2025北師大版暑假八升九年級數學銜接講義 專題06 正方形的判定（2知識點+6大題型+思維導圖+過關測）（原卷版）

專題06正方形的判定內容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：6大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握第三步：測過關測穩提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點01：正方形的判定1.定義法：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形；2.先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或對角線相等（即矩形）；3.先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直（即菱形）.知識點02：特殊平行四邊形之間的關系或者可表示為：【題型1正方形的判定定理理解】例題：（24-25八年級下·安徽蕪湖·期中）在平行四邊形中，對角線相交于點，下列條件中，能推出四邊形是正方形的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【變式訓練】1．（2025·內蒙古赤峰·二模）下列正確命題的個數是（

）①有一組鄰邊相等的四邊形是菱形；②四條邊相等的四邊形是正方形；③有一個角是直角的平行四邊形是矩形；④對角線相等的平行四邊形是矩形；⑤對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（24-25八年級下·江蘇南京·階段練習）小琦在復習幾種特殊四邊形的關系時整理出如圖所示的轉換圖，（1）（2）（3）（4）處需要添加條件，則下列條件添加錯誤的是（

）A．（1）處可填 B．（2）處可填C．（3）處可填 D．（4）處可填3．（24-25九年級下·重慶開州·階段練習）下列命題中是真命題的是（

）A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相垂直平分的四邊形是矩形C．對角線互相垂直的矩形是正方形 D．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形【題型2添一個條件使四邊形是正方形】例題：（24-25八年級下·北京·期中）如圖，四邊形是菱形，與相交于點，添加一個條件：，可使它成為正方形．【變式訓練】1．（24-25九年級上·山西晉中·期中）在矩形中，對角線交于點O，要使矩形成為正方形，需添加的條件是（寫出一個符合要求的條件）．2．（24-25九年級上·廣東深圳·期中）如圖，在中，，點D，E，F分別是邊的中點，要使四邊形為正方形，不添加輔助線，可以添加的條件是添加一個條件即可3．（24-25九年級上·山東青島·階段練習）如圖，在中，點、、分別在邊、、上，且，．下列四種說法：①四邊形是平行四邊形；②如果，那么四邊形是矩形；③如果平分，那么四邊形是菱形；④如果且，那么四邊形是正方形．其中，正確的有．（只填序號）【題型3證明四邊形是正方形】例題：（24-25八年級下·重慶綦江·期中）如圖，在中，，，D、E、F分別是邊的中點．

(1)求的長．(2)求證：四邊形是正方形．【變式訓練】1．（24-25八年級下·青海·期中）如圖，在矩形中，是邊上一點，過點作對角線的平行線，交于點，交和的延長線于點，．(1)求證：；(2)若，求證：四邊形是正方形．2．（24-25八年級下·湖北黃石·期中）如圖，在中，平分平分的外角，過點A作垂足為M，垂足為N，連接交于點O．(1)求證：；(2)當線段和滿足什么條件時，四邊形為正方形．3．（2025八年級下·全國·專題練習）如圖，在中，是的中點，是的中點，過點作與的延長線相交于點，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)填空：①當滿足條件時，四邊形是形；②當滿足條件時，四邊形是正方形．【題型4根據正方形的性質與判定求解】例題：（24-25九年級上·陜西西安·期末）如圖，在四邊形中，，，于點，若，則四邊形的面積是．【變式訓練】1．（2025·山西朔州·模擬預測）如圖，在正方形中，為對角線上的一點，于點，若點是的三等分點，，則的長為．2．（24-25九年級上·內蒙古鄂爾多斯·期中）如圖，在四邊形中，，平分，若，則的長為．3．（24-25八年級下·山東青島·期中）在四邊形中，平分，并且，若，，，求的面積．【題型5正方形的性質與判定的綜合問題】例題：（24-25九年級上·貴州六盤水·期末）如圖，在矩形中，的平分線交于點，過點作于點，連接．(1)求證：四邊形是正方形；(2)若，求的度數．【變式訓練】1．（24-25八年級下·江蘇揚州·期中）如圖，在四邊形中，，，，，的垂直平分線交于E，交于F，交的延長線于G，若．(1)求證：四邊形是正方形；(2)求的長．2．（24-25九年級上·全國·單元測試）如圖，在正方形中，E為對角線上一點，連接，過點E作，交延長線于點F，以，為鄰邊作平行四邊形，連接．(1)求證：四邊形是正方形．(2)連接，若，，求的長．3．（24-25八年級下·陜西西安·期中）如圖，在矩形中，的平分線交于點，于點，于點，與交于點．(1)求證：四邊形是正方形；(2)若，求證：；(3)在（2）的條件下，已知，求的長．【題型6與正方形有關的作圖問題（含無刻度作圖）】例題：（24-25九年級上·河南·期末）如圖，在中，，是邊上的中線．(1)尺規作圖：在直線右側作射線，在射線上截取，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)當滿足什么條件時，四邊形為正方形，并說明理由．【變式訓練】1．（24-25八年級下·天津·期中）如圖，已知矩形，(1)尺規作圖：①作的平分線，交邊于點E．②過E做，垂足為F（兩個畫圖都保留作圖痕跡，不寫作法）(2)求證：四邊形是正方形2．（24-25八年級下·廣西南寧·階段練習）如圖，矩形的對角線相交于點．(1)尺規作圖：請在右側作出點，使四邊形是菱形（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）所作的圖中，請解決以下問題：①當時，求菱形的周長；②當時，請判斷四邊形的形狀，并說明理由．3．（2025·浙江金華·二模）已知是菱形的對角線．(1)如圖1，以為圓心，適當長度為半徑作弧，交于點，連接．求證：四邊形是菱形．(2)尺規作圖：在圖2中作正方形，其中在上（保留作圖痕跡，不寫作法）．一、單選題1．（24-25九年級上·湖南長沙·階段練習）下列說法不正確的是（

）A．一組鄰邊相等的矩形是正方形 B．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形C．正方形是軸對稱圖形，且有四條對稱軸 D．正方形的對角線平分一組對角2．（24-25八年級下·湖北武漢·階段練習）下列條件不能判定平行四邊形是正方形的是（

）A．且 B．且C．且 D．且3．（24-25八年級下·廣西南寧·期中）如圖，在中，，，由尺規作圖得射線與邊交于點，過分別作于點．若，則的長為（

）A．2 B． C． D．34．（24-25九年級上·安徽宿州·階段練習）數學課上，老師在投影屏上出示下面的搶答題，需要同學們回答橫線上符號可以代表的內容．如圖，四邊形是平行四邊形，①當※時，平行四邊形是矩形．

②當時，平行四邊形是矩形．③當▲時，平行四邊形是菱形．

④當時，平行四邊形是正方形．則回答不正確的是（

）A．※可以代表 B．◎可以代表C．▲可以代表 D．可以代表5．（23-24七年級下·北京·期中）將矩形紙片沿過點B的直線折疊，使點A落在邊上點F處，折痕為（如圖1）；再沿過點E的直線折疊，使點D落在上的點處，折痕為（如圖2）；再展平紙片（如圖3）．則圖3中的度數是（）A． B． C． D．二、填空題6．（24-25九年級上·全國·單元測試）如圖，菱形的對角線相交于點O，請你添加一個條件，使得該菱形為正方形，添加條件是．（只添一個條件即可）7．（24-25九年級上·全國·課后作業）將矩形紙片按如圖所示的方式折疊，使點A恰好落上的點F處，折痕為，將紙片沿剪下，則折疊部分是一個正方形，其用到的正方形判定方法是．8．（23-24八年級下·福建寧德·期末）如圖，在四邊形中，，，，則的度數是°．9．（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，在四邊形中，，過點A作的垂線交于點E，，，，，則的長為．10．（2025·河北廊坊·二模）在中，；，，將邊繞點A逆時針旋轉，旋轉角為，點的對應點是點，連接，，若旋轉角，則的長為．三、解答題11．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，點E為正方形內一點，將繞點B按順時針方向旋轉，得到，延長交于點F，連接．(1)求證：；(2)若，，寫出四條與相等的線段．12．（23-24八年級下·廣東韶關·期末）如圖，已知四邊形中，，(1)尺規作圖∶過點D作，交于點E(保留作圖痕跡，不要求寫作法)；(2)若，當滿足什么條件時，（1）中作出的四邊形為正方形？并證明你的結論．13．（23-24八年級下·福建福州·期中）如圖，正方形中，，點E是對角線上一點，連接，過點E作，交于點F，以為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形．(2)求的值．14．（2024·甘肅蘭州·一模）如圖，在矩形中，點，分別在，上．將矩形分別沿，翻折后點，均落在點處，此時，，三點共線，若．(1)求證：矩形為正方形；(2)若，求的長．15．（23-24八年級下·安徽阜陽·期末）如圖，正方形中，點是對角線上不與端點重合的一動點，連接．過點作，交于點，以，為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：