2025高考數學專項復習：概率（五）含解析

人教A版數學概率專題五

知識點一決策中的概率思想，獨立重復試驗的概率問題，求離散型隨機變量的均值，超幾何

分布的分布列

典例1、某公司在聯歡活動中設計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有3個紅球和4個

白球，這些球除顏色外完全相同.游戲參與者可以選擇有放回或者不放回的方式從中依

次隨機摸出3個球，規定至少摸到兩個紅球為中獎.現有一位員工參加此摸獎游戲.

（1）如果該員工選擇有放回的方式（即每摸出一球記錄后將球放回袋中再摸下一個）摸

球，求他能中獎的概率；

（2）如果該員工選擇不放回的方式摸球，設在他摸出的3個球中紅球的個數為X,求X

的分布列和數學期望；

（3）該員工選擇哪種方式摸球中獎的可能性更大？請說明理由.

隨堂練習：某公司生產某種食用菌，為了銷往全國各地，把該食用菌分為一級、優級、

特級、珍品共四個等級，并以每件0.5kg的標準進行統一包裝.某采購商訂購了一批這

種食用菌，并從中隨機抽取100件，按該食用菌的等級分類標準得到數據如下表：

等級一級優級特級珍品

件數20103040

（1）以樣本估計總體，將頻率視為概率，從這100件食用菌中有放回隨機抽取3件，求

恰好抽到2件珍品的概率；

（2）用分層抽樣的方法從這100件食用菌中抽取10件，再從抽取的10件中隨機抽取3

件，設X表示抽取的是珍品等級的件數，求X的分布列及數學期望.

典例2、為了引導居民合理用電，國家決定實行合理的階梯電價，居民用電原則上以住

宅單位（一套住宅為一戶）.

階梯級別第一階梯第二階梯第三階梯

月用電范圍（度）

某市隨機抽取10戶同一個月的用電情況，得到統計表如下:

居民用電編號12345678910

用電量（度）538690124132200215225300410

（1）若規定第一階梯電價每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階

梯超出第二階梯每度Q8元，式計算A居民用電戶用電410度時應交電費多少元？

（2）現要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的用戶數的分布與期望；

（3）以表中抽到的10戶作為樣本估計全是居民用電，現從全市中依次抽取10戶，若抽

至以戶用電量為第一階梯的可能性最大，求左的值.

隨堂練習：根據歷史資料顯示，某種慢性疾病患者的自然痊愈率為5%為試驗種新藥，

在有關部門批準后，醫院將此藥給10位病人服用，試驗方案為：若這10人中至少有2

人痊愈，則認為該藥有效，提高了治愈率；否則，則認為該藥無效.

（1）如果在該次試驗中有5人痊愈，院方欲從參加該次試驗的10人中隨機選2人了解

服藥期間的感受，記抽到痊愈的人的個數為X,求X的概率分布及數學期望；

（2）如果新藥有效，將治愈率提高到了50%,求通過試驗卻認定新藥無效的概率P,并

根據P的值解釋該試驗方案的合理性.

（參考結論：通常認為發生概率小于5%的事件可視為小概率事件）

(1)“單板滑雪”與“自由式滑雪”每項參與人數都超過30人的學校可以作為“參與冬

奧運動積極學校”，現在從這10所學校中隨機選出3所，記X為選出“參與冬奧運

動積極學校”的學校個數，求X的分布列和數學期望；

(2)現在有一個“單板滑雪”集訓營，對“滑行、轉彎、跳躍、停止”這4個動作技巧

進行集訓，且在集訓中進行了多輪測試.規定：在一輪測試中，這4個動作中至少

有3個動作達到“優秀”，則該輪測試記為“優秀”.在集訓測試中，小明同學“滑

行”這個動作達到“優秀”的概率均為:，其余每個動作達到“優秀”的概率都為:，

每個動作互不影響且每輪測試互不影響.如果小明同學在集訓測試中要想獲得“優

秀”的次數的平均值達到5次，那么理論上至少要進行多少輪測試？

隨堂練習：北京時間2022年4月16日09時56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風

著陸場成功著陸，神舟十三號載人飛行任務取得圓滿成功，全體中華兒女深感無比榮光.

半年“出差”，神舟十三號航天員順利完成全部既定任務，創造了實施徑向交會對接、

實施快速返回流程、利用空間站機械臂操作大型在軌飛行器進行轉位試驗等多項“首次”.

為了回顧“感覺良好”三人組太空“出差亮點”，進一步宣傳航空科普知識，某校組織

了航空知識競賽活動.活動規定初賽需要從8道備選題中隨機抽取4道題目進行作答.假

設在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是;且每道題正確完成與否互不影響，

小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成.

(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率；

（2）設隨機變量X表示小宇正確完成題目的個數，求X的分布列及數學期望；

（3）現規定至少完成其中3道題才能進入決賽，請你根據所學概率知識，判斷小明和小

宇兩人中選擇誰去參加市級比賽（活動規則不變）會更好，并說明理由.

知識點二由頻率分布直方圖估計平均數，利用二項分布求分布列，二項分布的均值,總體百

分位數的估計

典例4、道德與法律的聯系：法律、道德都是行為規范，都是為規范人們的行為而規定的

行動準則.1.法律需要道德的奠基和撐持；2.道德的實施需要法律的強制保障.某校進行

了一次道德與法律的相關測試（滿分：100分），并隨機抽取了50個統計其分數，得到

的結果如下表所示：

成績/分

人數/個44102210

（1）若同一組數據用該區間中點值作代表，試估計這次測試的平均分和中位數（所得結

果四舍五入保留整數）；

（1）求這1000名幸運者成績的第75百分位數和平均值〃（結果保留整數）

典例5、2022年2月20日，北京冬奧會在鳥巢落下帷幕，中國隊創歷史最佳戰績.北京

冬奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運動.

這場冰雪盛會是運動健兒奮力拼搏的舞臺，也是中外文明交流互鑒的舞臺，詮釋著新時

代中國的從容姿態，傳遞出中華兒女與世界人民“一起向未來”的共同心聲.某學校統計

了全校學生觀看北京冬奧會開幕式和閉幕式的時長情況（單位：分鐘），并根據樣本數

據繪制得到右下圖所示的頻率分布直方圖.

隨堂練習：我國是一個嚴重缺水的國家，城市缺水問題較為突出.某市政府為了節約生活

用水，計劃在本市實行居民生活用水定額管理，即確定一個居民用水量標準〃使得87%

的居民生活用水不超過這個標準.在本市居民中隨機抽取了200戶家庭某年的月均用水

量（單位：噸），通過數據分析得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（2）在用水量位于區間［1,2.5）的三類家庭中按照分層抽樣的方法抽取12人參加由政

府組織的一個聽證會（每個家庭有1個代表參會），再從這12人中抽3個代表發言，記

月均用水量不少于2噸人數為X,求X的分布列和數學期望.

典例6、為了解某地區高中生的每天日間戶外活動現狀，分別在兩所學校隨機抽取了部

分學生，得到甲校抽取的學生每天日間戶外活動時間（單位：h）的統計表和乙校抽取的

學生每天日間戶外活動時間（單位：h）的頻率分布直方圖如下.

頻率

［痂

0.48卜——l

22

O.17

O.13

O.

01234時間/h

乙校抽取的學生每天日間戶外活動時間頻率分布直方圖

每天日間戶外活

組別人數

動時間（單位：h）

1120

2比2)250

360

470

甲校抽取的學生每天日間戶外活動時間統計表

（1）根據圖表中的數據，估計甲校學生每天日間戶外活動時間的25%分位數在第幾組;

（2）已知每天日間戶外活動時間不低于2h可以對保護視力起到積極作用.現從乙校全體

學生中隨機選抽取2人，記其中每天日間戶外活動時間不低于2h的人數為用求X

的分布列和數學期望；

(3)根據上述數據，能否推斷甲校抽取的學生每天日間戶外活動時間的平均值一定低于

乙校抽取的學生每天日間戶外活動時間的平均值？說明理由.

質量指標值m150W成350100W成150或350W7Z7W400

等級4級8級

(2)從樣本的8級零件中隨機抽3件，記其中質量指標值在［350,400］的零件的件數為

求4的分布列和數學期望；

(3)該企業為節省檢測成本，采用混裝的方式將所有的零件按500個一箱包裝，已知一

個4級零件的利潤是10元，一個刀級零件的利潤是5元，以樣本分布的頻率作為總

體分布的概率，試估計每箱零件的利潤.

人教A版數學概率專題五答案

典例1、答案：（1）寓135；（2）分布列見解析，Q

（3）在有放回的摸球方式下，該員工中獎可能性更大，理由見解析.

（2）由題意，隨機變量X的可能值為0,1,2,3；

所以X的分布列為

X0123

418121

P

35353535

隨堂練習：答案：（1）:（2）分布列見解析，|

解：（1）設“從這100件食用菌中隨機抽取1件，抽到珍品”為事件4

（2）用分層抽樣的方法從這100件食用菌中抽取10件，其中珍品4件，非珍品6

件，

再從抽取的10件中隨機抽取3件，則￥的可能取值為0,1,2,3,且X服從

超幾何分布.

X的分布列為：

0123

j_J_31

P

6~21030

設取到第二階梯電量的用戶數為乙可知第二階梯電量的用戶有3戶，則《可取

0,1,2,3

故4的分布列是

0123

72171

P

244040120

解：（1）X的所有可能取值為0,1,2

.?.X的分布列如下:

012

252

P

999

故可認為新藥無效事件是小概率事件，從而認為新藥有效，故該試驗方案合理.

典例3、答案：（1）分布列見解析，期望為:（2）27輪

解：（1）“單板滑雪”與“自由式滑雪”每項參與人數超過30人的學校共5所，

X的所有可能取值為0、1、2、3,

所以X的分布列如下表：

X0123

1551

P

12121212

（2）記“小明同學在一輪測試中要想獲得優秀”為事件A,

故至少要進行27輪測試.

1

隨堂練習：答案：（1）崟；（2）分布列見解析；期望為3；（3）小宇；理

2JO

由見解析.

X的分布列為:

X234

343

P

14714

（3）X所有可能取值為0,1,2,3.

故才的分布列為

0123

6448121

P

125125125125

隨堂練習：答案：（1）第75百分位數約為76分，平均值為65分（2）數學期望

為1.1814次.

解：（1）這1000名幸運者成績的第75百分位數為X,

所以這1000名幸運者成績的第75百分位數約為76分，平均值為65分;

（2）設隨機變量Y表示任意一名幸運者的抽獎次數，則F的可能取值為1,2,3,

其分布列為

Y123

P0.841350.13590.02275

所以可以估計任意一名幸運者獲得抽獎次數的數學期望為1.1814次.

所以采用分層隨機抽樣的方式在兩個區間中應分別抽取6人和3人.

X的分布列為

X0123

1184520

P

84848484

（2）用水量位于區間［1,2.5）的三類家庭的頻率比為3:4:5,總共抽取12人,

因此這三類家庭被抽取的人數分別為3人、4人、5人,

所以X的分布列為：

0123

72171

P

44442222

典例6、答案：（1）第2組（2）分布列答案見解析，數學期望：0.6（3）不能,

理由見解析

解：（1）根據表中數據，估計甲校學生每天日間戶外活動時間25%分位數在第2