5年（2021-2025）天津高考數學真題分類匯編：專題09 計數原理與概率統計（解析版）

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文檔簡介

專題09計數原理與概率統計

考點五年考情（2021-2025）命題趨勢

2025天津卷：求指定項的系數；

考點1二項式2024天津卷：求指定項的系數；

定理2023天津卷：求指定項的系數；

（5年5考）2022天津卷：求指定項的系數；

2021天津卷：求指定項的系數；

2025天津卷：條件概率及數學期望

2024天津卷：實際問題中的組合計數問題!計算1.二項式定理在高考的考查主要包

考點2條件概

古典概型問題的概率計算條件概率；含了，求指定項的系數，常數項等。

率與乘法公式

2022天津卷：計算條件概率乘法公式；2.條件概率與乘法公式在高考的考

（5年4考）

2021天津卷：獨立重復試驗的概率問題；查主要包含了，組合數的計算，全概

率公式，條件概率與乘法公式等。

考點3線性相2024天津卷：根據散點圖判斷是否線性相關；3.線性相關在高考的考查主要包含

關2023天津卷：判斷正、負相關相關系數的意義了，散點圖判斷是否線性相關，正、

（5年2考）及辨析；負相關，相關系數的意義

考點4古典概4.古典概型中的概率問題在高考的

型中的概率問2023天津卷：計算古典概型問題的概率獨立事考查主要包含了，古典概型問題的概

題件的乘法公式；率，獨立事件的乘法公式。

（5年1考）5.頻率分布直方圖在高考的考查

2022天津卷：由頻率分布直方圖計算頻率、頻主要包含了，頻率分布直方圖計算頻

考點5頻率分數、樣本容量、總體容量；率、頻數、樣本容量、總體容量等。

布直方圖2021天津卷：由頻率分布直方圖計算頻率、頻

（5年2考）數、樣本容量、總體容量；

考點6正態分

2025天津卷：正態分布的概率計算

布

（5年1考）

考點01二項式定理

1.（2025·天津·高考真題）在x1的展開式中，x3項的系數為．

【答案】20

6r6rr

【解析】x1展開式的通項公式為Tr1C6x1，

3333

當r3時，T4C6x120x，

即x1展開式中x3的系數為20.

2．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數項為．

【答案】20?+3

【解析】因為的展開式的通項為CC，

366??3?

3??3??

336?2?6??3

令?，+可3得，??+1=6?3=36?,?=0,1,???,6

所以6常??數3項為=0C?=.3

3．（2023·天津3·高考=真2題0）在的展開式中，項的系數為．

312

【答案】2????

【解析】展60開式的通項公式CC，

?36??1?6???18?4?

令可得，?，?+1=62???=?1×2×6×?

則18項?的4系?=數2為?=4C.

246?44

4．（?2022·天津·高?考1真題×）2在×=4×的1展5開=式60中，常數項是.

【答案】?+?

【解析】由15題意的展開式的通項為，

5?5?5?

3?5??3?2

22?

令即，?+則?，??+1=?5????=?5?3??

5?5???1

2=0?=1?5?3=?5?3=15

所以的展開式中的常數項為.

?+?15

5．（2021·天津·高考真題）在的展開式中，的系數是．

316

【答案】1602?+??

【解析】的展開式的通項為，

31?36??16???18?4?

令2?+，?解得，??+1=?62???=2?6??

18?4?=6?=3

所以的系數是.

633

?2?=160考點02條件概率與乘法公式

6.（2025·天津·高考真題）小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0．5，

若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈

的概率為0．6，4圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11圈為動量達標，

則連續跑4周，記合格周數為X，則期望E(x)

【答案】0.63.2

【解析】設小桐一周跑11圈為事件A，設第一次跑5圈為事件B，設第二次跑5圈為事件C，

則PAPBPC|BPBPC|B0.50.60.50.60.6；

若至少跑11圈為運動量達標為事件D，PDPAPBPC|B0.60.50.40.8，

所以XB4,0.8，EX40.83.2；

7．（2024·天津·高考真題）五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到的概率為；

已知乙選了活動，他再選擇?,?活,?動,?的,?概率為．?

【答案】??

【解析】解法一5：列舉2法

從五個活動中選三個的情況有：

,共10種情況，

?其?中?,甲??選?到,??有?,6??種?可,?能??性,?：??,???,???,???,???，

則甲選到得?概率為：???；,???,???,???,???,???

乙選活動?有6種可能性?=：10=5，

其中再?選則有3種可能性?：??,???,???,??，?,???,???

故乙選了活?動，他再選擇活??動?的,?概??率,?為??=.

解法二：??62

設甲、乙選到為事件，乙選到為事件，

則甲選到的概?率為?C4?；?

???==5

乙選了活動，他再選擇活動的概率為?3

C32

????541

?????=??=5=2

8．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；

已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為

【答案】

22117

【解析】由題意，設第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,

則1.

43141?(??)211

52512215213?(?)17

9．（?(2?0?2)1·=天津×·高考=真題,）?(甲?)、=乙兩=人在,每?(次?|猜?)謎=活動中=各1猜3一=個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對

的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與

否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為65，3次活動中，甲至少獲勝2

次的概率為．

【答案】

220

【解析】由題可3得一次27活動中，甲獲勝的概率為；

542

6×5=3

則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為.

221220

?3×3×3+3=27

考點03線性相關

10．（2024·天津·高考真題）下列圖中，線性相關性系數最大的是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】觀察4幅圖可知，A圖散點分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較

好，呈現明顯的正相關，值相比于其他3圖更接近1.

故選：A?

11．（2023·天津·高考真題）鳶是鷹科的一種鳥，《詩經·大雅·旱麓》曰：“鳶飛戾天，魚躍余淵”.鳶尾花因

花瓣形如鳶尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機抽樣，收集了若干朵某品種鳶尾花的花萼長度和

花瓣長度（單位：cm），繪制散點圖如圖所示，計算得樣本相關系數為，利用最小二乘法求得相

應的經驗回歸方程為，根據以上信息，如下判斷正?=確0的.8為64（2）