廣東省東莞市長安中學2026屆九年級數學第一學期期末聯考模擬試題含解析

廣東省東莞市長安中學2026屆九年級數學第一學期期末聯考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．在RtABC中，∠C=90°，如果，那么的值是（）A．90° B．60° C．45° D．30°2．如圖，△ABC中AB兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是（﹣1，0），以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C′，且△A′B′C′與△ABC的位似比為2：1．設點B的對應點B′的橫坐標是a，則點B的橫坐標是（）A． B． C． D．3．如圖，過反比例函數的圖象上一點作軸于點，連接，若，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．54．如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與相似的是（）A． B．C． D．5．根據阿里巴巴公布的實時數據，截至年月日時，天貓雙全球狂歡節總交易額約億元，用科學記數法表示為（）A． B． C． D．6．下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A． B． C． D．7．如果將拋物線向右平移1個單位，那么所得新拋物線的頂點坐標是（）A． B． C． D．8．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（﹣3，0），其對稱軸為直線x＝﹣，結合圖象分析下列結論：①abc＞0；②3a+c＞0；③當x＜0時，y隨x的增大而增大：④若m，n（m＜n）為方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的兩個根，則m＜﹣3且n＞2；⑤＜0，其中正確的結論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個9．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1和3，則函數值y隨x值的增大而減小時，x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞210．若一元二次方程x2+2x+a=0有實數解，則a的取值范圍是（）A．a<1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥111．若均為銳角，且，則（）.A． B．C． D．12．“泱泱華夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之東．山其何輝，韞卞和之美玉……”這是武漢16歲女孩陳天羽用文言文寫70周年閱兵的觀后感．小汀州同學把這篇氣勢磅礴、文采飛揚的文章放到自己的微博上，并決定用微博轉發的方式傳播．他設計了如下的傳播規則：將文章發表在自己的微博上，再邀請n個好友轉發，每個好友轉發之后，又邀請n個互不相同的好友轉發，依此類推．已知經過兩輪轉發后，共有111個人參與了宣傳活動，則n的值為（）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空題（每題4分，共24分）13．若函數是正比例函數，則__________．14．如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA＝4km，某船從港口A出發，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，則該船與觀測站之間的距離（即OB的長）為_____km.15．如圖，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB,垂足為C，OC=3cm，則⊙O的半徑為______cm.16．如圖，在中，，，把繞點順時針旋轉得到，若點恰好落在邊上處，則______°.17．如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉到矩形AB′C′D′的位置，旋轉角為α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，則∠α=．18．關于的方程一個根是1，則它的另一個根為________．三、解答題（共78分）19．（8分）已知二次函數.（1）當二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0）時，求二次函數的解析式；（2）如圖，當m=2時，該拋物線與y軸交于點C，頂點為D，求C、D兩點的坐標；（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點P，使得PC+PD最短？若P點存在，求出P點的坐標；若P點不存在，請說明理由．20．（8分）文具店有三種品牌的6個筆記本，價格是4，5，7（單位：元）三種，從中隨機拿出一個本，已知（一次拿到7元本）．（1）求這6個本價格的眾數．（2）若琪琪已拿走一個7元本，嘉嘉準備從剩余5個本中隨機拿一個本．①所剩的5個本價格的中位數與原來6個本價格的中位數是否相同？并簡要說明理由；②嘉嘉先隨機拿出一個本后不放回，之后又隨機從剩余的本中拿一個本，用列表法求嘉嘉兩次都拿到7元本的概率．21．（8分）如圖，直線經過⊙上的點，直線與⊙交于點和點，與⊙交于點，連接，.已知，，，.（1）求證：直線是⊙的切線；（2）求的長.22．（10分）已知二次函數y＝x2－2mx＋m2＋m－1（m為常數）．（1）求證：不論m為何值，該二次函數的圖像與x軸總有兩個公共點；（2）將該二次函數的圖像向下平移k（k＞0）個單位長度，使得平移后的圖像經過點（0，－2），則k的取值范圍是．23．（10分）甲、乙兩個袋中均裝有三張除所標數值外完全相同的卡片，甲袋中的三張卡片上所標有的三個數值為﹣7，﹣1，1．乙袋中的三張卡片所標的數值為﹣2，1，2．先從甲袋中隨機取出一張卡片，用x表示取出的卡片上的數值，再從乙袋中隨機取出一張卡片，用y表示取出卡片上的數值，把x、y分別作為點A的橫坐標和縱坐標．（1）用適當的方法寫出點A（x，y）的所有情況．（2）求點A落在第三象限的概率．24．（10分）解方程：x+3＝x（x+3）25．（12分）解方程：2(x-3)=3x(x-3)．26．如圖，已知點D在△ABC的外部，AD∥BC，點E在邊AB上，AB?AD＝BC?AE．(1)求證：∠BAC＝∠AED；(2)在邊AC取一點F，如果∠AFE＝∠D，求證：．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】根據銳角三角函數的定義解得即可．【詳解】解：由已知，，∵∴∵∠C=90°∴=45°故選：C本題考查了銳角三角函數的定義，解答關鍵是根據定義和已知條件構造等式求解．2、D【解析】設點B的橫坐標為x，然后表示出BC、B′C的橫坐標的距離，再根據位似變換的概念列式計算．【詳解】設點B的橫坐標為x，則B、C間的橫坐標的長度為﹣1﹣x，B′、C間的橫坐標的長度為a+1，∵△ABC放大到原來的2倍得到△A′B′C，∴2（﹣1﹣x）＝a+1，解得x＝﹣（a+3），故選：D．本題考查了位似變換，坐標與圖形的性質，根據位似變換的定義，利用兩點間的橫坐標的距離等于對應邊的比列出方程是解題的關鍵．3、C【分析】根據，利用反比例函數系數的幾何意義即可求出值，再根據函數在第一象限可確定的符號.【詳解】解：由軸于點，，得到又因圖象過第一象限,，解得故選C本題考查了反比例函數系數的幾何意義.4、B【分析】根據相似三角形的判定方法一一判斷即可．【詳解】解：因為中有一個角是135°，選項中，有135°角的三角形只有B，且滿足兩邊成比例夾角相等，故選B．本題考查相似三角形的性質，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，屬于中考常考題型．5、A【解析】根據科學計數法的表示方法即可得出答案.【詳解】根據科學計數法的表示方法可得：2135應該表示為2.135×103，故答案選擇A.本題考查的是科學計數法的表示方式：（，n為正整數）.6、B【解析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【詳解】A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤．

故選B．考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．7、C【分析】根據拋物線的平移規律得出平移后的拋物線的解析式，即可得出答案．【詳解】解：由將拋物線y=3x2+2向右平移1個單位，得

y=3（x-1）2+2，

頂點坐標為（1，2），

故選：C．本題考查了二次函數圖象與幾何變換，利用平移規律：左加右減，上加下減是解題關鍵．8、C【分析】根據題意和函數圖象中的數據，利用二次函數的性質可以判斷各個小題中的結論是否正確，從而可以解答本題．【詳解】∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠1)與x軸交于點(﹣3，1)，其對稱軸為直線x，∴拋物線y=ax2+bx+c(a≠1)與x軸交于點(﹣3，1)和(2，1)，且，∴a=b，由圖象知：a＜1，c＞1，b＜1，∴abc＞1，故結論①正確；∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠1)與x軸交于點(﹣3，1)，∴9a﹣3b+c=1．∵a=b，∴c=﹣6a，∴3a+c=﹣3a＞1，故結論②正確；∵當x時，y隨x的增大而增大；當x＜1時，y隨x的增大而減小，故結論③錯誤；∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠1)與x軸交于點(﹣3，1)和(2，1)，∴y=ax2+bx+c=a(x+3)(x﹣2)．∵m，n(m＜n)為方程a(x+3)(x﹣2)+3=1的兩個根，∴m，n(m＜n)為方程a(x+3)(x﹣2)=﹣3的兩個根，∴m，n(m＜n)為函數y=a(x+3)(x﹣2)與直線y=﹣3的兩個交點的橫坐標，結合圖象得：m＜﹣3且n＞2，故結論④成立；∵當x時，y1，∴1．故結論⑤正確．故選：C．本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y=ax2+bx+c(a≠1)，二次項系數a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁＞1時，拋物線向上開口；當a＜1時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時(即ab＞1)，對稱軸在y軸左；當a與b異號時(即ab＜1)，對稱軸在y軸右；常數項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于(1，c)；拋物線與x軸交點個數由△決定：△=b2﹣4ac＞1時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=1時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜1時，拋物線與x軸沒有交點．9、A【分析】首先根據拋物線與坐標軸的交點確定對稱軸，然后根據其開口方向確定當x滿足什么條件數值y隨x值的增大而減小即可．【詳解】∵二次函數的圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1、3，∴AB中點坐標為（1，0），而點A與點B是拋物線上的對稱點，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，∵開口向上，∴當x＜1時，y隨著x的增大而減小，故選：A．本題考查了二次函數的性質，掌握二次函數的性質以及判斷方法是解題的關鍵．10、C【分析】根據一元二次方程的根的判別式列不等式求解.【詳解】解：∵方程有實數根∴△=4-4a≥0，解得a≤1故選C．本題考查一元二次方根的判別式，熟記公式正確計算是本題的解題關鍵.11、D【解析】根據三角函數的特殊值解答即可．【詳解】解：∵∠B，∠A均為銳角，且sinA=，cosB=，

∴∠A=30°，∠B=60°．

故選D．本題考查特殊角的三角函數值．12、B【分析】根據傳播規則結合經過兩輪轉發后共有111個人參與了宣傳活動，即可得出關于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】解：依題意，得：1+n+n2＝111，解得：n1＝10，n2＝﹣11（不合題意，舍去）．故選：B．本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】根據正比例函數的定義即可得出答案.【詳解】∵函數是正比例函數∴-a+1=0解得：a=1故答案為1.本題考查的是正比例函數，屬于基礎題型，正比例函數的表達式為：y=kx(其中k≠0).14、1＋1【分析】作AD⊥OB于點D，根據題目條件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分別求出AD、OD、BD的長，從而得出答案．【詳解】如圖所示，過點A作AD⊥OB于點D，由題意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，則∠OAD＝60°，∴∠DAB＝45°，在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝4×＝1（km），OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝4×＝1（km），在Rt△ABD中，BD＝AD＝1km，∴OB＝OD＋BD＝1＋1（km），故答案為：1＋1．本題主要考查解直角三角形的應用?方向角問題，解題的關鍵是構建合適的直角三角形，并熟練運用三角函數進行求解．15、5【分析】先根據垂徑定理得出AC的長，再由勾股定理即可得出結論．【詳解】連接OA，∵OC⊥AB，AB=8，∴AC=4，∵OC=3，∴OA=故答案為：5.此題考查勾股定理、垂徑定理及其推論，解題關鍵在于連接OA作為輔助線.16、100【分析】作AC與DE的交點為點O，則∠AOD=∠EOC，根據旋轉的性質，CD=CB，即∠CDB=∠B=∠EDC=70°，∠B=70°,則∠ADE=180°-2∠B=40°，再由AB=AC可得∠B=∠ACB=70°即A=40°，再根據三角和定理即可得∠AOD=180°-40°-40°=100°，即可解答.【詳解】如圖，作AC交DE為O則∠AOD=∠EOC根據旋轉的性質，CD=CB，∠CDB=∠B=∠EDC=70°，∠B=70°,則∠ADE=180°-2∠B=40°AB=AC∠B=∠ACB=70°∴∠A=40°∠AOD=180°-∠A-∠ADO∠AOD=180°-40°-40°=100°∠AOD=∠EOC∠1=100°本題考查旋轉的性質，解題突破口是作AC與DE的交點為點O，即∠AOD=∠EOC.17、．【解析】試題分析：根據矩形的性質得∠B=∠D=∠BAD=90°，根據旋轉的性質得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用對頂角相等得到∠1=∠2=110°，再根據四邊形的內角和為360°可計算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度數．解：如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=∠D=∠BAD=90°，∵矩形ABCD繞點A順時針旋轉得到矩形AB′C′D′，∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，∵∠1=∠2=110°，∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，∴∠4=90°﹣70°=20°，∴∠α=20°．故答案為20°．18、1【分析】利用一元二次方程根與系數的關系，即可得出答案．【詳解】由一元二次方程根與系數的關系可知，∵關于的方程一個根是1，∴它的另一個根為1，故答案為：1．本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．三、解答題（共78分）19、（1）或；（2）C點坐標為：（0，3），D（2，－1）；（3）P（，0）．【分析】（1）根據二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0），直接代入求出m的值即可．（2）把m=2，代入求出二次函數解析式，利用配方法求出頂點坐標以及圖象與y軸交點即可．（3）根據兩點之間線段最短的性質，當P、C、D共線時PC+PD最短，利用相似三角形的判定和性質得出PO的長即可得出答案．【詳解】解：（1）∵二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0），∴代入得：，解得：m=±1．∴二次函數的解析式為：或．（2）∵m=2，∴二次函數為：．∴拋物線的頂點為：D（2，－1）．當x=0時，y=3，∴C點坐標為：（0，3）．（3）存在，當P、C、D共線時PC+PD最短．過點D作DE⊥y軸于點E，∵PO∥DE，∴△COP∽△CED．∴，即，解得：∴PC+PD最短時，P點的坐標為：P（，0）．20、（1）眾數是7；（2）①相同；見詳解；②【分析】(1)由概率公式求出7元本的個數，由眾數的定義即可得出答案；

(2)①由中位數的定義即可得出答案；

②用列表法得出所有結果，嘉嘉兩次都拿到7元本的結果有6個，由概率公式即可得出答案．【詳解】解:（1）∵（一次拿到7元本），

∴7元本的個數為6×=4(個)，按照從小到大的順序排列為4，5，7，7，7,7,

∴這6個本價格的眾數是7.（2）①相同；∵原來4、5、7、7、7、7，∴中位數為，5本價格為4、5、7、7、7，中位數為7，∴，∴相同.②見圖第一個第二個4577745777∴（兩次都為7）.本題考查了眾數、中位數以及列表法求概率；熟練掌握眾數、中位數的定義，列表得出所有結果是解題的關鍵．21、（1）見解析；（2）【解析】（1）欲證明直線AB是O的切線，只要證明OC⊥AB即可．

（2）作ON⊥DF于N，延長DF交AB于M，在RT△CDM中，求出DM、CM即可解決問題．【詳解】（1）證明：連結OC，∵OA=OB，AC=CB∴，∵點C在⊙O上，∴AB是⊙O的切線，（2）作于N，延長DF交AB于M．∵，∴DN=NF=3，在中，∵，OD=5，DN=3，∴又∵，，∴∴FM//OC∵，∴，∴四邊形OCMN是矩形，∴CM=ON=4，MN=OC=5在中，∵，∴.本題考查了切線的判定，矩形的判定及性質，結合圖形作合適的輔助線，想法證明OC⊥AB時解題的關鍵.22、（1）證明見解析；（2）k≥.【分析】（1）根據判別式的值得到△=（2m－1）2＋3＞0，然后根據判別式的意義得到結論；

（2）把（0，－2）帶入平移后的解析式，利用配方法得到k=(m+)2+，即可得出結果.【詳解】（1）證：當y=0時x2－2mx＋m2＋m－1＝0∵b2－4ac＝（－2m）2－4（m2＋m－1）＝8m2－4m2－4m＋4＝4m2－4m＋4＝（2m－1）2＋3＞0∴方程x2－2mx＋m2＋m－1＝0有兩個不相等的實數根∴二次函數y＝x2－2mx＋m2＋m－1圖像與x軸有兩個公共點（2）解：平移后的解析式為:y＝x2－2mx＋m2＋m－1-k,過(0,-2),∴-2=0-0+m2+m-1-k,∴k=m2+m+1=(m+)2+,∴k≥.本題考查了二次函數圖象與幾何變換以及圖象與x軸交點個數確定方法，能把一個二次三項式進行配方是解題的關鍵．23、（1）（﹣7，﹣2），（﹣1，﹣2），（1，﹣2），（﹣7，1），（﹣1，1），（1，1），（﹣7，2），（﹣1，2），（