專題10圓的運用問題（精講-精練版）-2025年中考數學高頻考點突破全攻略（解析版）

【課標解讀】 1.圓的基本性質和位置關系是中考考查的重點，但圓中復雜證明及兩圓位置關系的證明會有所下降趨；勢，不會有太復雜的大題出現.

2.今后的中考試題中將更側重于具體問題中考查圓的定義及點與圓的位置關系，對應用、創新、開放、探究型題目，會根據當前的政治形勢、新聞背景和實際生活去命題，進一步體現數學來源于生活，又應用于生活.【解題策略】1.在弄清題意的基礎上把復雜圖形分解為幾個基本圖形進行思考,并適當添加輔助線補全或構造基本圖形，在直徑或有切線的條件下，構造直角三角形或利用圓內角的關系構造相似三角形，從而使已知和未知之間建立聯系.2.掌握常規的與圓有關的問題的證明方法與技巧(如證角相等、證線段相等、證線段垂直等)，掌握與圓有關的圖形(如圓外切三角形、圓內接三角形、圓內接四邊形、圓內接正n邊形等)的特殊性質與計算公式，對于求陰影部分的面積有以下幾種解決方法:方法--:加減法，將陰影部分變成幾個規則圖形的和或差;方法二:割補法，將陰影部分分割成幾部分，然后將它們補在某些合適的地方;方法三:覆蓋法，幾個規則圖形覆蓋在一起，重疊部分就是陰影部分。3.注意數學思想方法的運用，如轉化思想，通過與圓有關的直角三角形的勾股定理把證明問題轉化為方程計算問題等，熟悉并掌握這類問題的常用解題方法和解題策略。【考點深剖】★考點一圓與特殊三角形的綜合【典例1】（2018?廣西）如圖，分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，若AB=2，則萊洛三角形的面積（即陰影部分面積）為（）A． B． C．2 D．2【分析】萊洛三角形的面積是由三塊相同的扇形疊加而成，其面積=三塊扇形的面積相加，再減去兩個等邊三角形的面積，分別求出即可．【解答】解：過A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等邊三角形，★考點二圓與特殊四邊形的綜合【典例2】（2018·江蘇鎮江·8分）如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，點P在邊AD上運動，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與對角線AC交于A，E兩點．（1）如圖2，當⊙P與邊CD相切于點F時，求AP的長；（2）不難發現，當⊙P與邊CD相切時，⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點，隨著AP的變化，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數也在變化，若公共點的個數為4，直接寫出相對應的AP的值的取值范圍．【解答】解：（1）如圖2所示，連接PF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，設AP=x，則DP=10﹣x，PF=x，∵⊙P與邊CD相切于點F，∴PF⊥CD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，∴，∴，∴x=，AP=；故答案為：＜AP＜或AP=5．★考點三圓與相似三角形的綜合【典例3】（2018·遼寧大連·10分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD=90°，點E在BC的延長線上，且∠DEC=∠BAC．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AC∥DE，當AB=8，CE=2時，求AC的長．解：（1）如圖，連接BD．∵∠BAD=90°，∴點O必在BD上，即：BD是直徑，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．∵點D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；★考點四圓與銳角三角函數的綜合【典例4】（2018?萊蕪?10分）如圖，已知A.B是⊙O上兩點，△OAB外角的平分線交⊙O于另一點C，CD⊥AB交AB的延長線于D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）E為的中點，F為⊙O上一點，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接OC，如圖，先證明∠OCB=∠CBD得到OC∥AD，再利用CD⊥AB得到OC⊥CD，然后根據切線的判定定理得到結論；（2）解：連接OE交AB于H，如圖，利用垂徑定理得到OE⊥AB，再利用圓周角定理得到∠ABE=∠AFE，在Rt△BEH中利用正切可設EH=3x，BH=4x，則BE=5x，所以BG=BE=5x，GH=x，接著在Rt△EHG中利用勾股定理得到x2+（3x）2=（3）2，解方程得x=3，接下來設⊙O的半徑為r，然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程（r﹣9）2+122=r2，最后解關于r的方程即可．【解答】（1）證明：連接OC，如圖，∵BC平分∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3）2，解得x=3，∴EH=9，BH=12，設⊙O的半徑為r，則OH=r﹣9，在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122=r2，解得r=，即⊙O的半徑為．★考點五圓與函數的綜合【典例5】（2018?大慶）已知直線y=kx（k≠0）經過點（12，﹣5），將直線向上平移m（m＞0）個單位，若平移后得到的直線與半徑為6的⊙O相交（點O為坐標原點），則m的取值范圍為．【分析】利用待定系數法得出直線解析式，再得出平移后得到的直線，求與坐標軸交點的坐標，轉化為直角三角形中的問題，再由直線與圓的位置關系的判定解答．在Rt△OAB中，AB=，過點O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=OD?AB=OA?OB，∴OD?=×，∵m＞0，解得OD=，由直線與圓的位置關系可知＜6，解得m＜．故答案為：m＜．★考點六有關圓計算的綜合【典例6】（2018·云南省·9分）如圖，已知AB是⊙O上的點，C是⊙O上的點，點D在AB的延長線上，∠BCD=∠BAC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若∠D=30°，BD=2，求圖中陰影部分的面積．【解答】解：（1）連接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠OCA，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∵OC是半徑，∴CD是⊙O的切線（2）設⊙O的半徑為r，∴AB=2r，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴OD=2r，∠COB=60°∴r+2=2r，∴r=2，∠AOC=120°∴BC=2，∴由勾股定理可知：AC=2易求S△AOC=×2×1=S扇形OAC==∴陰影部分面積為﹣。【講透練活】變式1：(2018?陵城區二模）一塊等邊三角形的木板，邊長為1，現將木板沿水平線翻滾（如圖），那么B點從開始至結束所走過的路徑長度為（）A． B． C．4 D．2+變式2：．（2018?臺灣）如圖，坐標平面上，A、B兩點分別為圓P與x軸、y軸的交點，有一直線L通過P點且與AB垂直，C點為L與y軸的交點．若A、B、C的坐標分別為（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，則a的值為何？（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7【分析】連接AC，根據線段垂直平分線的性質得到AC=BC，根據勾股定理求出OA，得到答案．變式3：（2018?樂山?10分）如圖，P是⊙O外的一點，PA.PB是⊙O的兩條切線，A.B是切點，PO交AB于點F，延長BO交⊙O于點C，交PA的延長交于點Q，連結AC．（1）求證：AC∥PO；（2）設D為PB的中點，QD交AB于點E，若⊙O的半徑為3，CQ=2，求的值．變式4：（2018·湖北咸寧·10分）如圖，以△ABC的邊AC為直徑的⊙O恰為△ABC的外接圓，∠ABC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB=25，BC=，求DE的長．【解析】【分析】（1）直接利用圓周角定理以及結合切線的判定方法得出DE是⊙O的切線；（2）首先過點C作CG⊥DE，垂足為G，則四邊形ODGC為正方形，得出tan∠CEG=tan∠ACB，，即可求出答案．（2）在Rt△ABC中，AB=2，BC=，∴AC==5，∴OD=，過點C作CG⊥DE，垂足為G，則四邊形ODGC為正方形，∴DG=CG=OD=，∵DE∥AC，∴∠CEG=∠ACB，∴tan∠CEG=tan∠ACB，∴，即，解得：GE=，∴DE=DG+GE=．變式5：（2018?廣安?9分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，P是BA延長線上一點，PC切⊙O于點C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足為D．（1）求證：∠PCA=∠ABC．（2）過點A作AE∥PC交⊙O于點E，交CD于點F，連接BE，若cos∠P=，CF=10，求BE的長方法二：根據平行線的性質得：OC⊥AE，∠P=∠EAO，由垂直的定義得：∠OCD=∠EAO=∠P，同理利用三角函數求得：CH=8，并設AO=5x，AH=4x，表示OH=3x，OC=3x﹣8，由OC=OA列式可得x的值，最后同理得結論．【解答】證明：（1）連接OC，交AE于H，∵PC是⊙O的切線，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，（1分）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，（2分）∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCA=∠OCB，（3分）∵OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，∴∠PCA=∠ABC；（4分）（2）方法一：∵AE∥PC，∴∠CAF=∠PCA，∵AB⊥CG，∴，∴∠ACF=∠ABC，（5分）∵∠ABC=∠PCA，∴∠CAF=∠ACF，∴AF=CF=10，（6分）∵AE∥PC，∴∠P=∠FAD，∴cos∠P=cos∠FAD=，在Rt△AEB中，cos∠EAB=，AB=40，∴AE=32，∴BE==24．（9分）方法二：∵AE∥PC，OC⊥PC，∴OC⊥AE，∠P=∠EAO，（5分），∴∠EAO+∠COA=90°，∵AB⊥CG，∴∠OCD+∠COA=90°，∴∠OCD=∠EAO=∠P，（6分）在Rt△CFH中，cos∠HCF=，CF=10，∴CH=8，（7分）變式6：（2018·云南省曲靖）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，將弧BC沿直線BC翻折，使弧BC的中點D恰好與圓心O重合，連接OC，CD，BD，過點C的切線與線段BA的延長線交于點P，連接AD，在PB的另一側作∠MPB=∠ADC．（1）判斷PM與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若PC=，求四邊形OCDB的面積．【解答】解：（1）PM與⊙O相切．理由如下：連接DO并延長交PM于E，如圖，∵弧BC沿直線BC翻折，使弧BC的中點D恰好與圓心O重合，∴OC=DC，BO=BD，∴OC=DC=BO=BD，∴四邊形OBDC為菱形，∴OD⊥BC，∴△OCD和△OBD都是等邊三角形，∴∠COD=∠BOD=60°，∴∠COP=∠EOP=60°，∵∠MPB=∠ADC，而OE⊥PC，∴PM是⊙O的切線；（2）在Rt△OPC中，OC=PC=×=1，∴四邊形OCDB的面積=2S△OCD=2××12=．

一、選擇題（10×3=30分）1.（2017山東濱州）若正方形的外接圓半徑為2，則其內切圓半徑為（）A． B．2 C． D．1【分析】根據題意畫出圖形，再由正方形及等腰直角三角形的性質求解即可．2.（2018?深圳）如圖，一把直尺，60°的直角三角板和光盤如圖擺放，A為60°角與直尺交點，AB=3，則光盤的直徑是（）A．3 B． C．6 D．【分析】設三角板與圓的切點為C，連接OA、OB，由切線長定理得出AB=AC=3、∠OAB=60°，根據OB=ABtan∠OAB可得答案．【解答】解：設三角板與圓的切點為C，連接OA、OB，由切線長定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=3，∴光盤的直徑為6，故選：D．3.（2017廣東）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，則∠DAC的大小為（）A．130° B．100° C．65° D．50°4.（2018?成都）如圖，在?ABCD中，∠B=60°，⊙C的半徑為3，則圖中陰影部分的面積是（）A．π B．2π C．3π D．6π5.（2018?重慶）如圖，△ABC中，∠A=30°，點O是邊AB上一點，以點O為圓心，以OB為半徑作圓，⊙O恰好與AC相切于點D，連接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，則線段CD的長是（）A．2 B． C． D．【分析】連接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2，可求出OD、AO的長；由BD平分∠ABC，OB=OD可得OD與BC間的位置關系，根據平行線分線段成比例定理，得結論．【解答】解：連接OD∵OD是⊙O的半徑，AC是⊙O的切線，點D是切點，∴OD⊥AC在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2，∴OD=OB=2，AO=4，∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD∴∠ODB=∠CBD∴OD∥CB，∴即∴CD=．故選：B．6.（2018?山西）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，⊙O的半徑為2，以點A為圓心，以AC長為半徑畫弧交AB的延長線于點E，交AD的延長線于點F，則圖中陰影部分的面積為（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣87.（2018?沈陽）如圖，正方形ABCD內接于O，AB=2，則的長是（）A．π B．π C．2π D．π【分析】連接OA、OB，求出∠AOB=90°，根據勾股定理求出AO，根據弧長公式求出即可．【解答】解：連接OA、OB，8.2018?廣安）如圖，已知⊙O的半徑是2，點A、B、C在⊙O上，若四邊形OABC為菱形，則圖中陰影部分面積為（）A．π﹣2 B．π﹣ C．π﹣2 D．π﹣【分析】連接OB和AC交于點D，根據菱形及直角三角形的性質先求出AC的長及∠AOC的度數，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面積，則由S菱形ABCO﹣S扇形AOC可得答案．【解答】解：連接OB和AC交于點D，如圖所示：∵圓的半徑為2，∴OB=OA=OC=2，又四邊形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD=OB=1，9.（2018?瀘州）在平面直角坐標系內，以原點O為圓心，1為半徑作圓，點P在直線y=上運動，過點P作該圓的一條切線，切點為A，則PA的最小值為（）A．3 B．2 C． D．【分析】如圖，直線y=x+2與x軸交于點C，與y軸交于點D，作OH⊥CD于H，先利用一次解析式得到D（0，2），C（﹣2，0），再利用勾股定理可計算出CD=4，則利用面積法可計算出OH=，連接OA，如圖，利用切線的性質得OA⊥PA，則PA=，然后利用垂線段最短求PA的最小值．【解答】解：如圖，直線y=x+2與x軸交于點C，與y軸交于點D，作OH⊥CD于H，當x=0時，y=x+2=2，則D（0，2），當y=0時，x+2=0，解得x=﹣2，則C（﹣2，0），∴CD==4，∵OH?CD=OC?OD，∴OH==，連接OA，如圖，∵PA為⊙O的切線，∴OA⊥PA，∴PA==，當OP的值最小時，PA的值最小，而OP的最小值為OH的長，∴PA的最小值為=．故選：D．10.（2018?無錫）如圖，矩形ABCD中，G是BC的中點，過A、D、G三點的圓O與邊AB、CD分別交于點E、點F，給出下列說法：（1）AC與BD的交點是圓O的圓心；（2）AF與DE的交點是圓O的圓心；（3）BC與圓O相切，其中正確說法的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：連接DG、AG，作GH⊥AD于H，連接OD，如圖，∵G是BC的中點，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴點O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC與圓O相切；∵OG=OG，∴點O不是HG的中點，∴圓心O不是AC與BD的交點；而四邊形AEFD為⊙O的內接矩形，∴AF與DE的交點是圓O的圓心；∴（1）錯誤，（2）（3）正確．故選：C．二、填空題（6×4=24分）.11.（2018?重慶）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，以點B為圓心，以AB為半徑畫弧，交對角線BD于點E，則圖中陰影部分的面積是（結果保留π）12.（2017湖南株洲）如圖，已知AM為⊙O的直徑，直線BC經過點M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，線段AB和AC分別交⊙O于點D、E，∠BMD=40°，則∠EOM=．【分析】連接EM，根據等腰三角形的性質得到AM⊥BC，進而求出∠AMD=70°，于是得到結論．13.（2018?安徽）如圖，菱形ABOC的邊AB，AC分別與⊙O相切于點D，E．若點D是AB的中點，則∠DOE=°．【分析】連接OA，根據菱形的性質得到△AOB是等邊三角形，根據切線的性質求出∠AOD，同理計算即可．【解答】解：連接OA，∵四邊形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵AB與⊙O相切于點D，∴OD⊥AB，∵點D是AB的中點，∴直線OD是線段AB的垂直平分線，∴OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∵AB與⊙O相切于點D，∴OD⊥AB，∴∠AOD=∠AOB=30°，同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，故答案為：60．14.（2018?荊門）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB為直徑的⊙O交BC于點E，則陰影部分的面積為．【解答】解：連接OE、AE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=AB=2，BE==2，∵OA=OB=OE，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S陰影=S扇形OBE﹣S△BOE，=﹣×，=﹣，=﹣，故答案為：﹣．15.（2018?寧波）如圖，正方形ABCD的邊長為8，M是AB的中點，P是BC邊上的動點，連結PM，以點P為圓心，PM長為半徑作⊙P．當⊙P與正方形ABCD的邊相切時，BP的長為．【解答】解：如圖1中，當⊙P與直線CD相切時，設PC=PM=m．在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=42+（8﹣x）2，∴x=5，∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．如圖2中當⊙P與直線AD相切時．設切點為K，連接PK，則PK⊥AD，四邊形PKDC是矩形．16.（2018?泰州）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△A'B'C，P為線段A′B'上的動點，以點P為圓心，PA′長為半徑作⊙P，當⊙P與△ABC的邊相切時，⊙P的半徑為．【分析】分兩種情形分別求解：如圖1中，當⊙P與直線AC相切于點Q時，如圖2中，當⊙P與AB相切于點T時，【解答】解：如圖1中，當⊙P與直線AC相切于點Q時，連接PQ．∵△A′BT∽△ABC，∴=，∴=，∴A′T=，∴r=A′T=．綜上所述，⊙P的半徑為或．三、解答題（共46分）.17.（2018·遼寧省葫蘆島市)如圖，AB是⊙O的直徑，=，E是OB的中點，連接CE并延長到點F，使EF=CE．連接AF交⊙O于點D，連接BD，BF．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若OB=2，求BD的長．18.（2018·遼寧省撫順市）（12.00分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O，點D為⊙O上一點，且CD=CB.連接DO并延長交CB的延長線于點E．（1）判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若BE=4，DE=8，求AC的長．【分析】（1）欲證明CD是切線，只要證明OD⊥CD，利用全等三角形的性質即可證明；（2）設⊙O的半徑為r．在Rt△OBE中，根據OE2=EB2+O