第15章第06講 課題學習：最短路徑問題（3個知識點+2類熱點題型講練+習題鞏固）（原卷版）

第06講綜合與實踐：最短路徑問題課程標準學習目標①最短路徑的基本原理②利用軸對稱只是解決最短路徑問題③利用平移解決造橋選址問題掌握最短路徑的基本原理，即兩點之間線段最短與點到直線的距離最短。掌握最短路徑的幾種模型，能夠熟練的運用軸對稱，垂直平分線的性質解決相應題目。知識點01最短路徑的基本原理最短路徑的基本原理：①兩點之間，線段。如圖，號線最短②點到直線的距離。如圖，最短。②圖③圖③垂直平分線上任意一點到線段兩端點的距離。如圖，MN是垂直平分線，CA=。知識點02利用軸對稱解決最短路徑問題兩點一線型（兩點在直線的異側）：問題：如圖1，直線兩側有點A與點B，在直線l上找一點p，使PA＋PB最小。作法：如圖2，連接AB，AB與直線l的交點即為點P。結論：PA＋PB最小原理：兩點之間，線段最短。圖1圖2兩點一線型（兩點在直線的同側）：問題：如圖1，直線兩同側有點P與點Q，在直線l上找一點M，使MP＋MQ最小。作法：如圖2，作其中一點關于直線的對稱點，連接對稱點與另一點，線段與直線的交點即為要找的點M。即作點P關于直線l的對稱點p’。連接P’Q，P’Q與直線l交于即為點M。結論：MP＋MQ最小。原理證明：∵P與P’關于直線l對稱∴直線l是PP’的∴MPMP’∴MP＋MQ＝＋MQ＝?！郙P＋MQ此時有最小值，為的長度圖1圖2【即學即練1】1．如圖，一條筆直的河l，牧馬人從P地出發，到河邊M處飲馬，然后到Q地，現有如下四種方案，可使牧馬人所走路徑最短的是（）A． B． C． D．【即學即練2】2．如圖，在等邊三角形ABC中，AD是邊BC上的中線，且AD＝6，E是AD上的一個動點，F是邊AB的中點，在點E運動的過程中，BE+EF的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8一點兩線型：問題：如圖1，已知∠MON以及角內一點P，角的兩邊OM與ON上存在點A與點B，使得△PAB的周長最小。作法：如圖2，分別作點P關于OM與ON的對稱點P’與P’’，連接P’P’’。P’P’’與OM、ON的交點A與B即為要找到的點。結論：△PAB的周長最小。原理證明：證明：∵P與P’關于OM對稱，P與P’’關于ON對稱∴OM是PP’的，ON是PP’’的?！郃PAP’，BPBP’’∴＝＋AB＋＝∴△PAB的周長最小。圖1圖2【即學即練1】3．如圖，已知∠O，點P為其內一定點，分別在∠O的兩邊上找點A、B，使△PAB周長最小的是（）A． B． C． D．【即學即練2】4．如圖，∠AOB＝30°，點P為∠AOB內一點，OP＝8．點M、N分別在OA、OB上，則△PMN周長的最小值為．兩點兩線型：問題：如圖1，已知∠AOB以及角內兩點點P與點Q，角的兩邊上分別存在M、N使得四邊形PQMN的周長最小。作法：如圖2，分別作點關于較近直線的對稱點，連接兩個對稱點的線段與邊OA與OB相交與點M與點N，此時點M與點N即為要找的點。即作點Q關于OA的對稱點D，點P關于OB的對稱點C，連接DC，DC與OA交于點M，與OB交于點N，連接QM，MN，PN，PQ。結論：四邊形PQMN的周長最小。原理證明：∵Q與D關于OA對稱，P與C關于OB對稱∴OA是QD的，OB是PC的?！郙DMQ，NPNC。＝PQ＋＋MN＋＝PQ＋。∴四邊形PQMN的周長最小。圖1圖2【即學即練1】5．已知：∠AOB，點M和點N，試在OA、OB上分別找點P、Q，使四邊形MNQP的周長最短．（尺規作圖，不需寫作法，保留作圖痕跡）【即學即練2】6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，點D，E是邊AB上的兩個定點，點M，N分別是邊AC，BC上的兩個動點．當四邊形DEMN的周長最小時，∠DNM+∠EMN的大小是（）A．45° B．90° C．75° D．135°知識點03利用平移解決造橋選址問題造橋選址問題：問題：如圖1，平行河岸兩側各有一村莊P、Q，現在河上修建一座垂直于河岸的橋，使得村莊P到村莊Q的路程最短。作法：如圖2，在其中一個村莊作垂直于河岸的直線，使其長度等于橋的長度，連接端點與另一村莊，直線與另一村莊岸邊的交點即為選址地點。圖1圖2【即學即練1】7．如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊P經橋過河到村莊Q的路程最短，應該選擇路線（）A．路線：PF→FQ B．路線：PE→EQ C．路線：PE→EF→FQ D．路線：PE→EF→FQ題型01最短路徑作圖【典例1】小王準備在紅旗街道旁建一個送奶站，向居民區A，B提供牛奶，要使A，B兩小區到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應該在（）A． B． C． D．【變式1】如圖，A、B是兩個居民小區，快遞公司準備在公路l上選取點P處建一個服務中心，使PA+PB最短．下面四種選址方案符合要求的是（）A． B． C． D．【變式2】已知：如圖，點A和點B在直線l同一側．求作：直線l上一點P，使PA+PB的值最?。咀兪?】如圖，直線l1、l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2，現要在這條河上建一座橋，使得村莊A經橋過河到村莊B的路程最短，現兩位同學提供了兩種設計方案，下列說法正確的是（）方案一：①將點A向上平移d得到A'；②連接A'B交l1于點M；③過點M作MN⊥l1，交l2于點N，MN即橋的位置．方案二：①連接AB交l1于點M；②過點M作MN⊥l1，交l2于點N．MN即橋的位置．A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行【變式4】在OA、OB分別有兩個動點M、N，網格內有一固定點P，要使得△PMN周長最小，請在圖中規范地做出M、N兩點的位置，并說明理由．【變式5】如圖，電信部門要在S區修建一座電視信號發射塔．按照設計要求，發射塔到兩個城鎮A，B距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．發射塔應修建在什么位置？在圖上標出它的位置．（保留作圖痕跡）【變式6】如圖，牧馬人從A地出發，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，要求指出最短路徑．同學甲：牧馬人從A地出發，把馬牽到草地與河邊的交匯處N點，牧馬又飲馬，然后回到B處．同學乙：作A點關于直線MN對稱的A′點，再作B點關于直線l對稱的B′點，連接A′B′交直線MN于Q點，交直線l于P點，則路徑A→Q→P→B為最短路徑．你認為哪位同學指出的最短路徑正確？畫出圖形，并說明理由．題型02最短路徑的計算【典例1】如圖，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC邊上的中線且AD＝12，F是AD上的動點，E是AC邊上的動點，則CF+EF的最小值為．【典例1】【變式1】【變式2】【變式1】如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP＝6cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，若△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【變式2】如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M，N分別是BC，AB邊上的動點，∠B＝58°，當△DMN的周長最小時，∠MDN的度數是（）A．122° B．64° C．62° D．58°【變式3】如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，P是AD上的一個動點，當PC與PE的和最小時，∠CPE的度數是．【變式3】【變式4】【變式5】【變式4】如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點，M是EF上一個動點，△ABC的面積為12，BC＝4，則△BDM周長的最小值是．【變式5】如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面積是20，AC的垂直平分線EF分別交AC、AB邊于E、F點，若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．12【變式6】如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP＝8cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，△PMN周長的最小值是8cm，則∠AOB的度數是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式7】如圖，點E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝6，射線CD⊥BC于點C，點P是射線CD上一動點，點F是線段AB上一動點，當EP+PF的值最小時，BF＝7，則AC為．【變式8】已知點P在∠MON內．（1）如圖1，點P關于射線OM的對稱點是G，點P關于射線ON的對稱點是H，連接OG、OH、OP．①若∠MON＝50°，則∠GOH＝；②若PO＝5，連接GH，請說明當∠MON為多少度時，GH＝10；（2）如圖2，若∠MON＝60°，A、B分別是射線OM、ON上的任意一點，當△PAB的周長最小時，求∠APB的度數．1．如圖，在正方形網格中有M，N兩點，在直線l上求一點P使PM+PN最短，則點P應選在（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點2．如圖，在等邊三角形ABC中，BC邊上的中線AD＝6，E是AD上的一個動點，F是邊AB上的一個動點，在點E，F運動的過程中，EB+EF的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果點D，E分別為BC，AB上的動點，那么AD+DE的最小值是（）A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.84．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）A．2.4 B．4.8 C．4 D．55．如圖，在△ABC中，AB＝AC，邊AC的垂直平分線MN分別交AB、AC于點M、N，點D是邊BC的中點，點P是MN上任意一點，連接PD、PC，若∠A＝40°，則當△PCD周長最小時，∠CPD＝（）A．25° B．30° C．35° D．40°6．如圖，已知∠AOB＝α，C是∠AOB內部的一點，且OC＝3，點D、E分別是OA、OB上的動點，若△CDE周長的最小值等于3，則α＝（）A．45° B．40° C．35° D．30°7．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分別是BC，DC上的點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數為（）A．100° B．90° C．70° D．80°8．如圖，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面積為12，CD⊥AB于點D，直線EF垂直平分BC交AB于點E，交BC于點F，P是線段EF上的一個動點，則△PBD的周長的最小值是（）A．6 B．7 C．10 D．129．如圖，點N在等邊△ABC的邊BC上，CN＝6，射線BD⊥BC，垂足為點B，點P是射線BD上一動點，點M是線段AC上一動點，當MP+NP的值最小時，CM＝7，則AC的長為（）A．8 B．9 C．10 D．1210．如圖，等邊△ABC中，D為AC中點，點P、Q分別為AB、AD上的點，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一動點E，則PE+QE的最小值為（）A．7 B．8 C．10 D．1211．如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD平分∠BAC，N是AC上一動點（不與A，C重合），M是AD上一動點（不與A，D重合），則CM+MN的最小值為．12．如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面積為24．點E在邊AC上，點F在邊AB上，且EF垂直平分AC，點D是邊BC的中點，點M在線段EF上移動，連接CM，DM，則△CDM的周長的最小值為．13．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點M，N，使△AMN周長最小，此時∠MAN＝80°，則∠BAD的度數為．14．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數是．15．已知：如圖，∠AOB＝30°，點M，N分別是邊OA，OB上的定點，點P，Q分別是邊OB，OA上的動點，記∠MPQ＝α，∠PQN＝β．當MP+PQ+QN最小時，