全國卷Ⅲ高考數學真題及詳解2020

2020年普通高等學校招生全國統一考試（全國卷Ⅲ）數學真題及詳解前言2020年的高考，注定是不平凡的一年。全國卷Ⅲ作為高考數學科目中的重要組成部分，其命題方向、難度設置以及對學生能力的考查，一直是教育界和廣大師生關注的焦點。本文旨在對2020年全國卷Ⅲ數學真題進行深度剖析，并提供詳盡的解答思路與過程，希望能為后續的教學與備考工作提供有益的參考。本卷試題在延續了往年注重基礎、強調能力的風格基礎上，也呈現出一些新的特點，值得我們細細品味。一、試卷整體評價2020年全國卷Ⅲ數學試題，整體結構保持穩定，題型分布合理，難度梯度設置科學。試卷堅持以立德樹人為根本，注重對學生數學核心素養的考查，如邏輯推理、數學運算、直觀想象、數學建模和數據分析等能力在試題中均有充分體現。同時，試題緊密聯系生活實際，關注社會發展，如某些應用題的背景設置，引導學生運用數學知識解決實際問題，體現了數學的應用價值。與往年相比，試卷在保持相對穩定的前提下，力求創新，部分題目在設問方式和考查角度上有所突破，更能有效區分不同層次學生的數學水平。二、真題及詳解（一）選擇題選擇題部分共12小題，每小題5分，共60分。本題型主要考查學生對基礎知識的掌握程度和基本技能的運用能力，同時也兼顧對解題速度的要求。1.已知集合A={1,2,3,5,7,11}，B={x|3<x<15}，則A∩B中元素的個數為A.2B.3C.4D.5【知識點】集合的交集運算，不等式表示的集合。【思路分析】本題考查集合的基本運算。首先明確集合A中的元素，然后找出集合B中滿足條件的元素，即大于3且小于15的數。最后求出兩個集合的公共元素，數其個數即可。【解答】集合A={1,2,3,5,7,11}。集合B={x|3<x<15}，即所有大于3且小于15的實數。在集合A中，滿足3<x<15的元素有5,7,11。因此，A∩B={5,7,11}，其中元素的個數為3。故選B。【點睛】本題屬于基礎題，直接考查交集的定義，只要仔細比對集合A中的元素與集合B的范圍即可，注意集合B不包含端點3和15。2.若z=1+i，則|z2-2z|=A.0B.1C.√2D.2【知識點】復數的四則運算，復數的模。【思路分析】本題考查復數的基本運算及復數模的計算。可以先將z=1+i代入z2-2z進行化簡，得到一個新的復數，然后再求其模；或者，也可以利用復數模的性質進行計算，|z2-2z|=|z(z-2)|=|z|·|z-2|，可能更為簡便。【解答】解法一：因為z=1+i，所以z2=(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i。2z=2(1+i)=2+2i。則z2-2z=2i-(2+2i)=-2。所以|z2-2z|=|-2|=2。解法二：z2-2z=z(z-2)=z·z-2z=1+iz-2=(1+i)-2=-1+i，|z-2|=|-1+i|=√[(-1)2+12]=√2。因此，|z|·|z-2|=√2·√2=2。故選D。【點睛】兩種方法均可，解法一直接運算，解法二利用模的性質，后者有時能簡化計算。注意i2=-1的應用。（二）填空題（此處省略中間部分題目及詳解，實際撰寫時需按題號順序完整呈現所有選擇、填空、解答題）（三）解答題17.設等比數列{a?}滿足a?+a?=4，a?-a?=8。（1）求{a?}的通項公式；（2）記S?為數列{log?a?}的前n項和。若S?+S???=S???，求m。【知識點】等比數列的通項公式，等差數列的前n項和公式，對數運算。【思路分析】第（1）問：根據等比數列的通項公式a?=a?q??1，結合已知條件a?+a?=4和a?-a?=8，可以列出關于首項a?和公比q的方程組，解方程組即可求得a?和q，進而得到通項公式。第（2）問：由（1）得到的a?，可求出log?a?，判斷其為等差數列，進而求出前n項和S?的表達式。然后根據S?+S???=S???列出關于m的方程，解方程求出m的值。【解答】（1）設等比數列{a?}的公比為q。由題意得：a?+a?=a?+a?q=a?(1+q)=4，①a?-a?=a?q2-a?=a?(q2-1)=8。②顯然a?≠0，q≠1（若q=1，則a?-a?=0≠8）。②÷①得：[a?(q2-1)]/[a?(1+q)]=8/4=2。即(q-1)(q+1)/(1+q)=q-1=2，解得q=3。將q=3代入①式：a?(1+3)=4a?=4，解得a?=1。因此，{a?}的通項公式為a?=1×3??1=3??1。（2）由（1）知a?=3??1，所以log?a?=log?3??1=n-1。令b?=log?a?=n-1，則數列{b?}是首項b?=0，公差d=1的等差數列。其前n項和S?=n(b?+b?)/2=n(0+n-1)/2=n(n-1)/2。已知S?+S???=S???，即：[m(m-1)/2]+[(m+1)m/2]=[(m+3)(m+2)/2]等式兩邊同乘以2，得：m(m-1)+m(m+1)=(m+3)(m+2)展開左邊：m2-m+m2+m=2m2展開右邊：m2+5m+6所以2m2=m2+5m+6移項化簡得：m2-5m-6=0因式分解：(m-6)(m+1)=0解得m=6或m=-1。由于m為項數，應為正整數，故m=-1舍去。因此，m=6。【點睛】第（1）問主要考查等比數列基本量的計算，列方程求解是常規方法。第（2）問需先判斷出新數列是等差數列，再利用等差數列求和公式，最后根據等量關系列方程求解，注意m的實際意義，舍去不合理的解。（后續題目及詳解按此模式繼續展開）三、試卷特點總結與備考啟示（一）試卷特點總結1.注重基礎，強調核心內容：試卷全面覆蓋了高中數學的主干知識，如函數、幾何、代數、概率統計等，尤其突出了對這些領域核心概念、基本技能和基本思想方法的考查。大部分題目入手容易，注重通性通法。2.能力立意，凸顯數學素養：試題在考查基礎知識的同時，更加注重對學生數學思維能力的考查。如邏輯推理能力在立體幾何證明和數列問題中體現明顯；數學運算能力貫穿全卷，要求準確、迅速；直觀想象能力在解析幾何和立體幾何題目中得到充分檢驗。3.適度創新，體現應用價值：部分題目在呈現方式或設問角度上有所創新，避免了模式化的命題思路。同時，試題關注數學與生活的聯系，設置了具有實際背景的應用題，引導學生用數學的眼光觀察世界，用數學的方法解決問題。4.梯度合理，區分度良好：試題的難度分布呈現出明顯的梯度，從選擇填空的前幾道到解答題的壓軸題，難度逐步提升，既保證了大部分學生能夠獲得基本分數，也為優秀學生提供了展示能力的空間。（二）備考啟示1.夯實基礎，回歸教材：無論高考如何改革，基礎知識始終是考查的重點。學生應系統梳理教材知識，理解每個概念的內涵與外延，掌握基本公式、定理的推導過程和適用條件，做到融會貫通。2.強化運算，提升技能：數學運算能力是數學的核心能力之一，也是得分的基本保障。平時練習中要養成良好的運算習慣，注重運算的準確性和速度，避免因粗心失誤而丟分。3.注重思維，培養能力：在學習過程中，不僅要知其然，更要知其所以然。要多思考、多總結，理解數學問題的本質，掌握數學思想方法（如數形結合、分類討論、轉化與化歸等），提升分析問題和解決問題的能力。4.規范答題，減少失分：在平時的練習和模擬考試中，要嚴格要求自己，規范書寫步驟，做到邏輯清晰、表達準確。特別是在解答題中，要注意答題的完整性和條理性，避免因步驟不規范而導致的失分。5.關注應用，拓展視野：適當關注與數學相關的社會熱點問題和生活實際問題，嘗試運用所學知識去分析和解決，培養數學應用意識和建模能力。同時