創新能力.定義：方程。X2+尻+4=0是一元二次方程°”+入+°=0的倒方程，其由a,b,C為

I

常數（且a,cWO）.根據此定義解決下列問題：

（1）一元二次方程-41+3.計1=0的倒方程是；

（2）若x=-I是一元二次方程，-2x+c=0的倒方程的解，求出c的值；

（3）若〃？是一元二次方程-6X2+X+1=0的倒方程的一個實數根，則m3+ni2-6叫+2025的值

為.

4.已知關于x的一元二次方程x2-2kx+k2-1=0.

（1）求證：無論《取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；

（2）設該方程的兩個根為X],X2，且滿足37）（x2-I）=8,求k的值.

5.閱讀材料：從教材第24頁例題1,我們知道：對于一個分式，當分子的值是0且分母的值不為。時.，分

式的值為0.對于非零實數a，江若關于x的分式的值為零，那么（x-a）(x-/?)=0,

x

2

(x—a')(x—b')x2-(a+b}x+abx2(a+b}xabab

從而求得它的解得xi=a,、2=氏又因為1--~~'=----——-△+—=%+—

一(a+b),所以關于/的分式方程'一=0就變成了分式方程x+弓=a++它的解為勺=小

X2=b.

12

(1)理解應用：方程％+—=7的解為：u=_______,X2=_______;

X

2、、

(2)知識遷移：若關于x的方程％I-=5的解為x1=a,『b,求〃2|房的值；

2mx1—m

(3)拓展提升：若關于x的方程x+■5=m+4的解為X],X2，(m>2,勺>X2)求超的值，

6.關于x的一元二次方程/+〃a-1=0,當〃?=1時，該方程的正根稱為黃金分割數.寬與長的比是黃金

分割數的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農神廟采用的就是黃金矩形的設計；我國著名數學家華羅庚的

優選法中也應用到了黃金分割數.

3

（1）求黃金分割數：

b

（2）已知實數a,8滿足。2+〃以=1,F_2加＞=4,且8W-2a,請證明：a,—/是一元二次方程，+心

-1=0的兩個根；

（3）已知兩個不相等的實數p,q滿足p?+叩-l=q,（j2+nq-I=p,求pg-〃的值.

7.某著名旅游景區在2023年春節長假期間，共接待游客70萬人次，2025年春節長假期間，接待游客84.7

萬人次.（1）求該景區以2023-2025年春節長假期間接待游客人次的平均增長率；

（2）該景區一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價為6元，根據銷售經驗，在旅游旺季、若每杯定價25

元，則平均每天可銷售300杯.若每杯價格降低1元，則平均每天可多銷售30杯.現在店家決定進行降

價促銷活動，則當每杯售價定為多少元時，既能讓顧客獲得最大優惠，又可使此款奶茶變現平均每天6300

元的利潤？

8.推進中國式現代化，必須堅持不懈夯實農業基礎，推進鄉村全面振興，某合作社著力發展鄉村水果網絡

銷售，據統計某電商平臺10月份的水果銷售量50000修，12月份的水果銷售量是72000檢.

（1）若該平臺10月份到12月份銷售的月平均增長率都相同，求月平均增長率是多少？

4

（2）某水果店以6元/校的單價進了一批水果，若售價為10元/依，每天能銷售2004g.為了盡快減少庫

存，決定降價銷售，市場調查發現，售價每降價0.1元，每天可多售出20攸，水果的售價為多少元時，

每天可獲利潤為1200元.

9.隨著國家對地攤經濟的支持，各地的夜市逐漸火爆.某小型夜市為改善環境,融入地方特色，對夜市攤

位擺放位置進行升級改造，改造后的布局如圖所示.已知在矩形/8CQ中，AD=60m,48=30〃?，陰影

部分為夜市擺攤位，其余部分是等寬的人行過道，攤位的總面積為10（）0〃?2.

（1）人行過道的寬是多少米？

（2）該夜市有60個攤位對外出租，每個攤位的月租金為30。0元時，攤位剛好全部租完.夜市升級改造

后對每個攤位的月租金進行適當調整，每個攤位的月租金每上漲100元，就會少租出1個攤位.在盡可

能讓利于攤主的條件下，當每個攤位的月租金為多少元時，該夜市的月租金總收入為1925Q0元？

10.己知二次函數y=aH+以+6QW0）與工軸交于48兩點（點力在點4的左側），點力、點8的橫坐

標是一元二次方程12=0的兩個根.

（1）求點力、點6的坐標：

（2）請求出該二次函數表達式及對稱軸和頂點坐標.

5

11.已知拋物線y=（x+1）2-4與x軸正半軸交于點兒頂點為工

（I）求音線力8的表達式：

（2）過點尸（［,0）作x軸的垂線，交拋物線于點M,交直線48于點M當MN的長為3時，直接寫

出，的值.

12.已知拋物線-取（aWD）經過點（6,0）.

（I）求該拋物線的對稱軸；

（2）點力（xprV|）和85，及）分別在拋物線尸加-云和y=F-x上（44與原點都不重合）.

①若Q=9且xi=X2，比較J'l與yi的大小；

…6y2X2X2

②當”時，若;;是一個與勺無關的定值，求。與人的值.

6

13.已知一次函數y=x-5的圖象與x軸，y軸分別交于點兒B.將點/向左平移4個單位，得到點力'，

且點H恰好在二次函數》=爾2+--3(°、力是常數，。￡0)圖象的對稱軸上.

(I)用含。的代數式表示力.

(2)求證：二次函數與一次函數圖象交于一個定點，并求出該點的坐標.

(3)若二次函數圖象與線段恰有一個公共點，結合函數圖象，求。的取值范圍.

14.在平面直角坐標系中，二次函數)-一-十〃經過點力(1,0)與點6(2,〃).

(1)求m,n的值.

(2)若點C(a,-2),D(b,-2)為該二次函數圖象上的兩個不同點(其中〃，b為常數，a<b),

求△88的面積.

7

15.已知二次函數y=『+4x-5的圖象經過點3(2,7).

(I)若將點4(2,7)向上平移9個單位長度得到當，作點的，使小、%關于拋物線的對稱軸對稱,

再將夕2向左平移〃？(m>0)個單位長度后，恰好落在了=--4入-5的圖象上，求〃?的值.

(2)當〃WxW2時，二次函數歹=『+4x-5的最大值與最小值的和為-2,求〃的取值范匡.

16.已知二次函數j，=-(x+1)斗人(〃為常數)的圖象經過點.4(-2,3).

(1)求此二次函數的表達式.

(2)將拋物線先向左平移〃(〃:>0)個單位，再向上平移5個單位，函數圖象恰好經過原點，求〃的值.

(3)已知點(p,w),(q,m)在二次函數y=-(x+1)2+萬的圖象上，且-7V2p+3g<2,求機的

取值范圍.

8

17.已知關于x的二次函數y=F+2x+2.

(1)當?IWXW/時，)，有最大值4,求,的值;

3

(2)當fWxW什1時，y有最小值J,求Z的值.

乙

18.在平面直角坐標系X0F中，已知二次函數y=4(X-1)2-4(oWO).

(I)求二次函數與y軸的交點坐標(用含有。的代數式表示)；

(2)當0<“在1.5時,，y的最大值為-3,請求出a的值；

(3)在(2)的條件下，若點P(x,y)是二次函數圖象上一點，滿足加(/>0),若y的最大

值與最小值之差為4,求/的取值范圍.

9

19.如圖，拋物線J，=x2+bx+c經過4(-2,0)、8(4,0)兩點.

(I)求拋物線的解析式和頂點坐標；

(2)當時，求y的取值范圍；

(3)點P為拋物線上一點，若求出此時點尸的坐標.

20.已知二次函數yuad+bx+c(a,b,。是常數，HW0)的圖象經過(1,0).

(I)若二次函數圖象經過力(-1,4),5(0,-1),求該二次函數解析式：

(2)若二次函數圖象的頂點落在x軸上，求證：a=c；

(3)若二次函數圖象的對稱軸為直線％=早，當bNc時，求的最小值.

10

21.如圖，是一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞的上沿是拋物線形狀，當水面的寬度為10機時，橋洞與水面

的最大距離是5%

3）根據（1）所建立的平面直角坐標系，求出拋物線的解析式;

（2）因為上游水庫泄洪，水面寬度變為6〃?，求水面上漲的高度.

22.某水果店計劃銷售當季沃柑，經市場調研發現：沃柑的單價x元/千克與日銷售量歹千克滿足一次函數

關系，且當單價為11元/千克時，日銷售量為130千克；單價為14元/千克時，日銷售量為70千克.已

知沃柑的進貨成本為7元/千克，水果店每日的固定運營成本（如房租、水電）為240元.設每日銷售沃

柑的利潤為w元.

（1）求日銷售量y與單價x之間的一次函數表達式：

（2）求利潤W與單價x之間的二次函數表達式；

（3）為保證盈利且符合市場定價規則，該沃柑單價需滿足15（x為整數），求此時水果店每日可

獲得的最大利潤.

23.如圖，點憶N分別在正方形"CO的邊AC,CD上,且.NMAN=45°,把△AON繞點力順時針旋

轉90°得到△力

(1)求證：AAEM父/XANM；

(2)若"M=6,QN=4,求MN的長.

24.如圖，在四邊形力4c。中，，4C,4。是對角線，是等邊三角形.線段CO繞點。順時針旋轉

60°得到線段CE,連接力￡

(1)求證：AE=BD\

(2)若N/IDC=30°,彳0=3,80=5,求8的長.

E

BC

25.在△48C中，點。是8C邊上一點(不與端點重合)，連接力將線段月。繞點力逆時針

旋轉a得到線段力￡,連接

(1)如圖1,a=ZBAC=60°,ZEAC=20°,求N4Q8的度數；

(2)如圖2,a=/5/C=9()。，BDCCD,過點。作OG_L8C,QG交。的延長線于G,連接4G.點

F是。E的中點，，是8G的中點，連接“，CF.用等式表示線段"7與C戶的數量關系并證明.

圖1圖2

26.在平面直角坐標系中,點413,0),點8(0,4),把△力繞原點O逆時針旋轉，得△COQ,其

中，點C,。分別為點力，8旋轉后的對應點，記旋轉角為a(0“

(1)如圖，當a=45°時，求點C的坐標;

(2)當CO〃x軸時，求點。的坐標(直接寫出結果即可).

13

27.在平面直角坐標系中，0為原點，點［(3,0),點8(0,4),把△480繞點8逆時針旋轉，得^

圖①圖②備用圖

(1)如圖①，若a=9()。，求44'的長；

(2)如圖②，若a=45°,求點。的坐標.

28.如圖，。0中，OC_L48于點E,點。為上一點.

1

(1)求證：4BDC=yAOC；

(2)若CE=2,AB=6,求0c的長.

29.如圖，44是OO的一條弦，。。_1_力4于點C,交。。于點。，點E在。。上.

(1)若點4是血的中點，求證：AB=DE；

(2)若CD=2,AB=\2t求0。的半徑二

30.如圖，，44為。。的直徑，點C在0O上，延長AC至點。，使。C=C2,延長D4與0。的另一個交

點為，連接AC,CE.

(1)求證：NE=/D；

(2)若為8=6,BC-AC=2,求CE的長.

15

31.如圖，48是半圓。的直徑，力8=10,點C在半圓。上，。為4C的中點，連接0。并延長交半圓0

于點E.

(1)如圖1,若力。=OQ-1,求力C的長;

(2)如圖2,過點E作七/J_/8,垂足為凡若4c=8,求//的長.

32.如圖，力4為。。的直徑,。為。。上一點，。為力。的中點，過C作。。的切線交0。的延長線于￡,

交AB的延長線J-F,連接EA.

(1)求證：EA是。。的切線；

(2)若CE=6,CF=4,求OO的半徑.

16

33.如圖，8C為OO的直徑，點彳在。。上，的平分線交于點￡,交8C于點M.248M的平

分線BD交力E于點D,過點E作叮〃8C,交48的延長線于點足連接8E.

(1)求證：EE是OO的切線;

(2)若BE=8,求DE的長.

34.如圖，川？為。。的直徑，點C在。。上，/力。8的平分線CQ交。。于點。，過點。作D〃〃月4,交

CB的延長線于點E.

(1)求證：。“是0O的切線：

(2)若/月QC=60°,BC=4,求CO的長.

17

35.已知，如圖，彳8為OO的直徑，△48。內接于。。，8O.4C,點P是△力8C的內心，延長CP交。。

于點。，連接8P.

(1)求證：BD=PD；

(2)已知。0的半徑是3VLCO=8,求8。的長.

A

D

36.如圖，正方形488內接于OO,M為弧力。中點，連接8W,CM.

(1)求證：是等腰三角形：

(2)若48=2,求點〃到4c的距離.

37.如圖，四邊形"8co內接于0。，力。為直徑，過點。作CE_L48于點￡,連接/C.

18

(1)求證：/CAD=NECB；

(2)連接OC,若OC〃AB,/E力。=60°,AD=4,求陰影部分的面積.

38.如圖，△48C是等腰三角形，AB=AC,作一圓過點力和點B,交8c于。點，交4c于E點,且BD=

DE.

(1)求證：44是該圓的直徑；

(2)若E是/。的中點，力"=10,求劭的長度.