第2章 二元一次方程組（中等類型）-浙教版七年級《數學》下冊考點解惑

思維導圖第2章二元一次方程組思維導圖【類型覆蓋】類型一、二元一次方程組中的相反數求解【解惑】如果某個二元一次方程組的解中兩個未知數的值是互為相反數，我們稱這個方程組為“關聯方程組”，若關于，的方程組是“關聯方程組”，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二元一次方程組的解以及解二元一次方程組，相反數的定義，把兩個方程相加可得，再根據相反數的定義可得，據此即可求解，使用整體法解方程組是解題的關鍵．【詳解】解：，得，，∴，∵互為相反數，∴，∴，故選：．【融會貫通】1．已知關于的二元一次方程組，下列結論中正確的個數是（

）①當這個方程組的解的值互為相反數時，．②方程組的解也是關于的方程的解．③無論取什么實數，的值始終等于．④若用表示，則．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】此題考查二元一次方程組的解法和應用，正確地解出方程組的解是解決問題的關鍵．①令，即可求出的值，驗證即可，②根據得，，計算并比較即可；③解方程組可求出方程組的解，再代入求值即可，④用含有、的代數式表示，進而得出、的關系．【詳解】解：①當方程組的解，的值互為相反數時，即時，即，，故①正確；②關于，的二元一次方程組，得，，∴，∴方程組的解也是關于的方程的解，故②正確；③關于，的二元一次方程組，得，，解得：，把代入①得：，解得：；，故③正確；④方程組，由方程①得，，把代入方程②得，，整理得：，故④錯誤．∴正確的個數是3個故選：B．2．已知關于x、y的方程組的解互為相反數，則的值是．【答案】1【分析】本題考查二元一次方程組的解，相反數，根據二元一次方程組的解法將兩個方程相加可得，即，再根據方程組的解是互為相反數，得到，即可求出a，再代入計算即可【詳解】解：關于x、y的方程組，得，，即，由于方程組的解互為相反數，即，所以，解得，所以，，故答案為：1．3．已知關于x、y的方程組中，x與y的值互為相反數．求m的值及方程組的解．【答案】，【分析】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，正確的計算是解題的關鍵．根據加減消元法解二元一次方程組，進而根據x、y互為相反數，可得，解方程即可求解．【詳解】解：，將①+②，可得，∴，又∵x與y的值互為相反數，∴，解得，∴原方程組為，將③×2，可得，將④×3，可得，將⑥-⑤，可得，解得，將代入③，可得，解得，∴原方程組的解為．類型二、二元一次方程組的解和差關系【解惑】若關于x、y的方程組的解滿足方程，那么k的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查二元一次方程組．解方程組得出，的值，再代入求解即可得到答案．【詳解】解：解方程組，得：，∵方程組的解滿足，∴，解得：，故選：B．【融會貫通】1．已知是二元一次方程組的解，則的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題考查了二元一次方程組的解，根據題意求出的值是解題的關鍵．將代入二元一次方程組可得：，計算出的值即可得到答案．【詳解】解：將代入二元一次方程組可得：，解得：，，故選：D．2．已知方程組的解滿足，則．【答案】【分析】本題主要考查了根據二元一次方程組的解的情況求參數，先利用加減消元法求出，再由得到，解方程即可．【詳解】解：得：，即，把代入得：，解得，故答案為：．3．已知關于的二元一次方程組的解滿足方程，求m的值．【答案】【分析】此題考查了解二元一次方程組和二元一次方程的解，根據題意得到，得到，代入即可求出答案．【詳解】解：由題意得：，解得，將，代入，得：，∴，類型三、二元一次方程組的應用——和差倍分問題【解惑】汽車運輸公司有A，B兩種車型的旅游大客車，已知兩種車型的座位數不同，1輛A型車和1輛B型車可乘坐105人，2輛A型車和1輛B型車可乘坐150人，則A，B兩種車型大客車的座位數分別為（

）A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45【答案】A【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，根據題意找出等量關系是本題的關鍵．根據題意，設A型車每輛座位數為x個，B型車每輛座位數為y個，根據1輛A型車和1輛B型車可乘坐105人，2輛A型車和1輛B型車可乘坐150人，列出二元一次方程組，解出答案即可．【詳解】解：設A型車每輛座位數為x個，B型車每輛座位數為y個，根據題意得：，解得：則A型車每輛座位數為45個，B型車每輛座位數為60個，故選：A．【融會貫通】1．甲、乙兩水池現共貯水40t，如果甲池進水4t，乙池進水8t，那么甲池水量等于乙池水量，則甲、乙兩水池原先各自的貯水量是（）A．甲22t，乙18t B．甲23t，乙17tC．甲21t，乙19t D．甲24t，乙16t【答案】A【分析】本題考查二元一次方程組的實際應用，設甲水池原先的貯水量是xt，乙水池原先的貯水量是yt，根據題意，列出二元一次方程組進行求解即可．【詳解】設甲水池原先的貯水量是xt，乙水池原先的貯水量是yt．根據題意，得，解得；所以甲水池原先的貯水量是22t，乙水池原先的貯水量是18t．故選A．2．如圖所示的兩臺天平均能保持平衡，已知每塊巧克力的質量相等，每個果凍的質量也相等，則每塊巧克力和每個果凍的質量分別為．【答案】20g，30g【分析】本題考查二元一次方程組的實際應用，設設每塊巧克力的質量為xg，每個果凍的質量為yg，根據題圖，可得3塊巧克力的質量2個果凍的質量；1塊巧克力的質量＋1個果凍的質量50g，列出方程組進行求解即可．【詳解】解：設每塊巧克力的質量為xg，每個果凍的質量為yg，則，解得；∴每塊巧克力的質量為20g，每個果凍的質量為30g；故答案為：20g，30g．3．用1塊A型鋼板可制成2塊C型鋼板、1塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成1塊C型鋼板、2塊D型鋼板．現需15塊C型鋼板、18塊D型鋼板，可恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？【答案】恰好用4塊型鋼板，7塊型鋼板【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出二元一次方程組．設恰好用塊型鋼板，塊型鋼板，根據現需15塊型鋼板和18塊型鋼板，可列出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論；【詳解】解：設恰好用塊型鋼板，塊型鋼板，根據題意得：，解得：．答：恰好用4塊型鋼板，7塊型鋼板．類型四、二元一次方程組的應用——幻方問題【解惑】幻方是古老的數學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格，將9個數填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和均相等，圖是一個未完成的幻方，則的值是（

）A．0 B． C． D．32【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.設圖中間的數為，第三行第一個數字為，根據每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的個數之和相等，列出二元一次方程組，求出，即可解決問題.【詳解】解：設圖中間的數為，第三行第一個數字為，由題意得：，由①得：由②得：，，解得：，故選：B.【融會貫通】1．幻方是一種中國傳統數學游戲，將9個數填在（三行三列）的方格中，每個橫行、每個豎列、每條對角線上的三個數字之和都相等，這個相等的和就叫做幻和．如圖①就是一個幻方，圖②是一個未完成的幻方，請你推算出圖的值為（

）816357492圖①

圖②A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，根據題意可得方程組，解方程組即可得到答案．【詳解】解：由題意得，解得，∴，故選：C．2．“九宮圖”又稱“龜背圖”，數學上的“九宮圖”所體現的是一個弐格，每一行的三個數、每一列的三個數、斜對角的三個數之和都相等，也稱為三階幻方．如圖是一個滿足條件的三階幻方的一部分，則：(1)____________________；(2)的值為__________．xP21y【答案】(1)(2)【分析】本題考查二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出等量關系，列出相應的方程．（1）根據題意和表格中的數據，可以先求出的值；（2）設第一列從上往下第三個數為，則，再求解即可．【詳解】（1）解：由題意可得，，解得，故答案為：；（2）設第一列從上往下第三個數為，則，解得，，，故答案為：．3．[閱讀]將九個數分別填在（3行3列）的方格中，如果滿足每個橫行，每個豎列和每條對角線上的三個數之和都等于m，則將這樣的圖稱為“和m幻方”也稱幻方，m為幻方值下面的圖1是滿足條件的“和15幻方”

[探究](1)若圖2為“和m幻方”，則．(2)小明發現了幻方中的其它等量關系，例如圖1中有：；；；……你能運用這個規律解決以下問題嗎？問題解決：圖3為幻方，，且，求出圖3的幻方值．【答案】(1)8，0(2)39【分析】（1）根據幻方的特點即可求出和的值；（2）由幻方的特點得出和，再結合條件建立方程組求出，，，的值，即可得出答案．【詳解】（1）解：，，，解得：，故答案為：8，0；（2）由幻方的特征得，，，，，，由幻方的特征得，，，，，，，圖3的幻方值為．【點睛】此題主要考查了幻方的特征，解二元一次方程組，掌握幻方的特點建立方程和方程組是解本題的關鍵．類型五、二元一次方程組的應用——分配問題【解惑】某份資料計劃印制10000份，該任務由A，B兩臺印刷機先后接力完成，A印刷機印制160份，印刷機印制210份．兩臺印刷機完成該任務共需，甲、乙兩人所列的方程組如表所示，下列判斷正確的是（

）甲解：設A印刷機印制了，印刷機印制了．由題意，得乙解：設A印刷機印制了份，印刷機印制了份．由題意，得A．只有甲列的方程組正確 B．只有乙列的方程組正確C．甲和乙列的方程組都正確 D．甲和乙列的方程組都不正確【答案】C【分析】根據兩臺印刷機完成該任務共需和資料計劃印制10000份，即可列出二元一次方程組．【詳解】解：∵兩臺印刷機完成該任務共需，∴可列方程；∵資料計劃印制10000份，∴可列方程，∴甲和乙列的方程組都正確，故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【融會貫通】1．用圖中的長方形和正方形不銹鋼板材可以焊接成圖所示的豎式和橫式兩種無蓋的不銹鋼盒子，工廠為了防止領取的板材不能配套焊接，規定每次領取的不銹鋼板材必須恰好用完（

）．下表是車間四次領取不銹鋼板材的記錄：

日期正方形紙板（張）長方形紙板（張）第一次第二次第三次第四次若材料管理員在核查時發現其中有一次記錄出錯了，則記錄出錯的是（

）A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次【答案】D【分析】設可以做成個豎式無蓋紙盒，個橫式無蓋紙盒，根據四次領取正方形及長方形紙板的數量，即可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出，的值，再結合，為正整數，即可得出結論．【詳解】設可以做成個豎式無蓋的不銹鋼盒子，個橫式式無蓋的不銹鋼盒子，第一次：，解得：，數據無誤；第二次：，解得：，數據無誤；第三次：，解得：，數據無誤；第四次：，解得：，不符合題意；故選：．【點睛】此題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．2．芳芳和元元一起玩用火柴棍擺圖形的游戲，三角形和正方形一共擺了10個（如圖，任意兩個圖形之間沒有公共邊）．如果她們一共用了36根火柴棍，那么她們擺了個三角形，正方形．【答案】46【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，根據題意正確列出二元一次方程組成為解題的關鍵．設她們擺了x個三角形，y正方形，再根據題意列二元一次方程組求解即可．【詳解】解：設她們擺了x個三角形，y正方形，由題意可得：，解得：，所以設她們擺了4個三角形，6正方形．故答案為：4，6．3．端午節是中國四大傳統節日之一，粽子是端午節期間不可缺少的美食．小超媽媽了解到包3個蜜棗粽子和4個鮮肉粽子，需要糯米390克：包2個蜜棗粽子和5個鮮肉粽子，需要糯米400克．(1)求包1個蜜棗粽子和1個鮮肉粽子各需要糯米多少克？(2)家中現有2.1千克糯米，以及足量的蜜棗和鮮肉，小超媽媽計劃包蜜棗粽子和鮮肉粽子共40個，她最多能包多少個鮮肉粽子？【答案】(1)包1個蜜棗粽子需要50克糯米，包1個鮮肉粽子需要60克糯米(2)小超媽媽最多能包10個鮮肉粽子【分析】本題考查了二元一次方程組與一元一次不等式的應用，審清題意、正確列出方程組或不等式是解題的關鍵．（1）根據兩種不同的包法共需的總糯米克數列出方程組即可．（2）設小超媽媽包個鮮肉粽子，依據題意列出不等式，求得最大的整數解即可．【詳解】（1）解：設包1個蜜棗粽子需要克糯米，包1個鮮肉粽子需要克糯米．根據題意得解得答：包1個蜜棗粽子需要50克糯米，包1個鮮肉粽子需要60克糯米（2）設小超媽媽包個鮮肉粽子，則包個蜜棗粽子．根據題意得：，解得，故取a的最大整數解10．答：小超媽媽最多能包10個鮮肉粽子．類型六、二元一次方程組的應用——工程問題【解惑】為完善吉林市城市路網結構，營造便捷通暢的城市道路系統，提升城市面貌惠及民生，年月起，吉林市各道路維修改造工程有序進行．已知甲工程隊天，乙工程隊天共修路米；甲工程隊天，乙工程隊天共修路米，求甲乙兩工程隊每天分別修路多少米？【答案】甲工程隊每天修路米，乙工程隊每天修路米【分析】根據題意設甲工程隊每天修路米，乙工程隊每天修路米列方程解答即可．本題考查了二元一次方程組與實際問題，審清題意列出二元一次方程是解題的關鍵．【詳解】解：設甲工程隊每天修路米，乙工程隊每天修路米，根據題意得，，解得：，答：甲工程隊每天修路米，乙工程隊每天修路米．【融會貫通】1．古運河是揚州的母親河．為打造古運河風光帶，現有一段長為180米的河道整治任務由A、B兩工程隊先后接力完成．A工程隊每天整治12米，B工程隊每天整治8米，共用時20天．(1)根據題意，甲、乙兩名同學分別列出尚不完整的方程組如下：甲：；乙：根據甲、乙兩名同學所列的方程組，請你分別指出未知數x、y表示的意義，然后在括號內補全甲、乙兩名同學所列的方程組：甲：x表示______，y表示_______；乙：x表示______，y表示______．(2)求A、B兩工程隊分別整治河道多少米．（寫出完整的解答過程）【答案】(1)補全方程組見解析；A工程隊用的時間，B工程隊用的時間；A工程隊整治河道的米數，B工程隊整治河道的米數；(2)A工程隊整治河道60米，B工程隊整治河道120米．【分析】此題主要考查二元一次方程組的應用．（1）此題蘊含兩個基本數量關系：A工程隊用的時間工程隊用的時間天，A工程隊整治河道的米數工程隊整治河道的米數，由此進行解答即可；（2）選擇其中一個方程組解答解決問題．【詳解】（1）解：甲同學：設A工程隊用的時間為x天，B工程隊用的時間為y天，由此列出的方程組為；乙同學：A工程隊整治河道的米數為x，B工程隊整治河道的米數為y，由此列出的方程組為；故答案為：A工程隊用的時間，B工程隊用的時間；A工程隊整治河道的米數，B工程隊整治河道的米數；（2）解：選甲同學所列方程組解答如下：，得，解得，把代入①得，所以方程組的解為，A工程隊整治河道的米數為：，B工程隊整治河道的米數為：；答：A工程隊整治河道60米，B工程隊整治河道120米．選乙同學所列方程組解答如下：由題意可得，解得，答：A工程隊整治河道60米，B工程隊整治河道120米．2．一家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元．(1)求甲、乙裝修組工作一天，商店各需支付多少元費用？(2)若裝修完后，商店每天可盈利200元，現有如下三種方式裝修：①甲單獨做；②乙單獨做；③甲乙合做，你認為如何安排施工更有利于商店經營？說明理由．【答案】(1)甲組工作一天商店應支付300元，乙組工作一天商店應支付140元(2)安排甲乙合作施工更有利于商店經營，理由見解析【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是根據等量關系列出方程．（1）設甲組工作一天商店應付x元，乙組工作一天商店應付y元，根據甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元，列出方程組，解方程組即可；（2）分別求出三種情況下的費用，然后進行比較得出答案即可．【詳解】（1）解：設甲組工作一天商店應付x元，乙組工作一天商店應付y元，依題意得：，解得：，所以，甲組工作一天商店應支付300元，乙組工作一天商店應支付140元．（2）解：設甲、乙裝修組的工作效率分別為m，n，由題意得，解得：，所以，甲單獨完成需要12天，乙單獨完成需要24天．選擇①所需裝修費用及耽誤營業損失的費用之和為：（元）；選擇②所需裝修費用及耽誤營業損失的費用之和為：（元）；選擇③所需裝修費用及耽誤營業損失的費用之和為：（元）．因為，所以，安排甲乙合作施工更有利于商店經營．3．在《二元一次方程組》這一章的復習課上，王老師出了一個實際應用問題讓同學們進行探究：在某地“鄉村振興”工作中，甲、乙兩個工程隊先后接力為某村莊修建條335米長的公路，甲隊每天修建20米，乙隊每天修建25米，一共用15天完成．(1)小紅同學根據題意，列出了一個方程組，請寫出小紅所列方程組中未知數表示的意義：x表示，y表示；(2)小芳同學的思路是設甲工程隊一共修建了x米公路，乙工程隊一共修建了y米公路．請你按照小芳的思路列出方程組，并求出甲、乙隊各修建了多少米？【答案】(1)甲隊修路的天數；乙隊修路的天數；(2)甲隊修建了160米，修建了8天．乙隊修建了175米，修建了7天．【分析】本題考查二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組，利用方程的思想解答．（1）根據題意和小紅同學列出的方程組可以解答本題；（2）利用小芳的思路列出的方程組為，再進一步解答即可．【詳解】（1）解：根據方程組中第二個方程可得是與甲隊每天修建的長度相乘，是與乙隊每天修建的長度相乘，這樣可得出、分別是甲、乙兩隊各自修路的天數，從而得到；∴x表示：甲隊修路的天數；y表示：乙隊修路的天數；（2）解：設甲工程隊一共修建了x米公路，乙工程隊一共修建了y米公路，∴方程組為：，由①得，③，將③式代入②式得，，解得，，∴，∴方程組的解為，所以，甲隊修建了160米，修建了8天．乙隊修建了175米，修建了7天．答：甲隊修建了160米，修建了8天．乙隊修建了175米，修建了7天．類型七、二元一次方程組的應用——行程問題【解惑】小王沿街勻速行走，發現每隔從背后駛過一輛公交車，每隔迎面駛來一輛公交車．假設每輛公交車行駛速度相同，且公交車總站每隔固定時間發一輛車，那么發車間隔的時間是多少分鐘？【答案】公交車總站發車間隔的時間是【分析】本題考查了路程問題和二元一次方程組的應用．是一個既含有相遇又含有追及的綜合性行程問題，準確的找到相等關系列出方程組是解題的關鍵．有下列隱含的等量關系：①迎面駛來的兩車距離（車速+人速）；②背后開來的兩車距離（車速—人速）；③迎面駛來的兩車距離=背后開來的兩車距離；④同向的兩車距離=車速×發車間隔時間．【詳解】解：方法一：設公交車的速度為，小王行走的速度為，發車間隔的時間為，則化簡得，即．把代入，得即解得．所以公交車總站發車間隔的時間是．方法二：設同向行駛的相鄰兩車的間距為，發車間隔的時間為，小王行走相鄰兩車間距所用的時間為，則化簡得，得解得．所以公交車總站發車間隔的時間是．【融會貫通】1．某人要在規定的時間內由甲地趕往乙地，如果他以的速度行駛，就會遲到；如果他以的速度行駛，則可提前到達乙地．求甲、乙兩地之間的距離以及甲地到乙地的規定時間．【答案】甲、乙兩地之間的距離為，甲地到乙地的規定時間為【分析】本題主要考查二元一次方程組的應用，根據路程速度時間列方程組是解題的關鍵．設甲、乙兩地之間的距離為，甲地到乙地的規定時間為，再由路程速度時間列方程組求解即可．【詳解】設甲、乙兩地之間的距離為，甲地到乙地的規定時間為，由題意可得，即，整理得，解得，甲、乙兩地之間的距離為，甲地到乙地的規定時間為．2．已知A、B兩碼頭之間的距離為，一艘船航行于A、B兩碼頭之間，順流航行需3小時；逆流航行時需6小時，求船在靜水中的速度及水流的速度？【答案】船在靜水中的速度及水流的速度分別為、【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，設船在靜水中的速度及水流的速度分別為、，則順水速度為，逆水速度為，根據往返路程相等建立等量關系，求出其解就可以求出結論．【詳解】解：設船在靜水中的速度及水流的速度分別為、，由題意可得：，解得：，答：船在靜水中的速度及水流的速度分別為、．3．青藏鐵路全線有一座大橋—拉薩河大橋全長920多米，其中主橋長800米，小明在去年暑假乘次列車從北京到拉薩游玩，小明為了探究次列車的長度與速度，記錄了以下兩個數據：（1）火車完全在主橋上的時間為35秒．（2）火車上主橋到完全通過主橋用了45秒．知道這兩個數據后，小明就會算出了次列車的長度與速度嗎？【答案】次列車的長度為，速度為．【分析】此題主要考查了二元一次方程組的應用，正確得出等式是解題關鍵．直接利用火車完全在主橋上的時間為35秒，火車上主橋到完全通過主橋用了45秒，主橋長800米，分別得出等式組成方程組，求出答案．【詳解】解：設次列車的長度為，速度為根據題意可得：，解得：答：次列車的長度為，速度為．類型八、二元一次方程組的應用——利潤問題【解惑】在中國進出口商品交易會上，某陶瓷企業出售了A，B兩種產品．已知出售1件A產品和2件B產品共收入700元，出售2件A產品和3件B產品共收入1200元．(1)求A產品和B產品的單價；(2)若出售A，B兩種產品（均有銷售）共收入1800元，則出售A，B兩種產品各幾件？【答案】(1)A產品的售價300元，B產品的售價200元(2)出售A產品2件，B產品6件或A產品出售4件，B產品出售3件【分析】本題考查二元一次方程組的實際應用，理解題意，找準等量關系，正確列出方程是解此題的關鍵．（1）設A產品的售價x元，B產品的售價y元，根據出售1件A產品和2件B產品共收入700元，出售2件A產品和3件B產品共收入1200元，列出方程組進行求解即可；（2）設出售A產品a件，則出售B產品b件，根據題意列出二元一次方程進行求解即可．【詳解】（1）解：設A產品的售價x元，B產品的售價y元，由題意得，解得，答：A產品的售價300元，B產品的售價200元；（2）解：設出售A產品a件，則出售B產品b件，由題意得，，化簡得，，∵a，b為正整數，∴或，答：出售A產品2件，B產品6件或A產品出售4件，B產品出售3件．【融會貫通】1．某服裝經銷商計劃購進型、型兩種型號的童裝．若購進8件型童裝和5件型童裝需用2200元；若購進4件型童裝和6件型童裝需用1520元．求每件型童裝和每件型重裝的進價各多少元？【答案】每件型童裝的進價為200元，每件B型童裝的進價為120元．【分析】本題主要考查了二元一次方程的實際應用，設每件型童裝的進價為x元，每件B型童裝的進價為y元，根據購進8件型童裝和5件型童裝需用2200元；購進4件型童裝和6件型童裝需用1520元建立方程求解即可．【詳解】解：設每件型童裝的進價為x元，每件B型童裝的進價為y元，由題意得，，解得，答：每件型童裝的進價為200元，每件B型童裝的進價為120元．2．春節前夕，某商場用18000元購進A、B兩種飲料共400箱，兩種飲料的成本價與銷售價如表所示：類別成本價(元/箱)銷售價(元/箱)A3045B5080求：(1)購進A、B兩種飲料各多少箱？(2)該商場售完這400箱飲料，可獲利多少元？【答案】(1)購進A種飲料100箱，B種飲料300箱(2)10500元【分析】本題主要考查二元一次方程組的應用，解題的關鍵是找準題干的等量關系．（1）設商場購進A品牌飲料x箱，B品牌飲料y箱，然后根據題意可列出方程組進行求解；（2）由(1)及題意可直接進行求解．【詳解】（1）解：設購進A、B兩種飲料分別為x和y箱，則，解方程組可得，答∶該商場購進A種飲料100箱，B種飲料300箱；（2）解：（元），答：該商場售完這400箱飲料，可獲利10500元．3．2024年家電“以舊換新”促消費活動正火熱進行中，凡購買一級能效家電可獲得的財政補貼，小張購買了一臺甲品牌的一級能效家電，小劉購買了一臺乙品牌的一級能效家電，兩人一共得到財政補貼1120元，且乙品牌比甲品牌售價多400元．(1)購買的甲、乙品牌的一級能效家電售價各是多少元？(2)小張和小劉除財政補貼外實際各需付款多少元？【答案】(1)甲，乙品牌一級能效家電的售價分別為2600元和3000元(2)小張實際付款2080元，小劉實際付款2400元．【分析】本題主要考查二元一次方程組的應用，解題關鍵是找出合適的等量關系，列出方程，再求解．（1）設甲品牌的一級能效家電售價為元，乙品牌的一級能效家電的售價為元，根據購買了一臺乙品牌的一級能效家電，兩人一共得到財政補貼1120元，且乙品牌比甲品牌售價多400元列二元一次方程組求解即可；（2）用售價減補貼即可得解．【詳解】（1）解：設甲品牌的一級能效家電售價為元，乙品牌的一級能效家電的售價為元，根據題意，得，解得，答：甲，乙品牌一級能效家電的售價分別為2600元和3000元；（2）解：（元），（元）；答：小張實際付款2080元，小劉實際付款2400元．類型九、二元一次方程組的應用——方案問題【解惑】已知：用2輛型車和1輛型車裝滿貨物一次可運貨10噸；用1輛型車和2輛型車裝滿貨物一次可運貨11噸．某物流公司現有31噸貨物，計劃同時租用型車輛，型車輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物．根據以上信息，解答下列問題：(1)1輛型車和1輛型車都裝滿貨物一次可分別運貨多少噸？(2)請你幫該物流公司設計租車方案，且分別求出，的值；(3)若型車每輛需租金100元/次，型車每輛需租金120元/次．請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．【答案】(1)輛型車載滿貨物一次可運3噸，1輛型車載滿貨物一次可運4噸；(2)有3種租車方案：方案一：型車9輛，型車1輛；方案二：型車5輛，型車4輛；方案三：型車1輛，型車7輛；(3)租型車1輛，型車7輛，最少租車費為元．【分析】本題考查了二元一次方程組和二元一次方程的應用，根據題意，正確列出二元一次方程組及二元一次方程是解題的關鍵．（）設每輛型車、型車都載滿貨物一次可以分別運貨噸、噸，根據題意，列出二元一次方程組即可求解；（）根據題意，列出二元一次方程，再根據，都是正整數解答即可求解；（）分別求出每一種方案的費用即可求解；【詳解】（1）解：設每輛型車、型車都載滿貨物一次可以分別運貨噸、噸，依題意得，，解得，答：1輛型車載滿貨物一次可運3噸，1輛型車載滿貨物一次可運4噸；（2）解：由（）得，，∴，∵，都是正整數，∴或或，∴有3種租車方案：方案一：型車9輛，型車1輛；方案二：型車5輛，型車4輛；方案三：型車1輛，型車7輛；（3）解：∵型車每輛需租金元/次，型車每輛需租金元/次，∴方案一需租金：元；方案二需租金：元；方案三需租金：元；∵，∴最省錢的租車方案是方案三，答：租型車1輛，型車7輛，最少租車費為元．【融會貫通】1．某校準備組織七年級學生參加夏令營，已知用3輛小客車和1輛大客車每次可運送學生105名；用1輛小客車和2輛大客車每次可運送學生110名．現有學生400名，計劃租用小客車a輛，大客車b輛，一次送完，且恰好每輛車都坐滿．(1)1輛小客車和1輛大客車都坐滿后一次可送多少名學生？(2)請幫學校設計出所有的租車方案．(3)若小客車每輛需租金200元，大客車每輛需租金380元，請選出最省錢的方案，并求出最省租金．【答案】(1)1輛小客車和1輛大客車都坐滿后一次可送65名學生(2)租車方案有3種：①小客車20輛，大客車0輛；②小客車11輛，大客車4輛；③小客車2輛，大客車8輛(3)最省錢的方案為租2輛小客車，8輛大客車，最省租金為3440元【分析】此題主要考查了二元一次方程組的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程．（1）每輛小客車能坐a名學生，每輛大客車能坐b名學生，根據用3輛小客車和1輛大客車每次可運送學生105人；用1輛小客車和2輛大客車每次可運送學生110人；列出方程組，再解即可；（2）根據題意可得小客車a輛運的人數+大客車b輛運的人數，然后求出整數解即可；（3）根據（2）所得方案和小客車每輛租金200元，大客車每輛租金380元分別計算出租金即可．【詳解】（1）解：設1輛小客車坐滿后一次可送名學生，1輛大客車坐滿后一次可送名學生．根據題意，得解得所以．答：1輛小客車和1輛大客車都坐滿后一次可送65名學生．（2）解：根據題意，得，即．因為均為非負整數，所以或或答：租車方案有3種：①小客車20輛，大客車0輛；②小客車11輛，大客車4輛；③小客車2輛，大客車8輛．（3）解：由（2）知，租車方案有3種，所以租車費用為：①（元）；②（元）；③（元）．因為，所以選擇租小客車2輛，大客車8輛最省錢．答：最省錢的方案為租2輛小客車，8輛大客車，最省租金為3440元．2．隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，據了解，2輛型汽車．3輛型汽車的進價共計80萬元；3輛型汽車、2輛型汽車的進價共計95萬元．(1)求、兩種型號的汽車每輛進價分別為多少萬元？(2)若該公司計劃正好用180萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），則該公司有哪幾套方案？【答案】(1)型汽車每輛的進價為25萬元，型汽車每輛的進價為10萬元(2)3種；方案見解析【分析】本題考查二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出二元一次方程（組）．（1）設A種型號的汽車每輛進價為a萬元，B種型號的汽車每輛進價為b萬元，根據題意列二元一次方程組，即可求解；（2）設購買A型號的汽車m輛，B種型號的汽車n輛，根據總價為180萬元列出二元一次方程，進而分析得出購買方案．【詳解】（1）解：設型汽車每輛的進價為萬元，型汽車每輛的進價為萬元，依題意，得：，解得，答：型汽車每輛的進價為25萬元，型汽車每輛的進價為10萬元．（2）解：設購進型汽車輛，購進型汽車輛，依題意，得：，，，均為正整數，或或，共3種購買方案，方案一：購進型車2輛，型車13輛；方案二：購進型車4輛，型車8輛；方案三：購進型車6輛，型車3輛．3．北京時間2024年4月26日5時04分，神舟十八號航天員乘組順利進駐中國空間站與神舟十七號航天員乘組太空會師，載人飛船發射取得了圓滿成功！小星和小紅都是航天愛好者，他們計劃購買甲、乙兩種飛船模型收藏．下面是兩位同學的對話：(1)求甲、乙兩種飛船模型每件的售價分別為多少元？(2)若小星計劃正好用200元零花錢購買以上兩種飛船模型，且每種都有購買，請通過計算說明有多少種購買方案．【答案】(1)甲種飛船模型每件進價25元，乙種飛船模型每件進價15元(2)有2種購買方案：①購進5件甲種飛船模型和5件乙種飛船模型；②購進2件甲種飛船模型和10件乙種飛船模型【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應用及二元一次方程的正整數解的應用，找準等量關系列出二元一次方程（組）是解題關鍵．（1）設甲種飛船模型每件進價x元，乙種飛船模型每件進價y元，根據1件甲種飛船模型和1件乙種飛船模型的售價共計40元，2件甲種飛船模型和3件乙種飛船模型的售價共計95元，建立二元一次方程組，解之即可；（2）設購進a件甲種飛船模型和b件乙種飛船模型，根據總價單價數量，得到關于a、b的二元一次方程，結合a、b是正整數即可得所有購買方案．【詳解】（1）解：設甲種飛船模型每件的售價為元，乙種飛船模型每件的售價為元，根據題意得，解得，答：甲種飛船模型每件的售價為25元，乙種飛船模型每件售價為15元；（2）解：設購買件甲種飛船模型和件乙種飛船模型，根據題意得，，，均為正整數，當時，；當時，，有2種購買方案如下：①購買5件甲種飛船模型和5件乙種飛船模型；②購買2件甲種飛船模型和10件乙種飛船模型．類型十、二元一次方程組的應用——幾何問題【解惑】簡單多面體的頂點數（V）、面數（）、棱數（）之間存在一定的數量關系．給出四種簡單多面體的頂點數、面數、棱數如下表：名稱圖形頂點數（）面數（）棱數（）三棱錐長方體五棱柱正八面體(1)猜想：頂點數（V）、面數（）、棱數（）之間存在的代數關系式是_____________．(2)若一個多面體的面數比頂點數大，且有條棱，求這個多面體的面數．(3)某個簡單的多面體，是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，共有個頂點，每個頂點處都有條棱．①求它共有多少條棱；②若該多面體三角形的個數比八邊形的個數的倍少，求該多面體三角形的個數【答案】(1)(2)；(3)①條棱，②．【分析】本題考查立體幾何中，點，面，棱的關系，整式，二元一次方程，一元一次方程的應用，解題的關鍵是掌握整式的加減運算，二元一次方程的應用，一元一次方程的應用，根據題意，找到等量關系，進行解答，即可．（1）根據觀察表格數據可得，頂點數和面數的和減去棱數剛好等于，即可；（2）根據（1）得到的規律，進行解答，即可；（3）①根據頂點數和棱數的關系，進行求解，即可；②方法一：設該多面體外表三角形的個數為個，八邊形的個數為個，列出方程，即可；方法二：根據（1）得到的規律，求出面數，再設該多面體外表八邊形的個數為個，三角形的個數為個，列出方程，即可．【詳解】（1）解：三棱錐中，；長方體中，；五棱柱中，；正八面體中，∴頂點數（V）、面數（）、棱數（）之間存在的代數關系式為：．故答案為：．（2）解：由（1）得，∴一個多面體的面數比頂點數大，∴，∵有條棱，∴，解得：，∴面數為：．答：這個多面體的面數為．（3）解：①∵有個頂點，每個頂點處都有條棱，而兩點確定一條直線，∴棱數為：條；②方法一：設該多面體外表三角形的個數為個，八邊形的個數為個，∴由題意得，列方程組為：，解得：；∴該多面體三角形的個數為．方法二：∵，∴，解得：；設該多面體外表八邊形的個數為個，三角形的個數為個，∴，解得：，∴，∴該多面體三角形的個數為．【融會貫通】1．劉爺爺計劃在一塊長為，寬為的長方形空地種上蔬菜，如圖所示，在空地上留出三個完全相同的小長方形和四個完全相同的正方形來種植番茄（陰影部分），其余部分種植辣椒．已知正方形的邊長與小長方形的寬相等，請分別求出種番茄和辣椒的面積．【答案】種植番茄的面積為46平方米，種植辣椒的面積為．【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用等知識點，設小長方形的寬為，長為，再結合圖形可得方程組，然后解方程組求出的值，進而即可得解，結合圖形找出等量關系列出方程組是解題的關鍵．【詳解】設小長方形的寬為，長為，根據題圖，得，解得，種植番茄的面積為，種植辣椒的面積為，答：種植番茄的面積為46平方米，種植辣椒的面積為．2．如圖，用10塊形狀、大小相同的長方形地磚無縫隙無重疊地拼成一個大長方形圖案，求長方形地磚的長與寬．【答案】長方形地磚的長為20厘米，寬為5厘米【分析】本題考查二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組．先設長方形地磚的長為厘米，寬為厘米，然后根據圖形，即可列出相應的方程組，再求解即可．【詳解】解：設長方形地磚的長為厘米，寬為厘米，由圖可得：，解得，答：長方形地磚的長為20厘米，寬為5厘米．3．某企業用規格是的標準板材作為原材料，按照圖①所示的裁法一和裁法二，分別裁剪出甲型與乙型兩種板材（單位：）．(1)求出圖①中與的值．(2)在試生產階段，若將張標準板材按裁法一裁剪，張標準板材按裁法二裁剪，裁剪后將得到的甲型與乙型板材做側面或底面，做成如圖②所示的豎式與橫式兩種無蓋的裝飾盒若干個（接縫處的長度忽略不計）．①一共可裁剪出甲型板材_______________張，乙型板材________________張；②設做成的豎式無蓋禮品盒個，橫式無蓋禮品盒個，根據題意完成表格：禮品盒板材豎式無蓋（個）橫式無蓋（個）甲型（張）乙型（張）③恰好一共可以做出豎式和橫式兩種無蓋裝飾盒子________________個．（在橫線上直接寫出答案）【答案】(1)，(2)①，；②甲型：，；乙型：，；③．【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是找準等量關系，列出二元一次方程組．（1）根據裁法一和裁法二裁出甲、乙的張數及剩余，可得出關于、的二元一次方程組，即可求解；（2）①由裁法一裁出2張甲和一張乙，裁法二裁出一張甲和2張乙，結合標準板材即可求解；②根據制作一個豎式無蓋需要甲和張乙，制作一個橫式無蓋需要甲和張乙，即可求解；③根據甲、乙裁出的張數列二元一次方程組即可求解．【詳解】（1）解：根據題意得：，解得：，，；（2）①一共可裁剪出甲型板材；（張），乙型版：（張），故答案為：，；②甲型：，；乙型：，；③根據題意得：，解得：，，故答案為．【一覽眾山小】1．把一根長的繩子截成和兩種規格的繩子，要求每種規格的繩子至少1根，且無浪費，則不同的截法有（

）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】A【分析】此題主要考查了二元一次方程的應用，讀懂題意，找出題目中的等量關系，得出x，y的值是解本題的關鍵，注意x，y只能取正整數．設截成長的繩子根，截成長的繩子根，根據繩子全長為列出方程，得出方程的整數解即可．【詳解】解：設截成長的繩子根，截成長的繩子根，根據題意，得：，，均為正整數，∴，或，不同的截法有3種．故選：A．2．如圖，小明爺爺有一塊長為，寬為的長方形土地，現要沿平行于長方形各邊的方向分割出三個完全相同的小長方形土地種植郁金香，設小長方形土地的長為，寬為，則可列方程組為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應用，解決本題的關鍵是根據圖形審題，列出方程組．根據圖形可知兩個小長方形土地加一個小長方形土地的寬即鋪滿了長方形塊空地的長，即，兩個小長方形土地的寬加一個小長方形土地的長即鋪滿了長方形空地的寬，即，解方程組即可．【詳解】解：設小長方形土地的長為，寬為，根據題意得：，故選：D．3．將一副直角三角板按如圖方式擺放，圖中比的3倍多，若求，的度數，則可列方程組為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了由幾何問題抽象出二元一次方程組，解題的關鍵是正確找出等量關系．根據等量關系：①三角板中最大的角是，從圖中可看出，②比的3倍多，則．【詳解】解：由圖可知：，又∵比的3倍多，∴，∴聯立，得到方程組：．故選：B．4．在800米的環形跑道上甲、乙兩人相距200米，若兩人同向勻速行走（在兩人的行走方向上，甲在乙后方），400秒后甲可以追上乙；若兩人反向勻速行走，240秒后二人可以相遇．設甲步行的速度是x米/秒，乙步行的速度是y米/秒，根據題意所列的方程組是．【答案】【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，弄清題意，找準等量關系列出相應方程是解題的關鍵．根據題意，得出等量關系：根據兩人同向勻速行走（在兩人的行走方向上，甲在乙后方），400秒后甲可以追上乙，得方程；根據兩人反向勻速行走，240秒后二人可以相遇，得方程，再得出方程組即可．【詳解】解：設甲步行的速度是x米/秒，乙步行的速度是y米/秒，根據兩人同向勻速行走（在兩人的行走方向上，甲在乙后方），400秒后甲可以追上乙，得方程；根據兩人反向勻速行走，240秒后二人可以相遇，得方程．可得方程組．故答案為：．5．校合唱團正在為紅歌比賽分組訓練，若每組6人，則余3人；若每組7人，則缺5人，設合唱團共有x人，組數為y組，則可列方程組為．【答案】【分析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，理解題意是解題關鍵．根據關鍵語句“每組6人，則余3人；若每組7人，則缺5人，設合唱團共有x人，組數為y組”可建立兩個方程可得方程組．【詳解】解：設合唱團共有x人，組數為y組，由題意得：，故答案為：．6．已知方程組是關于，的二元一次方程組，則的值．【答案】5【