2025年中考數學一輪復習：幾何模型

幾何問題

初中幾何常見模型解析

＞模型一：手拉手模型-全等

(1)等邊三角形

a條件：均為等邊三角形

?結論：①AO4c?A08。；②乙1E8=6O"；③。/平分1/：/)0

a條件：AO46,AOCO均為等腰直角三角形

A結論：①AO4C?AO80；②乙在'8=90°；③。E平分乙山)。

(3)任意等腰三角形

a結論：①”)1(*M)BD；②LAEB?UOB；③CE平分乙"八。

第1頁

第2頁

第3頁

a條件：①乙408=2￡X￡=I20°；②0C平分乙〃?。?/p>

yfj,

Sa-Ss+S3￡--OC'

A結論：①C0?CE；②OD+OE-OC；③4

a證明提示：①可參考“全等型-90?！弊C法一；

②如圖：在。8上取一點R使OF=OC,證明"N/'為等邊三角形。

a當人兒支的一邊交/。的延長線于點。時（如上圖右）：

原結論變成：①:

②:

③；

可參考上述第②種方法進行證明。

第4頁

（3）全等型-任意角（t

條件：①乙^O8?2a.乙DCE?l80-3l；（2）（7）-C￡；

a結論：①OC平分/〃用；②O0.O￡.2OOcosa；③S010at=S40a，+5Mo=OC：?tina?c<?a.

>當t/xE的一邊交/。的延長線于點。時（如右上圖）：

原結論變成：①；

②；

③；

可參考上述第②種方法進行證明。

。請思考初始條件的變化對模型的影響。

第5頁

?tana

第6頁

>對角互補模型總結：

①常見初始條件：四邊形對角互補；

注意兩點：四點共圓及直角三角形斜邊中線；

②初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區別；

③兩種常見的輔助線作法；

④注意下圖中(“平分"用時，乙CDE?乙?乙?乙相等是如何推導的？

E\B

a模型四：角含半角模型90。

(1)角含半角模型90°-1

BE

A條件：①正方形18(7)；②㈤尸-45°；

A結論：①EF?DF+BE；②的周長為正方形彳伙？)周長的一半;

也可以這樣：

>條件：①正方形.施(?/)；②EF?DF”E

a結論：LEAF=45

(2)角含半角模型90°-2

結論：EF?DF-BE

輔助線如下圖所示：

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a條件：@RTMBC.②ZJM￡?45°；

a結論：fit)?(T-DE

若.DAE旋轉到…欣.外部時，結論8廳+CE：-仍然成立。

(4)角含半角模型90°變形

證明：連接NC（方法不唯一）

?/ZDAC=ZEAF=45°,：.ZDAH=Z.CAE

,：ZADH=ZACE=45°,：.\ADH^^ACE

.DA_AC

/./\AHE^\ADC

"~AH~^E

?條件：①正方形48(7)；②國尸?45°；

a結論：人"〃：為等腰直角三角形。

＞模型五：倍長中線類模型

a條件：①矩形48(7)；②③0F?4；

A結論：(尸

模型提?。孩儆衅叫芯€4〃RE；②平行線間線段有中點。尸?￡尸；

可以構造“8"字全等\門。

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（2）倍長中線類模型-2

BCB

a條件：①平行四邊形J8C）；②欣=L4B；③@CE1AD.

a結論：￡AA//）-3zA//.I

輔助線：有平行48〃CD,有中點=

延長瓦W,構造^AME^/^DMF,連接CM構

造等腰AflWC,\MCF

通過構造8字全等線段數量及位置關系，角的大

小轉化

>模型六：相似三角形360。旋轉模型

（1）相似三角形（等腰直角）360°旋轉模型-倍長中線法

輔助線:延長DF到點G,使FG=DF,連

接CG、BG、BD證明ABDG為等腰直角

突破點：\ABD^\CBG

難點：證明ABAD=ZBCG

a條件：①ZU0￡、,均為等腰直角三角形;②EF-CF

>結論：①DF?BF；②DFL8F

（1）相似三角形（等腰直角）360°旋轉模型-補全法

a條件：①ZU0￡、,均為等腰直角三角形；②EF-CF；

a結論：①。尸?8尸；②DF1BF

輔助線：構造等腰直角A4EG、A47/C

輔助線思路：將DF與BF轉化到CG與EH

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(2)任意相似直角三角形360°旋轉模型-補全法

a條件：①AOABs&ODC；②乙。.48=￡，〃M=9()c；③H￡■(尸。

a結論：①IF-/)/：；@AED^2LABO

輔助線：延長BA到點G,使/G,延長

CD到點H使DH=CD,補全MOGB、

OCH構造旋轉模型，轉化AE與DE到CG

與BH,難點在轉化ZAED

(2)任意相似直角三角形360°旋轉模型-倍長法

a條件：①AO48SA0DC；②，。鉆=￡〃DC=90°；③

a結論：①/②^C-2ZJ8O

輔助線：延長DE至M,使.ME=DE,將結

論的兩個條件轉化為證明A4Aos人物。，此

為難點，將繼續轉化為證明

使用兩邊成比且夾角等

此處難點在證明ZABM=ZAOD

＞模型七：最短路程模型

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（1）最短路程模型一（將軍飲馬類）

總結：以上四圖為常見的軸對稱類最短路程問題,

最后都轉化到：”兩點之間，線段最短”解決

特點：①動點在直線上;②起點，終點固定

（2）最短路程模型二（點到直線類1）

輔助線：將作Q關于OC對稱點Q',轉化

PQ'=PQ,過點”作匐7_1_。4

垂線段最短00MBMP+PA=MP+PQ'2MH（垂線段最短）

A條件：①0C平分乙〃陽；②M為08上一定點；③尸為。（上一動點；④。為（加上一動點;

A求：最小時，P'。的位置？

（3）最短路程模型二（點到直線類2）

/

111,I

，力定點夕所求點

“定點少所求點1

動點,____/動點

定點-----,P定點*一"

B

B1BB|\C

條件：如圖，點/、3為定點,P為動點條件：如圖，點A、B為定點，尸為動點

問題：點尸在何處，3尸最短問題：點夕在何處.BP+—AP最短

22

結論：以A為頂點作ZPAC=30°,過點尸作結論：以A為頂點作ZPAC=45°,過點P作

PQLAC,轉化尸。尸，過點3作/CPQLAC,轉化尸。4尸，過點5作為。

的垂線與的交點為所求（垂線段最短）的垂線與4P的交點為所求

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sin〃〃C?且

求解方法：①X軸上取使5；②過8作80，,交，軸于點E,即為所求;

UnLEBO-tanLOAC-—-、

2,即￡91)

(5)最短路程模型三(旋轉類最值模型)

條件：①線段。4=4,OB=2(OA>OB)條件：①線段。4=4,03=2

條件：(DRt\OBC,ZOBC=30°

②OB繞點O在平面內360°旋轉②以點。為圓心，OB,OC為半徑作圓

②OC=2；(^)OA=1:④點P為BC上動點

問題：AB的最大值,最小值分別為多少？③點尸是兩圓所組成圓環內部(含邊界)一點

(可與端點重合)；⑤kOBC繞點O旋轉

問題：若上4的最大值為10,則。C=6

結論：以點。為圓心，05為半徑作圓，如圖

結論：E4最大值為。4+。8=1+2?！?/p>

所示，將問題轉化為“三角形兩邊之和大于第三若上4的最小值為1,則OC=3

PA最小值為=由一1

邊，兩邊之差小于第三邊”若PA的最小值為2,則PC的取值范圍是

0<PC<2

最大值：OA+OB；最小值：OA-OB如右圖.圓的最小半徑為O到BC垂線段長

(6)最短路程模型三(動點在圓上)

D

條件：①正方形4BCD且邊長為4;

②。8的半徑為2;③尸為08上動點

問題：求PD+(PC72)最小值

輔助線：過點E作EM//PC,取8E中點N

條件：以點O為圓心三個圓，OA,OZ)固定

轉化思路：將PC/2轉化ME,將ME轉化為

OP繞點O旋轉

問題：點。在什么位置時，+最小MN,因此MD+兒W的最小值為DN長度

輔助線：連接、QC,當0、D、C三總結：PC/2的比值不是隨意給出的，而是圓

點共線時，EP+MB=DQ+QC=DC最，1、的半徑SBC