2026年高考總復習優化設計一輪復習數學（廣西版）-高考解答題專項三　數列中的綜合問題

高考總復習優化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI數列中的綜合問題高考解答題專項三2026考情分析數列是高考考查的重點內容,在近幾年的高考試卷中,數列解答題的命題趨勢是穩中求變、變中求新、新中求活,以考查數列的基本知識、基本方法為主,滲透綜合應用能力的考查,對數學抽象、數學運算、邏輯推理等多個數學核心素養都有較深入的考查.考點一數列中的結構不良試題例1.(2024河南鄭州一模)設n∈N*,有三個條件:①an是2與Sn的等差中項;②a1=2,Sn+1=a1(Sn+1);③Sn=2n+1-2.在這三個條件中任選一個,補充在下列問題的橫線上,再作答.若數列{an}的前n項和為Sn,且

.

(1)求數列{an}的通項公式;(2)若{anbn}是以2為首項,4為公差的等差數列,求數列{bn}的前n項和Tn.解

(1)選條件①時,由于an是2與Sn的等差中項,所以2an=2+Sn,①當n=1時,解得a1=2;當n≥2時,2an-1=2+Sn-1,②①-②得,2an-2an-1=an,整理得an=2an-1,所以數列{an}是以2為首項,2為公比的等比數列,所以an=2×2n-1=2n(首項符合通項),所以an=2n;選條件②時,由于a1=2,Sn+1=a1(Sn+1),所以Sn+1=2Sn+2,①當n≥2時,Sn=2Sn-1+2,②①-②得,an+1=2an,所以數列{an}是以2為首項,2為公比的等比數列,故an=2×2n-1=2n(首項符合通項),所以an=2n;選條件③時,因為Sn=2n+1-2,所以當n=1時,a1=S1=22-2=2,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,因為n=1時也滿足an=2n,所以an=2n.(2)因為{anbn}是以2為首項,4為公差的等差數列,方法點撥解決結構不良試題的基本策略

對點訓練1在①Sn+1=2Sn+1,②a2=2,③Sn=an+1-1這三個條件中選擇兩個,補充在下面的問題中,給出解答.已知數列{an}的前n項和為Sn,滿足

,

,又知等差數列{bn}為遞增數列,且滿足b1=2,b1,b2,b5成等比數列.

(1)求數列{an}和數列{bn}的通項公式;(2)設cn=anbn,求數列{cn}的前n項和Tn.解

方案一:選擇條件①②.(1)由題意,當n=1時,S2=2S1+1,即a1+a2=2a1+1,化簡得a2=a1+1.又a2=2,∴a1=1.當n≥2時,由Sn+1=2Sn+1,可得Sn=2Sn-1+1,兩式相減,可得an+1=2an.∵a2=2a1也滿足上式,∴數列{an}是以1為首項,2為公比的等比數列,∴an=1·2n-1=2n-1.設等差數列{bn}的公差為d(d>0),則b2=2+d,b5=2+4d.∵b1,b2,b5成等比數列,∴

=b1b5,即(2+d)2=2(2+4d),化簡整理得d2-4d=0,解得d=0(舍去),或d=4,∴bn=2+4(n-1)=4n-2.(2)由(1)知,cn=anbn=(4n-2)·2n-1=(2n-1)·2n,則Tn=c1+c2+…+cn=1·21+3·22+5·23+…+(2n-1)·2n,2Tn=1·22+3·23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,兩式相減得-Tn=1·21+2·22+2·23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1方案二:選擇條件①③.(1)由題意,當n=1時,S2=2S1+1,即a1+a2=2a1+1,化簡得a2=a1+1,將n=1代入Sn=an+1-1,可得a1=a2-1,此時選擇條件①③并不能計算出a1或a2的值,無法計算出數列{an}的通項公式,故方案二不成立.方案三:選擇條件②③.(1)由題意,當n=1時,a1=S1=a2-1=2-1=1.當n≥2時,由Sn=an+1-1,可得Sn-1=an-1,兩式相減得an+1=2an.∵a2=2a1也滿足上式,∴數列{an}是以1為首項,2為公比的等比數列,∴an=1·2n-1=2n-1.設等差數列{bn}的公差為d(d>0),則b2=2+d,b5=2+4d∵b1,b2,b5成等比數列,∴

=b1b5,即(2+d)2=2(2+4d),化簡整理得d2-4d=0,解得d=0(舍去),或d=4,∴bn=2+4(n-1)=4n-2.(2)由(1)知,cn=anbn=(4n-2)·2n-1=(2n-1)·2n,則Tn=c1+c2+…+cn=1·21+3·22+5·23+…+(2n-1)·2n,2Tn=1·22+3·23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,兩式相減得-Tn=1·21+2·22+2·23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1考點二通項與求和問題例2.(2024河北保定二模)已知數列{an}的前n項和為Sn,且

名師點析解決數列中奇偶項問題的方法(1)求奇偶分列的數列的通項公式時,首先要確定奇數項和偶數項的首項,其次要重點確定好通項公式中的項數n與an所在奇數項、偶數項中的項數之間的關系.一般地,當n為奇數時,an在奇數項組成的數列中為第

項;當n為偶數時,an在偶數項組成的數列中為第

項.(2)求奇偶分列的數列的前n項和時,可以分別求出奇數項的和與偶數項的和,然后相加,也可以采用整體思想,把a2k-1+a2k看作一項,求出S2k,再求S2k-1=S2k-a2k;還可以尋求奇數項和與偶數項和的關系,轉化為求奇數項(或偶數項)和的問題.考點三數列中的綜合問題考向1.數列與不等式的綜合

所以Tn=2·2+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n,①所以2Tn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1,②①-②得,-Tn=4+(22+23+…+2n)-(n+1)·2n+1=-n·2n+1,所以Tn=n·2n+1,所以λTn≤(n2+9)·2n,即λn·2n+1≤(n2+9)·2n,名師點析數列與不等式綜合問題的求解策略(1)判斷數列問題中的一些不等關系時,可以利用數列的單調性或借助數列對應函數的單調性比較大小.(2)解決數列中不等式恒成立問題時,仍可采用分離參數求最值的方法,但要注意變量n的取值為正整數.對點訓練3(2024山東青島模擬)已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=2,an+1=Sn+2.(1)求數列{an}的通項公式;考向2.數列與函數、不等式的綜合例4.在各項均為正數的數列{an}中,a1=1,證明

(1)先證明ln(x+1)<x對x∈(0,+∞)恒成立.所以f(x)在區間(0,+∞)上單調遞減,所以當x>0時,f(x)<ln(0+1)-0=0,所以當x∈(0,+∞)時,ln(x+1)<x.名師點析數列與函數、不等式的綜合問題數列與函數、不等式的綜合問題,多以不等式的證明、求最值等問題的形式呈現,解決方法:(1)通過放縮,結合裂項相消求和法進行證明;(2)構造函數,借助導數研究其單調性,再通過變量替換進行證明.所以Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,又2Tn=1·22+2·23+3