2024-2025學年北京市延慶區八年級（上）期末數學試卷（含參考答案）

2024?2025學年北京市延慶區八年級（上）期末數學試卷

一、選擇題（共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.（2分）下列四個圖形分別是四屆國際數學家大會的會標，其中是軸對稱圖形的是（）

A.在數軸上取一個點，它表示的數是實數

B.畫一個三角形，它的某邊上的高線與中線重合

C.畫一?個三角形，它的內角和是180°

D.把長度分別是6,8,9的線段首尾順次相接，組成了一個直角三角形

3.（2分）分式」?有意義，實數。的取值范圍是（）

a-3

A.g3B.aWOC.〃V3D.心3

4.（2分）若三角形的兩邊長分別為3和6,則這個三角形的第三邊長可以是（）

A.3B.6C.9D.12

5.（2分）下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A.V073B?祗C.^/18D.A/10

6.（2分）下列計算正確的是（）

A.V2W3=V5B.3V2-V2=3C.V2xV3=V6D.折小赤=2

7.（2分）如圖，在△48C中，邊上的高線是（）

第1頁（共32頁）

8.（2分）如圖，已知Rta/IBC中，ZC=90°,ZJ=30°,在直線3C上取一點P,使得是等腰

三角形，則符合條件的點尸有（）

A

BC

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（共16分，每小題2分）

9.（2分）16的算術平方根是.

10.（2分）若二次根式/啟在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是.

11.（2分）如圖，在△"C中，乙4=80°,點。在8c的延長線上，乙48=140°,則N8=

12.（2分）已知|x-5|+Vy^=0，則x+y=.

13.（2分）一個不透明的口袋中裝有2個紅球和1個黃球，除顏色外都相同，從口袋中隨意摸出一個球,

摸到紅球的可能性大小氈.

14.（2分）數學課上老師布置了“測量錐形瓶內部底面的內徑”的探究任務，小聰想到老師講過“利用全

等三角形對應邊相等，可以把不能直接測量的物體'移'到可以直接測量的位置測量”于是他設計了如

下方案：如圖，用螺絲釘將兩根小棒力C,8。的中點O固定，只要測得C,。之間的距離，就可知道

內徑的長度.此方案中，判定△力O40Z\COQ的依據是.

15.（2分）如圖，在川入48。中，/8=90°,，'。平分乙/。3,力。=4,4力=1,則44。。的面積是

第2頁（共32頁）

A

16.（2分）如圖，△力8C是等邊三角形，力。是△48C的中線，點。關于直線4C的對稱點為￡.連接

BE,交AC于點凡交力。于點G,連接片區DE.

有下面四個結論：

①點A在線段DE的垂直平分線上；

②△力。￡是等邊三角形；

③△ABGqAAEF：

④點P是線段AE上的一個動點，PF+PC的最小值等于BF.

其中所有正確結論的序號是

三、解答題（共68分，17-18題，每小題8分；19-26題，每小題8分；27題7分；28題5分）

17.（8分）計算:

1)V12-V27+IW3卜

⑵(V5-V2)2W20X

18.（8分）解分式方程:

(I)-^+1=-^-；

x+12x+2

(2)-^―+片=_g_

x+2x2-4x-2

19.(5分)如圖，AB=CD,BELAC于點、E,DF工AC于點F,AF=CE.

(1)求證：/\ABE/4CDF；

(2)求證：AB//CD.

第3頁（共32頁）

AB

20.（5分）在證明等腰三角形的性質定理1時，甲、乙、丙三位同學的方法如圖所示:

等腰三角形的性質定理1的內容：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）.已知：如圖,

在△48C中，AB=AC.

求證：N4=NC.

乙同學的方法:丙同學的方法:

證明：作/從的平分線交8C于點。.證明：作力E_LBC于點及證明：取8C的中點E連接XE

請選擇一種方法補全證明過程.

2

21.（5分）先化簡，再求值：（亙—1）+aYa+4,其中。=a+2.

a+2a+2

22.（5分）計算：學習了分式運算后，老師布置了這樣一道計算題：-工，甲、乙兩位同學的解

x*2-le

答過程分別如下:

甲同學：

2.1

x2-lx-l

第4頁（共32頁）

=2'Tl?

(x+l)(x-l)

=_______2_______-________1______0

(x+1)(x-l)(x+1)(x-1)

(x+1)(x-l)J

=-------------④

(x+1)(x-l)

乙同學：

2_1

x2-lx-l

=2

(X+1)(X-1)

=--------2---------——x+1——②

(x+1)(x-l)(x+1)(x-l)

=2-(x+1)③

=1-x@

老師發現這兩位同學的解答過程都有錯誤.

請你從甲、乙兩位同學中，選擇一位同學的解答過程，幫助他分析錯因，并加以改正.

(1)我選擇同學的解答過程進行分析.(填“甲”或“乙”)

(2)該同學的解答從第步開始出現錯誤(填序號),錯誤的原因是

(3)請寫出正確解答過程.

23.(5分)如圖，△川氣?是等邊三角形，D是4B上一點,過點。作4c的平行線交力。于點￡.

(1)依題意補全圖形；

(2)判斷△4OE的形狀，并證明.

24.(5分)如圖，0C是N/08的角平分線，點。在射線0/1上，點￡在射線04上，點尸在射線。C上，

連接。R七月請你添加一個條件，使△。尸。安△(萬?￡

小明同學寫出以下條件：①OD=OE,②4ODF=4OEF,③4OFD=4OFE,@FD=FE,⑤乙4。尸

=/BEF,⑥/7)”1=NEFC.他認為：“添加以上條件中的任何一個，都可以使△0/7)絲△0心.”

(1)小明的說法(填“正確”或“錯誤”)：

第5頁(共32頁)

（2）從小明寫出的條件中選擇一個（填寫序號），使得補全圖形，并寫出

證明過程.

遠大中學組織學生到距離學校20千米的農耕園體驗農耕勞動.有一部分學生騎自行車前往，另一部分

學生在騎自行車的學生出發50分鐘后，乘汽車沿相同路線行進，結果騎自行車的學生與乘汽車的學生

同時到達農耕園.已知汽車速度是臼行車速度的3倍，求自行車的速度.

26.（5分）尺規作圖:

己知：如圖1,直線和直線外一點P.

P

M

圖1

求作：直線夕。，使直線Q0〃,“N.

小智的作圖思路如"

①如何得到兩條直線平行？

小智想到，自己學習線與角的時候，有4個定理可以證明兩條直線平行，其中

有“內錯角相等，兩條直線平行”.

②如何得到兩個角相等？

小智先回顧了線與角的內容，找到了幾個定理和1個概念，可以得到兩個角

相等.小智又回顧了三角形的知識，也發現了幾個可以證明兩個角相等的

定理.最后，小智選擇了角平分線的概念和“等邊對等角”.

③畫出示意圖:

第6頁（共32頁）

④根據示意圖，確定作圖順序.

在直線MV上取,田~?|作射線.而__，作角平分線鋁(尺規作圖)

----?作出P°=內交灑于點q---U作直線PQ

(1)使用直尺和圓規，按照小智的作圖思路補全圖形1(保留作圖痕跡)；

(2)完成卜面的證明：

證明：???48平分NPZM

:./PAB=NNAB.

?:PA=PQ,

：.ZPAB=^PQA().

，NNAB=NPQA.

：,PQ//MN().

(3)參考小智的作圖思路和流程，另外設計一種作法，利用直尺和圓規在圖2中完成.

(溫馨提示：保留作圖痕跡，不用寫作法和證明)

?P

MN

圖2

27.(7分)如圖，在Rt△48C中，NB4C=90°，AB=AC,NO是△44C的高，點上是的中點，連

接CE交4。于點凡過點E作GE_LCE于點E,交D4的延長線于點G,交BC于裊H.

(1)依題意補全圖形；

(2)判斷NEC”和NEGE的數量關系，并證明；

28.(5分)我們給出如下定義：有一條邊及這條邊所對的角分別相等的兩個三角形稱為“關聯三角形”.例

如，圖中的兩個三角形是“關聯三角形”.

第7頁(共32頁)

已知：在Rt△48c中，ZC=90°,ZA=300,BC=2,AB=4.

（1）下列三角形中，為△48。的“關聯三角形”是（填序號）;

（2）若Rt△48C的“關聯三角形”是等腰三角形，則等腰三角形的底邊長可以

是;

（3）若△￡>?是RtZk/8C的“關聯三角形”，且尸的面積是S,直接寫出S的最大值.

第8頁（共32頁）

2024?2025學年北京市延慶區八年級（上）期末數學試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

一、選擇題（共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.（2分）卜.列四個圖形分別是四屆國際數學家大會的會標，其中是軸對稱圖形的是（）

【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做釉對稱圖形,

這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

【解答】解：&C,。選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，便圖形沿一條直線折疊，直線兩旁

的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

力選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以

是軸對稱圖形；

故選：A.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折叁后可重合.

2.（2分）下列事件中，隨機事件是（）

A.在數軸上取一個點，它表示的數是實數

B.畫一個三角形，它的某邊上的高線與中線重合

C.畫一個三角形，它的內角和是18（）°

D.把長度分別是6,8,9的線段首尾順次相接，組成了一個直角三角形

【分析】根據事件發生的可能性大小判斷.

第9頁（共32頁）

【解答】解：力、在數軸上取i個點，它表示的數是實數，是必然事件，不符合題意：

4、畫一個三角形，它的某邊上的高線與中線重合，是隨機事件，符合題意；

C、畫一個三角形，它的內角和是180°,是必然事件，不符合題意；

。、把長度分別是6,8,9的線段首尾順次相接，組成了一個直角三角形，是不可能事件，不符合題意;

故選：B.

【點評】本題考查的是隨機事件，必然事件指在一定條件下，一定發生的事件.不可能事件是指在一定

條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件.

3.（2分）分式」_有意義，實數。的取值范圍是（）

a-3

A.aW3B.aWOC.aV3D.“23

【分析】分式有意義即分母不為0，由此計算即可.

【解答】解：若分式意義，

a-3

則實數。的取值范圍是a-3H0,

所以4H3,

故選:A.

【點評】本題考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是解題的關鍵.

4.（2分）若三角形的兩邊長分別為3和6,則這個三角形的第三邊長可以是（）

A.3B.6C.9D.12

【分析】根據三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于三邊”，求得第三邊的

取值范圍，即可得出結果.

【解答】解：根據三角形的三邊關系，得

第三邊應大于6-3=3,而小于6+3=9,

故第三邊的長度3Vx<9,這個三角形的第三邊長可以是6.

故選：B.

【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系，根據三角形三邊關系定理列出不等式，然后解不等式，確

定取值范圍即可.

5.（2分）下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A.VolB.c.VisD.Vw

【分析】滿足以下兩個條件：①被開方數不含分母：②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，像

這樣的二次根式叫做最簡二次根式，由此判斷即可.

第10頁（共32頁）

【解答】解：A.被開方數是小數，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意;

從被開方數含有分母，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意：

C'、被開方數含有能開得盡方的因數9,不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

。、是最簡二次根式，故此選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了最簡二次根式，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

6.（2分）下列計算正確的是（）

A.V2W3=V5B.3V2-V2=3C.V2xV3=V6D.Vw4-V5=2

【分析】根據二次根式的加法，減法，乘法，除法法則進行計算，逐一判斷即可解答.

【解答】解：力、血與?不能合并，故4不符合題意；

B、用-近=2啦，故4不符合題意；

C、亞義迎=a，故C符合題意：

。、415。布=&，故。不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

7.（2分）如圖，在^力^。中，邊上的高線是（）

A.線段4。B.線段C.線段8GD.線段C￡

【分析】直接利用高線的概念（從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形

的高）得出答案.

【解答】解；如圖，???C77_L4.4延長線于￡,

二△ABC中AB邊上的高線是線段CE.

故選：D.

【點評】此題主要考查了三角形角平分線、中線和高，正確把握相關定義是解題關鍵.

8.（2分）如圖，已知RtZ\?18。中，ZC=90°,ZA=30°,在直線6C上取一點P,使得△P48是等腰

三角形，則符合條件的點。有（）

第11頁（共32頁）

BC

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】分三種情況，AP=AB,BA=BP,PA=PB.

當時，以8為圓形，84長為半徑畫圓，交直線8c于8，P2兩個點，

?：BA=BP?,ZABC=60°,

???△44P2是等邊三角形，

:.AB=BP2=AP?,

當月4=4。時，以力為圓形，力4長為半徑間圓，交直線于心，

當時，作力8的垂直平分線，交直線AC于尸2，

綜上所述，在直線8c上取一點P,使得△P4?是等腰三角形，則符合條件的點尸有2個，

故選：B.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定，根據題目的已知畫出圖形是解題的關鍵，同時滲透了分類討論

的數學思想.

二、填空題（共16分，每小題2分）

第12頁（共32頁）

9.（2分）16的算術平方根是4

【分析】運用算術平方根知識進行求解.

【解答】解：???42=16,

???16的算術平方根是4,

故答案為：4.

【點評】此題考查了算術平方根的求解能力，關鍵是能準確理解并運用以上知識.

10.（2分）若二次根式//在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是田9.

【分析】根據二次根式的被開方數是非負數即可得出答案.

【解答】解：??"-920,

故答案為：x29.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數是非負數是解題的關鍵.

11.（2分）如圖，在△/18C中，24=80°,點。在8c的延長線上，ZACD=140°,則/8=60°

【分析】根據外角的性質可得N/CO=N4+N8,代入已知解答即可.

【解答】解：是△4BC的外角，

J/ACD=/A+/B,

VZJ=80°,ZJCD=140°,

???N4=140°-80°=60°.

故答案為：60°.

【點評】本題考查了三角形外角的性質，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的卻.

12.（2分）已知|x-5|+77^=0，則x+v=2.

【分析】根據非負數的性質列出方程求出未知數的值，再代入所求代數式計算即可.

【解答】解:,??|x-5|-h/y+3=0?

.*.x-5=0,jH-3=0,

，x=5,y=-3,

：.x+y=5-3=2.

故答案為：2.

第13頁（共32頁）

【點評】本題考查了非負數的性質：掌握幾個非負數的和為0,則這幾個非負數分別等于0,并正確得

出未知數的值是解題的關鍵.

13.（2分）一個不透明的口袋中裝有2個紅球和I個黃球，除顏色外都相同，從口袋中隨意摸出一個球,

摸到紅球的可?能性大小是2.

一3一

【分析】用紅球的個數除以球的總個數即可.

【解答】解：從口袋中隨意摸山個球共有3種等可能結果，其中摸到紅球的有2種結果，

所以摸到紅球的可能性大小是2,

3

故答案為：2.

3

【點評】本題主要考查可能性的大小，解題的關鍵是掌握隨機事件發生的可能性（概率）的計算方法.

14.（2分）數學課上老師布置了“測量錐形瓶內部底面的內徑”的探究任務，小聰想到老師講過“利用全

等三角形對應邊相等，可以把不能直接測量的物體‘移'到可以直接測量的位置測量”于是他設計了如

下方案：如圖，用螺絲釘將兩根小棒/C,8。的中點O固定，只要測得C,。之間的距離，就可知道

內徑的長度.此方案中，判定△XOB的△CO-的依據是SAS.

【分析】根據S/1S公理解答即可.

【解答】解：在△COO和△力08中,

OC=OA

ZC0D=ZA0B*

OD=OB

???△COQg△408(SAS),

:.AB=CD,

,此方案依據判斷三角形全等的S4s1公理，

故答案為：S4S.

【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質，掌握S4S公理是解題的關鍵.

15.（2分）如圖，在Rt△48c中，N8=9（）°,CO平分N/C8,JC=4,BD=l,則△/CQ的面積是

2

第14頁（共32頁）

A

【分析】過。作O〃_L4C于〃，由角平分線的性質推出。〃=。3=1,于是得到△/1C。的面積=工4。?

2

DH=2.

【解答】解：過。作。，_L4C于“，

VZ5=90°,

:.DB1BC,

〈CO平分N4C8,

:.DH=DB=\,

:.AACD的面積=L。?。〃=LX4X1=2.

22

故答案為：2.

【點評】本題考查角平分線的性質，三角形的面積，關鍵是由角平分線的性質推出。"=。氏

16.（2分）如圖，△川氣?是等邊三角形，力。是△/4C的中線，點。關于直線4c的對稱點為￡.連接

BE,交/C于點凡交，。于點G,連接力區DE.

有下面四個結論：

①點A在線段DE的垂直平分線上；

②△力力七是等邊三角形；

③△/18Gg△彳ER

④點P是線段AE上的一個動點，PF+PC的最小值等于BF.

其中所有正確結論的序號是①②⑷.

第15頁（共32頁）

A

【分析】根據等邊三角形的性質、線段的垂直平分線的性質求解..

【解答】解：???△48C是等邊三角形，力。是△44。的中線，

：.D八BC,ZCAD=^ZBAC=30°,AB>AD,

2

???點D關于直線AC的對稱點為E,

：.AE=AD,ACtDE,

：.ZDAE=2ZDAC=60°,

為等邊三角形，

???①②都是正確的；

*：AB>AD=AE,NBAD=/EAC=30°,

:.AABG和△4EF不全等，

故③是錯誤的；

??ZC垂直平分4C,

設點M在AD上且M與P對稱，

,：AD垂直平分BC,

則PF+PC=MF+MC=MF+MB2FB,即M,G重合，

:.PF+PC的最小值等于BF,

故④正確，

故答案為：①②④.

【點評】本題考查了軸對稱最短路徑問題，找到最小值是解題的關鍵.

三、解答題（共68分，17-18題，每小題8分；19-26題，每小題8分；27題7分；28題5分）

17.（8分）計算:

⑴V12-V27+I-V3|：

⑵（V5-V2）2W20X欄.

【分析】（1）先根據算術平方根、立方根、絕對值的性質計算，再合并即可；

第16頁（共32頁）

(2)先根據完全平方公式、二次根式的乘法法則計算，再合并即可.

【解答】解：(1)標-曬+|SI

=2百-3+73

=3V3-3：

⑵(V5-V2)2W20

=5-2>/i0+2W10

=7-2ViO4-Vio

=7-^/W.

【點評】本題考查了實數的運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵.

18.(8分)解分式方程:

(1)-A_+l=-^-：

x+12x+2

(2)

x+2x2-4x-2

【分析】(1)(2)按求解分式方程的一般步驟，求解即可.

【解答】解：(1)去分母，得2x+2(x+1)=5,

去括號，得2x+2x+2=5,

移項，得2x+2t=5-2,

合并同類項，得4x=3,

系數化為1,得乂=3.

4

檢驗：當乂=卻，2x+2=2^W0.

所以原分式方程的解為x=S.

4

(2)方程兩邊同時乘以(x+2)(x?2),得x-2+4x=2(x+2),

去括號，得x-2+4x=2x+4,

移項并合并，得3x=6,

解得x=2.

檢驗：當x=2時，Cv+2)(x-2)=0.

所以原分式方程無解.

【點評】本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步獴是解決本題的關鍵.

第17頁(共32頁)

19.(5分)如圖，AB=CD,BELAC于點E,DF工AC于點、F,AF=CE.

(1)求證：△ABEgACDF；

(2)求證：AB//CD.

【分析】（l）由力/二=可得力石=。凡利用，￡可證明△48后9/\62

（2）根據全等三角形的性質和平行線的性質即可得到結論.

【解答】證明：（1）;BEL4c于點E,DQAC于點F,

:?NAEB=/DFC=90°,

，：AF=CE,

:.AE=CF,

在RtA/IBE和RtACDF中，

（AB=CD,

[AE=CF'

ARtAJ5E^RtACDF（HL）；

（2）?:△ABESACDF,

:.NA=NC,

C.AB//CD.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質；由證明三角形全等是解決問題的關鍵.

20.（5分）在證明等腰三角形的性質定理1時，甲、乙、丙三位同學的方法如圖所示：

等腰三角形的性質定理1的內容：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）.已知：如圖,

在△46C中，AB=AC.

求證：ZB=ZC.

第18頁（共32頁）

乙同學的方法:丙同學的方法:

證明：作N歷的平分線交8C于點。.證明：作力E_L4C于點瓦證明：取4c的中點尸，連接4立

請選擇?種方法補全證明過程.

【分析】甲同學的證明方法是：作/從1C的平分線交4C于點。，則NA4Q=NC4。，進而可依據

“S4r判定△48。和△/CO全等，然后根據全等三角形的性質可得出N8=NC；

乙同學的證明方法是：作于點E,進而可依據判定RlZ\"E和RtZX/C石全等，然后根

據全等三角形的性質可得出/8=NC；

丙同學的證明方法是：取8c的中點尺連接力凡則8/=CR進而可依據"SSS"判定和△4CF

全等,然后根據全等三角形的性質可得出/8=NC.

【解答】解：甲同學的證明方法如下：

證明：作NZMC的平分線交4。于點。，如圖1所示：

ffll

第19頁（共32頁）

：,ZBAD=ZCAD,

在△44。和△力。中，

rAB=AC

'ZBAD=ZCAD?

AD=AD

:,/\ABDmAACD(SAS),

，N8=NC；

乙同學的證明方法如下：

證明：作力￡_L8C于點E,如組2所示:

圖2

：?NAEB=NAEC=90°,

在Rt△44E和RtAJCE中，

fAB=AC,

IAE=AE，

ARtA/l^^RtAJCE(/〃)，

:?NB=NC.

丙同學的證明方法如下：

證明：取8C的中點兒連接.4/，如圖3所示:

圖3

:?BF=CF,

在ZVIB廠和△/。尸中,

第20頁(共32頁)

'AB=AC

BF=CF，

AF=AF

:.AABF0AACF(SSS)

:?/B=NC.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解決問題的關

鍵.

2

21.（5分）先化簡，再求值：（鄉一i）.aYa+4,其中。=&+2.

a+2a+2

【分析】先根據分式的混合運算法則計算，再代入求值即可.

2

【解答】解：（紅-1）.a—4a+4

a+2a+2

_/2aa+2）二a、-4a+4

T廠a+2

_a-2.a2-4a+4

a+2'a+2

a-2a+2

2

a+2,a-4a+4

_a~2a+2

a+2.Q-2）2

=1

c

當a=%+2時，原式=丁」—二3二近.

V6+2-2V66

【點評】本題考查了分式的化簡求值，正確計算是解題的關鍵.

22.（5分）計算：學習了分式運算后，老師布置了這樣一道計算題：一*工，甲、乙兩位同學的解

x2-lX-1

答過程分別如下：

甲同學:

_2_.

X2-1x-l

2

(x+1)(x-1)

(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)

-③

(x+1)(x-1)J

-(x-+-1)1(_x_-1_1④

乙同學:

第21頁（共32頁）

_2--

x2-lx-l

(x+l)(x-l)X-i°

=--------2--------,——X+l____@

(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)

=2-(x+1)③

=1-x④

老師發現這兩位同學的解答過程都有錯誤.

請你從甲、乙兩位同學中，選擇一位同學的解答過程，幫助他分析錯因，并加以改正.

(1)我選擇甲同學的解答過程進行分析.(填“甲”或“乙”)

(2)該同學的解答從第②步開始出現錯誤(填序號)，錯誤的原因是通分時，第二個分式，

根據分式的基本性質，分式的分子也應該乘以(x+l)；

(3)請寫出正確解答過程.

【分析】(1)分析甲或乙同學的解答過程均可；

(2)根據分式的基本性質分析甲同學的錯誤，根據同分母分式加減法運算法則分析乙同學的錯誤；

(3)先通分，然后再計算.

【解答】解：(1)選擇甲同學或乙同學均可；

故答案為：甲(答案不唯一，也可以填乙)；

(2)甲同學從第②步開始出現錯誤，

其錯誤原因是：通分時，第二個分式，根據分式的基本性質，分式的分子也應該乘以(x+l);

故答案為：②，通分時，第二個分式，根據分式的基本性質，分式的分子也應該乘以(x+l)；

乙同學從第③步開始出現錯誤，

其錯誤原因是：同分母分式相減，分母不變，把分子相減：

故答案為：③，同分母分式相減，分母不變，把分子相減；

(3)原式=-；---3-----------——-

(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)

-2-X-1

(x+l)(x-l)

Vl-X

(x+l)(x-l)

x+l

【點評】本題考查異分母分式的加減，掌握通分和約分的技巧是解題關鍵.

第22頁(共32頁)

23.（5分）如圖，△48。是等邊三角形，D是48上一點,過點。作灰?的平行線交力。于點￡

（1）依題意補全圖形；

（2）判斷△4OE的形狀，并證明.

【分析】（1）根據題意直接作圖即可.

（2）由等邊三角形的性質以及平行線的性質可得N4=N6=NC=60°,ZADE=ZB=6^,ZAED

=ZC=60°,則N4=N4QE=N』ED,即△力力E是等邊三角形.

【解答】解：（1）補全圖形如圖所示.

（2）△/。七為等邊三角形.

證明：是等邊三角形，

二/4=/5=/C=60°.

,JDE//BC,

：,/ADE=/B,ZAED=ZC,

/.ZA=ZADE=ZAED=60a,

???△/。￡為等邊三角形.

【點評】本題考查作圖一夏雜作圖、等邊三角形的判定與性質，熟練掌握等邊三角形的判定與性質是解

答本題的關鍵.

24.（5分）如圖，OC是的角平分線，點。在射線。力上，點石在射線08上，點尸在射線OC上，

連接。兄EF.請你添加一個條件，使△。心且△。氏E.

小明同學寫出以下條件：①OD=OE,②40DF=40EF,③4OFD=4OFE,?FD=FE,?ZADF

=/BEF,?ZDFC=ZEFC.他認為：“添加以上條件中的任何一個，都可以使△O"）絲△0匹￡.”

（1）小明的說法錯誤（填“正確”或“錯誤”）；

（2）從小明寫出的條件中選擇一個②（填寫序號），使得△（方?。烏△（〃「￡,補全圖形，并寫出

第23頁（共32頁）

證明過程.

A

【分析】(1)由全等三角形的判定方法，即可判斷；

(2)由44s1判定△OP'OgZXOEE.

【解答】解：(1)平分乙408,

工NAOC=/BOC,

?OD=OE,由S4s1判定氏E；

@ZODF=ZOEF,由44s判定△。尸。經△OEE：

③NO底。=ZOFE,由ASA判定△OFDgAOFE；

④FD=FE,N/OC和N4OC分別是FQ和此的對邊，不能判定△3'。0△。心:

⑤由NADF=NBEF,得到ZODF=NOEF,由AAS判定△。內。義△()尸E；

⑥由NOR7=ZEFC.,得到/O尸。=40FE,由ASA判定AOFDgAOFE.

工小明的說法是錯誤的.

故答案為：錯誤；

(2)如圖，選擇②使得△OFO四△OFE,理由如下：

???oc是乙〃力的角平分線，

ND()F=/EOF,

在和△(7莊中，

rZDOF=ZEOF

-NODF=NOEF，

OF=OF

:.△OFD9XOFE(AAS).

第24頁(共32頁)

【點評】本題考查全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA.AAS.SSS、

HL.

25.（5分）列方程解應用題：

遠大中學組織學生到距離學校20千米的農耕園體驗農耕勞動.有一部分學生騎自行車前往，另一部分

學生在騎自行車的學生出發50分鐘后，乘汽車沿相同路線行進，結果騎自行車的學生與乘汽車的學生

同時到達農耕園.已知汽車速度是自行車速度的3倍，求自行車的速度.

【分析】設自行車的速度為y千米/時，則汽車的速度為簫，千米/時，利用時間=路程+速度，結合乘汽

車的同學比騎自行車的同學少用50分鐘，可列出關于I，的分式方程，解之經檢驗后，即可得出結論.

【解答】解：設自行車的速度為丫千米/時，則汽車的速度為3V千米/時，

根據題意得：型?型=典，

v3v60

解得：i，=16,

經檢驗，v=16是所列方程的解，且符合題意.

答：自行車的速度為16千米/時.

【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵.

26.（5分）尺規作圖：

已知：如圖1,直線"N和直線MN外一?點P.

P

求作：直線尸0,使直線00〃MV.

小智的作圖思路如下：

①如何得到兩條直線平行？

小智想到，自己學習線與角的時候，有4個定理可以證明兩條直線平行，其中

有“內錯角相等，兩條直線平行”.

②如何得到兩個角相等？

小智先回顧了線與角的內容，找到了幾個定理和1個概念，可以得到兩個角

相等.小智又回顧了三角形的知識，也發現了幾個可以證明兩個角相等的

定理.最后，小智選擇了角平分線的概念和“等邊對等角”.

③畫出示意圖：

第25頁（共32頁）

（1）使用直尺和圓規，按照小智的作圖思路補全圖形1（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明：

證明：???/14平分N21N,

:,NPAB=NNAB.

*：PA=PQ,

：.^PAB=ZPQA（等角XT等邊）.

：?/NAB=/PQA.

:?PQ〃MN（內錯角相等兩直.線平行）.

（3）參考小智的作圖思路和流程，另外設計一種作法，利用直尺和圓規在圖2中完成.

（溫馨提示：保留作圖痕跡，不用寫作法和證明）

?P

MN

圖2

【分析】（I）根據要求作出圖形即可；

（2）利用角平分線的定義以及等腰二角形的性質解決問題即可；

（3）在直線上請有DV4連接尸兒作線段"的垂直平分線交于點8,垂足為7,在直線87

上取一點。，使得07=87,作直線P0即可.

【解答】（1）解：如圖，直線尸。即為所求；

第26頁（共32頁）

（2）證明：平分NR4N,

:"PAB=/NAB.

〈PA=PQ,

：.ZPAB=ZPQA（等角對等邊）.

:,NNAB=NPQA.

???P0〃MN（內錯角相等兩直線平行）.

故答案為：等邊對等角，內錯角相等，兩條直線平行;

【點評】本題屬于三角形粽合題，考查了等腰三角形的性質，線段的垂直平分線的性質角平分線的定義

等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

27.（7分）如圖，在Rt△48c中，/BAC=90°,AB=AC,NO是△力8c的高，點￡是48的中點，連

接CE交力D于點F,過點E作GELCE于點E,交的延長線于點G,交8C于點

（1）依題意補全圖形：

（2）判斷NEC"和NEG/的數股關系，并證明：

【分析】（1）根據題意直接畫圖即可.

（2）由題意得，ZECH+ZGHD=90°,/EGF+/GHD=90°,則NEC"=ZEGF.

第27頁（共32頁）

(3)結合題意證明即可得出結論.

證明：:力。是△49C的高，

AZADB=W.

：?NEGF+NGHD=90°.

'；G￡±C￡,

:,NGEF=NCEH=90°.

:"ECH"GHD=90°.

:"ECH=/EGF.

(3)證明：連接。E,

???N4/1C=9O°,AB=AC,

:?NB=NACB=450.

,:AD是4ABC的高，

：,ZDAC=ZDAB=45°,

：?/B=/DAB.

：,DA=DB.

???點￡是48的中點，

/.ZAED=9G0,NADE=NBDE=45°.

ZADE=ZEAD.

：.EA=ED.

■:NGEF=/AED=90°,

???/AEG=/DEC.

在△￡QC與△￡4G中，

第28頁(共32頁)

rZECD=ZEGA,

<ZDEC=ZAEG,

DE=AE,

:./\EDC/4EAG（44S）.

:?EC=EG.

【點評】本題考查作圖一復雜作圖、全等三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線、等腰直角三

角形，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

28.（5分）我們給出如下定義：有一條邊及這條邊所對?的角分別相等的兩個三角形稱為“關聯三角形”.例

如I,圖中的兩個三角形是“關聯三角形”.

已知：在。中，ZC=90°,ZA=30°,BC=2,AB=4.

（1）下列三角形中，RtZ\/18C的“關聯三角形”是①⑶（填序號）;

（2）若RtZ\48C的“關聯三角形”是等腰三角形，則等腰三角形的底邊長可以是