天津市濱海新區(qū)2024-2025學年高一年級上冊期末考試數學試題（解析版）

天津市濱海新區(qū)2024-2025學年高一上學期期末考試

數學試題

一、單項選擇題.

1.已知全集。={1,2,3,4,5},A={2,3}<3={1,3,5},則4@§）=（）

A.{2,3,4}B.{2}C.{1,5}D,{1,3,4,5}

【答案】A

【解析】.={2,4},AU（^B）={2,3,4）.

故選：A.

2.已知〃，b,ceR,則下列不等式一定成立的是（）

A.若,貝!JB.若,貝（J

C.若則,D.若ac?>be?,貝!

ab

【答案】D

【解析】對于選項A：例如c=0,則QC=〃C=0,故A錯誤；

對于選項BC:例如〃=1,〃=一1,滿足。>人，則〃2=〃=1，—=1>-I=y,故BC錯

ab

誤；

對于選項D：若a/〉）/,則/>0，可得故D正確.

故選：D.

3.下列函數在定義域內既是奇函數又是增函數的是（）

A.f（-^）-B.f（X）=2X

c./（x）=--D./（%）=Vx

X

【答案】A

【解析】對于A中，函數/（九）=/在定義域內既是奇函數又是增函數，A正確；

對于B中，函數/（無）=2*是定義域內的非奇非偶函數，B錯誤；

對于C中，函數/'（x）=-工是定義域內的奇函數，在（—8,0）和（0,+8）上為增函數，C

X

錯誤;

對于D中，函數/（￡）=?是定義域內的非奇非偶函數，D錯誤.

故選：A.

4.“4<0”是“函數/（力=/+。存在零點”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】若函數=存在零點，且/（力2〃0）=。，等價于aWO，

所以“aW0”是“函數/（力=x2+a存在零點”的充要條件.

故選：C.

5.將y=sin3x的圖象變換為y=sin13x-gj的圖象，下列變換正確的是（）

A.將圖象向左平移2個單位B.將圖象向右平移2個單位

1818

7T7T

C將圖象向左平移一個單位D.將圖象向右平移一個單位

66

【答案】B

【解析】對于A：將圖象向左平移/個單位，可得y=sin3[x+^1）=sin[3x+S）,故A

錯誤;

7T

對于B：將圖象向右平移■^個單位,可得y=sin3卜瑞=sinl3x--^-1,故B正確;

1O

對于C：將圖象向左平移;■個單位，可得y=sin3[x+Ej=sin[3x+]J=cos3x,故C

錯誤；

對于D：將圖象向右平移煮個單位，可得y=sin3[x-《]=sin[3x—']=-cos3x,故

D錯誤.

故選：B.

6.已知/(x)=2x+l,a=log,0.7,b=302-c=0.213,則/(a),于叫,/(c)的

大小關系為()

A./(?)</(c)</(Z?)B./(c)</(a)</(Z?)

C.7(a)</(/?)</(c)D./(Z?)</(c)</(a)

【答案】A

【解析】因為>=log?X在(0,+oo)內單調遞增，則a=log?0.7<log21,即a<o；

>=3工R內單調遞增，則〃=3°2>3°，即6>1；

y=0.2*R內單調遞減，則0<0.2i3<0.2°,所以0<c<l；

綜上所述：a<c<b.

又因為〃x）=2無+1在R內單調遞增，所以/⑷</（c）</0）.

故選：A.

C./（力=/D./（x）=y

【答案】D

【解析】由圖象可知/（。）>0,

對于選項A：因為/（0）=0,故A錯誤；

對于選項B：因為/（0）=—1<0,故B錯誤；

由圖象可知：存在￡>0,使得/（%）在（0,￡）內單調遞減，

對于選項C：因為“=必在（0碼）內單調遞增，且y=e"在R內單調遞增,

可知"可在（0,￡）內單調遞增，故C錯誤.

故選：D.

8.已知函數/（x）=asinx+cosx的圖象關于直線》=:對稱，則曰］的值為（）

A.-72B.OC.1D.也

【答案】B

【解析】因為/（x）=asinx+cosx=J"+lsin（%+夕），

1a

其中sm/=-^=,cos0=-^=,

Na+11a+1

若函數%）=〃sinx+cosx的圖象關于直線x對稱，

為函數“X）的最大值，

7272_/2,1^ZB［在］、|兀）.3兀3TIy/2y/2

則aH\a+1,解得tz=l,所以/1—=sin--Fcos—=--------=0.

22{4J4422

故選：B.

9.已知函數〃無）=優(yōu)必+3（。＞。且"1）的圖象經過定點A,且點A在角。的終邊上,

r,sin8-cos0

貝|J----------=（）

sin0+cos0

11

A.-----B.0C.7D.■—

77

【答案】D

【解析】由題意可得A（3,4）,

4_3

因為點A在角。的終邊上，所以sin8=3,cos，=3,所以sin,cos?：］_1=1

55sin8+cos83+97

55

故選：D.

10.給出下列判斷：

①“X/xeR,J+X+I〉。”的否定為“*eR,f+x+ivo”；

②函數y=二與函數y=x—3是同一個函數;

③若角a與角力的終邊在一條直線上，則a—萬=也(左eZ)；

(尸4)co2s兀--sm,2—兀=—1.

12122

其中，判斷正確的個數為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】對于①：“VXER,九2+1+1>0，，的否定為“王￡R,爐+X+IKO"，故①錯誤;

對于②：因為y=—3)2=|x-3|?

可知函數y=&一3)2與函數y=x—3的對應關系不相同,不為同一函數，故②錯誤；

對于③：若角1與角力的終邊在一條直線上，則a-分=而(左eZ),故③正確;

對于④：cos2--sin2—=cos—=—>故④錯誤;

121262

所以正確的個數為1.

故選：A.

(4—2〃)尤一cix<l

11.已知函數/■(1)=1''在R上單調遞增，則實數a的取值范圍是()

[logaX,X>1

A.(1,2)B.[2,4)C.D.■1，+c0

【答案】C

【解析】因為函數/2a)x「,x<l在口上單調遞增,

logflx,x>l

4-2a>0

一4

所以〈a〉1,解得一<。<2.

3

logfll>4-2a-<2

故選：C.

12.已知函數/(x)=sinox((y>0),給出下列判斷:

2

①若函數y=f(x)的最小正周期不小于371,則0的最大值為一.

3

②若函數y=/(x)滿足/［微)=0,則/=2.

JTJT

③若函數/（力的圖象向左平移（個單位后所得函數在區(qū)間0,-上單調遞增，則。的可

3

能取值為一.

2

④當口二1時，設%],/（再＜/）為方程3sin④r—1=0在區(qū)間（0,兀）上的兩個解，則

其中，判斷正確的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

2兀2

【解析】對于①，因為。＞0,所以T=—23兀，解得。〈口V—,故①正確；

（D3

對于②，若（3=0，即得m=阮（左eZ）,則0=2左（左eZ）,故②錯誤；

對于③，因為圖象平移后令且（尤）=$111（8+等），當xe0*時，

①71COTl(DTI

a)x+——€

6V,V

(DTI…3

——22kli①212k12k<-+6k

依題意16，左eZ,2

,3=顯然＜，左￡Z解得

CO71兀a)<—+6k3

——<—+2fei2—+6人〉0

I322

k=0,

3

又力＞0,因此0＜刃《一，③正確；

2

對于④，因為為,九2￡（°，兀）（玉＜兀2），又因為sin（兀一x）=sinx,所以西+%二兀,

則sin(x2一％)=sin(兀一2%)=sin2%=Zsimqcos%,

xL冥1=逑，故④正

因為sin玉=：,所以cos%=2。，所以sin（%2-%）=2

33339

確；

所以正確的個數為3個.

故選：C.

二、填空題.

13.已知函數是幕函數，若/（4）=2,則〃2）=.

【答案】桓

【解析】根據題意，設/（尤）=下，由/（4）=￥=2,得

故=/⑵=2」=應.

7T

14.弧長為4兀的扇形的圓心角為一，則此扇形的面積為.

3

【答案】2471

4兀.c

=__=]21

【解析】由題設，扇形半徑r7T,故扇形面積為展xl2x4無=24聯

一2

3

9

15.已知函數》=%+—（%>0）,函數y取得最小值為.

x

【答案】6

9I~~99

【解析】因為x>0,則、=工+'22'"'=6,當且僅當尤=—,即x=3時，等號成立,

xVxx

所以函數y取得最小值為6.

16.已知20=3"=log264,則工+'=.

ab

【答案】1

【解析】因為2"=3"=log264=6,所以。=log26,6=log36,

所以工+<=7^+7^=log62+log63=log6（2x3）=l.

ablog26log36

17.y=-的定義域為；若tan[x-=則tanx=.

【答案】與，左3

所以該函數的定義域為:x|Xw左兀+—eZ>；

4

空二：因為tan（九一/）=5,

~,「/兀、7Cr

所以tan九=tan[(x——)+—]=

44r/兀、兀

1-tan(x—)tan—

44

18.1學校舉辦運動會時，高一（1）班共有28名同學參加比賽，有15人參加趣味益智類比

賽.有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加趣味益智類比賽和田徑比賽的

有3人，同時參加趣味益智類比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽.則只參

加趣味益智類一項比賽的人數為；同時參加田徑和球類比賽的人數為.

【答案】93

【解析】因為參加趣味益智類比賽的總人數為15,

且：同時參加趣味益智類比賽和田徑比賽的有3人；

同時參加趣味益智類比賽和球類比賽的有3人.

又因為沒有人同時參加三項比賽，所以只參加趣味益智類一項比賽的人數為：15-3-3=9

人.

設同時參加田徑和球類比賽的人數為X,由題意得：16+（5—x）+（ll—x）+x=28,

解得：%=3,

故同時參加田徑和球類比賽的人數為3.

19.某種茶水用100℃的水泡制，再等到60℃時飲用可產生最佳口感.已知茶水溫度y（單

l

位：C）與經過時間/（單位：min）的函數關系是：y=ka+yG,其中。為衰減比例，%）

是室溫，/=0時.y為茶水初始溫度，若室溫為20℃,=|K茶水初始溫度為100℃,

則上=℃,產生最佳口感所需時間是__________min.

【答案】808

【解析】由題意，y=W+20,當/■=（）時，有y=3'+20=左+20=100,左=80,

貝！Jy=80優(yōu)+20,當y=6。時，即804+20=60,所以80Q'=40,

,[t=_-_I_n_2__-__I_n_2_8o

a'=—,可得，ln〃=-ln2,Ina1

2-In—

82

21

X+XHz、

20.已知函數〃x）=<4,若關于x的方程〃x）=左（左￡R）有四個不同

|lnx-l|,x>0

的解，則左的取值范圍是；四個不同的根從小到大依次記為為，X2,x3,x4,

則x{x2x3x4的取值范圍是.

【答案”ojP4）

【解析】作出函數〃無）的圖象,

關于尤的方程/（力=左（左eR）有四個不同的解,

可知y=f（x）與y=左的圖象有4個交點，由圖象可知k的取值范圍是[（）,；

9

因為一1?玉<——<%2—00<x3<e<x2,且為+%=—1，艮口％1=一％一1，

又因為/（毛）=/（尤4），即|1口尤3—1|二|山工4一1|，

可得（inf_l）+（ln%4.1）=出工3%4-2=0，即％3%4=巳2,

則毛％2尤3%4=（一%2—1）尤2.。2=一。2（工；+9），

因為g（x）=f+%在1―；,0內單調遞增，且g（—；）=一：,g（0）=0,

2

可知g（%）w1一了。，即1e'

--,0,可得占入2%3%4=一已￡0,—,

L4J

所以占x/3%的取值范圍是Jo,].

…L4J

三、解答題.

3...

21.已知sina=—《，。是第二象限角.

(1)求cosa,tan。的值；

(2)求cos［2—a),sin［2a_E］的值.

解：(1)因為。是第三象限角，所以cosa<0,

EAL7934sina3

因為sina+cosc=l，sma=一-,故coso=一-,tana=------=—.

55cosa4

，兀兀,.兀.—夜(4Y(31_772

(2)cos---cc—cos—cosa+sin—sincc——x—H------x——--------，

U)442(5j2(5j10

■-rx°.24io?27

由sm2a=2smacosa=—,cos2a=l-2sina=一，

2525

時“?心兀).0兀。.兀2467124^-7

所以sin|2a——=sin2acoscos2asin—=一x---------x—=------------.

I6625225250

22.已知二次函數/(x)=f+3x-a,aeR.

(1)若a=4時，求不等式/(x)<0的解集；

(2)若函數/(可在區(qū)間［a,a+1］上具有單調性，求實數a的取值范圍：

(3)解關于x的不等式/(x)>ax+2a.

解：(1)當a=4,函數/(%)=k+3%—4,

將/(x)<0代入得爐+3%_4<0，(X+4)(X-1)<0,

不等式的解集為：(T』).

(2)因為/(x)=d+3%一〃的對稱軸為：％=—萬，

3

為了使函數在區(qū)間上單調，對稱軸％=-5需要位于此區(qū)間之外，

3353

a+\<——或——，解得：a<——或〃2——,

2222

因此，實數4的取值范圍為：Iu-|,+ooj.

(3)將原不等式/(x)>雙+2〃代入得爐+3%—Q>ax+2a，

整理后得：x~+(3—a)無一3a>0,即(x+3)(x—a)>0,

①當a<-3時，不等式的解集為：(-oo,a)u(—3,+w),

②當a=—3時，不等式的解集為：(―8,—3)u(—3,y)，

③當a>-3時，不等式的解集為：(—8,-3)u(a,y),

綜上所述：當a<-3時，解集為：(一8,。)“-3,+8)；

當a=—3時，解集為：(口,—3)u(—3,”)；

當a>—3時，解集為：(—8,—3)u(a,+8).

23.己知函數/(x)=cos4x+2sinx-cosx—sin4x+m.

(1)求函數”司的最小正周期；

⑵求函數/(%)的單調遞增區(qū)間：

(3)當xe0,-時，已知/(九)的最大值為頂，求使〃尤)*0成立時自變量尤的集合.

解：(1)由題意知

/(x)=cos4%+2sinx?cosx-sin4x+m=sm2x+(cos2x-sin2x^cos2x+sin2x^+m

=sin2x+cos2x+m=A/2sin2x+—\+m,

I4j

2冗

所以函數/("的最小正周期丁二3二兀.

j?jIjIjIj?

(2)令2左兀——<2%+—<2kn+—,keZ,解得E----<x<kn+—,keZ,

24288

3九jr

所以〃無)的單調遞增區(qū)間為k7t--,kn+-(keZ).

LooJ

(3)當xe0,g,則2x+；e:，乎，可得—14sin12x+0<1,

L2J4144」2

則八％)max=V2+m=V2,解得m=0,

所以/(x)=J^sin[2x+：),

由/(x)之0,即sin12x+；:0,可得?<2x+：<7i,解得OWxW笥，

所以使y