2025年高考數學全國二卷試題真題解讀及答案詳解

年高考數學真題完全解讀（全國二卷）適用省份海南、重慶、遼寧、貴州、廣西、吉林、黑龍江、甘肅、四川、云南、內蒙古、陜西、山西、青海、寧夏、新疆、西藏。一、試卷結構與難度分布試卷依舊保持19題的結構模式，整體難度適中，計算量與閱讀量相比去年有所減少，對考生較為友好。試卷難度呈現梯度分布，起點較低，入口多樣。其中，單選題1-8題、多選題9-10題、填空題12-13題以及解答題15題、16題第（1）問、17題第（1）問都屬于基礎題，主要考查學生對基本概念、公式和方法的掌握，易于作答，這使得多數學生能夠順利入手，緩解考試緊張情緒，也有助于穩定整體得分。然而，試卷也具備一定的區分度，如解答題18題和19題難度較大，對學生的思維能力和綜合素養提出了較高要求，能夠有效選拔出數學能力突出的學生。二、考查內容特點1.

雙基固本，強化核心知識：試卷全面覆蓋集合、函數與導數、三角、向量、數列、幾何、概率統計等核心知識模塊，注重考查學生對基礎知識和基本技能的熟練程度與靈活應用能力，強調知識的整體性和連貫性。例如，前幾道單選題分別考查了樣本平均數計算、復數運算、集合運算、解分式不等式、解三角形等基礎內容；填空題12題考查向量運算，13題考查導數的極值點問題，這些都是對基礎知識的直接檢驗。2.

情境賦能，鏈接生活實際：創設了多元的生活實際情境，實現從“考知識”到“考能力”的轉變。如填空題14題以圓柱形容器內放置兩個同半徑的球為情境，考查學生的空間想象能力和構建方程解題的能力；19題以學生熟悉的乒乓球練習為背景，構建概率模型，考查學生運用概率知識解決實際問題的能力，體現了數學的應用價值，引導學生關注生活，增強實踐能力。3.

素養貫通，凸顯育人功能：緊扣數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算等核心素養，彰顯學科育人價值。例如18題利用導數求函數的零點與極值點，在含參數的區間上研究函數的單調性，并判斷極值點的2倍與零點的大小關系，考查學生的理性思維和邏輯推理能力；19題要求學生建立重復獨立事件的概率模型進行計算與證明，體現了從直觀感知到嚴格論證的課標要求，提升學生的綜合素養。三、試題創新點1.

創新試題設計，考查思維能力：在命題上積極創新，如19題引入新穎的乒乓球練習情境研究概率關系，打破常規，考查學生在新情境下創造性分析問題、建立新知識聯系并形成解題思路的能力。2.

增強探究開放，考查思維品質：創新設問方式，增強試題的探索性和綜合性，如18題研究函數極值點和零點的關系，設問由淺入深，邏輯性強，具有一定開放性，考查化歸與轉化、數形結合、函數與方程等數學思想，有效考查學生的思維過程和思維品質。3.

優化試卷結構，靈活調整順序：對各知識模塊的考查順序和難易度進行動態調整，如以往作為壓軸題的圓錐曲線題調整到16題，而概率題加強能力考查力度，安排在19題。這種調整打破學生機械應試的套路，測試學生的應變能力。一.2025年高考數學試題特色——數學運算1.（2025全國二卷第5題）在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【技巧】又因，故，選A2.（2025全國二卷第13題）若是函數的極值點，則【答案】【解析】由題意有，所以，【技巧】不用展開，利用運算法則求導因為是函數極值點，所以，得，當時，，當單調遞增，當單調遞減，當單調遞增，所以是函數的極小值點，符合題意；所以.二．2025年高考數學試題特色——知識交匯2025年新高考試題中知識的交匯大多在本模塊內進行，如圓錐曲線與圓，函數與導數，立體幾何初步與空間向量等，二項分布與古典概型等符合大單元教學的理念。1．（2025全國二卷第11題）雙曲線的左、右焦點分別是，左、右頂點分別為，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于M、N兩點，且，則（

）A． B．C．C的離心率為 D．當時，四邊形的面積為2．（2025全國二卷第15題）已知是定義在R上的奇函數，且當時，，則（

）A． B．當時，C．當且僅當 D．是的極大值點3．（2025全國二卷第17題）如圖，在四邊形中，，F為CD的中點，點E在AB上，，，將四邊形沿翻折至四邊形，使得面與面EFCB所成的二面角為．(1)證明:平面；(2)求面與面所成的二面角的正弦值．4．（2025全國二卷第19題）甲、乙兩人進行乒乓球練習，每個球勝者得1分，負者得0分．設每個球甲勝的概率為，乙勝的概率為q，，且各球的勝負相互獨立，對正整數，記為打完k個球后甲比乙至少多得2分的概率，為打完k個球后乙比甲至少多得2分的概率．(1)求（用p表示）．(2)若，求p．(3)證明：對任意正整數m，．2025年新高考全國I卷數學試題雙向細目表題號分值題型新高考Ⅰ卷考查內容命題點15單選統計平均數25單選復數復數的運算35單選集合交集的運算45單選不等式分式不等式55單選解三角形余弦定理65單選圓錐曲線拋物線的性質，焦點弦75單選數列等差數列基本量運算85單選三角函數三角恒等變換96多選數列等比數列基本量運算106多選函數與導數函數的性質，利用導數研究函數的極值116多選圓錐曲線雙曲線的性質125填空平面向量向量垂直的坐標表示135填空導數利用導數研究函數的極值145填空立體幾何球的切接1513解答三角函數三角函數的性質1615解答圓錐曲線橢圓方程，弦長1715解答立體幾何線面平面，二面角1817解答導數利用導數研究函數的單調性、極值點、零點，證明不等式1917解答概率與統計古典概型，二項分布的概率的最大問題教學中注意改變學生以往的學習觀.學生對數學概念知識不能單純地死記硬背，要理

深思熟慮仔細做一遍，確保基本概念、公式等真正理解牢固掌握.一些基本的運算方法和

技巧也要掌握并能靈活運用，做到熟能生巧.新課標全國Ⅰ卷數學試題引導我們要轉變教師的教學理念.課

2025年新高考全國二卷數學試題及解析一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．樣本數據2，8，14，16，20的平均數為（

）A．8 B．9 C．12 D．18【答案】C【解析】樣本數據的平均數為.故選：C.2．已知，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因為，所以.故選：A.【知識拓展】除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數3．已知集合則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，故，故選：D.【知識拓展】對于集合的交運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續的，可用數軸表示，此時要注意端點的情況．4．不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】即為即，故，解集為，故選C.【知識拓展】不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式,先移項再通分(不要去分母),使不等號右邊為零,然后再用上述方法轉化為整式不等式(組)求解.5．在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，又，所以，故選：A【知識拓展】解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．6．設拋物線的焦點為點A在C上，過A作的準線的垂線，垂足為B，若直線BF的方程為，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】對，令，則，所以，即拋物線，故拋物線的準線方程為，故，則，代入拋物線得.所以.故選：C【知識拓展】拋物線定義的應用根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現點點距與點線距的相互轉化，從而簡化某些問題．7．記為等差數列的前n項和，若則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設等差數列的公差為d，則由題可得，所以，故選：B.【知識拓展】（1)等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(2)確定等差數列的關鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d.8．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，因為，則，則，則.故選：D.【知識拓展】給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關角的哪些三角函數值，然后根據角的范圍求出相應角的三角函數值，代入即可．二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．記為等比數列的前n項和，為的公比，若，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對A，由題意得，結合，解得或（舍去），故A正確；對B，則，故B錯誤；對C，，故C錯誤；對D，，，則，故D正確；故選AD.【知識拓展】等比數列基本量的運算的解題策略(1)等比數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求解．(2)解方程組時常常利用“作商”消元法．(3)運用等比數列的前n項和公式時，一定要討論公比q＝1的情形，否則會漏解或增解．10．已知是定義在R上的奇函數，且當時，，則（

）A． B．當時，C．當且僅當 D．是的極大值點【答案】ABD【解析】對A，因為定義在上奇函數，則，故A正確；對B，當時，，則，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，當時，，則，令，解得或（舍去），當時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減，則是極大值點，故D正確；故選ABD.【知識拓展】1.利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值．2.函數極值和極值點的求解步驟(1)確定函數的定義域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數的定義域分成若干個小開區間，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況．11．雙曲線的左、右焦點分別是，左、右頂點分別為，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于M、N兩點，且，則（

）A． B．C．C的離心率為 D．當時，四邊形的面積為【答案】ACD【解析】不妨設漸近線為，在第一象限，在第三象限，對于A，由雙曲線的對稱性可得為平行四邊形，故，故A正確；對于B，方法一：因為在以為直徑的圓上，故且，設，則，故，故，由A得，故即，故B錯誤；方法二：因為，因為雙曲線中，，則，又因為以為直徑的圓與的一條漸近線交于、，則，則若過點往軸作垂線，垂足為，則，則點與重合，則軸，則，方法三：在利用余弦定理知，，即，則，則為直角三角形，且，則，故B錯誤；對于C，方法一：因為，故，由B可知，故即，故離心率，故C正確；方法二：因為，則，則，故C正確；對于D，當時，由C可知，故，故，故四邊形為，故D正確，故選：ACD.【知識拓展】求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq\f(c,a)轉化為關于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)．三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知平面向量若，則【答案】【解析】，因為，則，則，解得.則，則.【知識拓展】1.求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②幾何法：利用向量的幾何意義．2.兩個向量垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．13．若是函數的極值點，則【答案】【解析】由題意有，所以，因為是函數極值點，所以，得，當時，，當單調遞增，當單調遞減，當單調遞增，所以是函數的極小值點，符合題意；所以.【知識拓展】根據函數的極值(點)求參數的兩個要領(1)列式：根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解．(2)驗證：求解后驗證根的合理性．14．一個底面半徑為，高為的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計）內有兩個半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為．【答案】【解析】圓柱的底面半徑為，設鐵球的半徑為r，且，由圓柱與球的性質知，即，，【知識拓展】內切球問題的處理思路通法是作截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，解題思路如下：（1）定球心：內切球中球心到切點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度作出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現這些元素間的關系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑、下結論：根據作出的截面中的幾何元素，建立關于球半徑的方程，并求解.四、解答題：本題共5小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知函數．(1)求;(2)設函數，求的值域和單調區間．【解】（1）由題意，所以；（2）由（1）可知，所以，所以函數的值域為，令，解得，令，解得，所以函數的單調遞減區間為，函數的單調遞增區間為.【知識拓展】1.三角函數值域的不同求法(1)把所給的三角函數式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．(2)把sinx或cosx看作一個整體，轉換成二次函數求值域．(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的關系轉換成二次函數求值域．2.已知三角函數解析式求單調區間求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的單調區間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，可先借助誘導公式將ω化為正數，防止把單調性弄錯．16．已知橢圓的離心率為，長軸長為4．(1)求C的方程；(2)過點的直線l與C交于兩點，為坐標原點，若的面積為，求．【解】（1）因為長軸長為4，故，而離心率為，故，故，故橢圓方程為：.（2）由題設直線的斜率不為0，故設直線，，由可得，故即，且，故，解得，故.【知識拓展】1.根據條件求橢圓方程的主要方法(1)定義法：根據題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義．(2)待定系數法：根據題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當不知焦點在哪一個坐標軸上時，一般可設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦點的橢圓方程可設為eq\f(x2,a2＋m)＋eq\f(y2,b2＋m)＝1(a>b>0，m>－b2)；與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程可設為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝λ(a>b>0，λ>0)．2.弦長的求解方法(1)當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解.(2)當直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓或雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同的點，則弦長公式的常見形式有如下幾種：①|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)＝17．如圖，在四邊形中，，F為CD的中點，點E在AB上，，，將四邊形沿翻折至四邊形，使得面與面EFCB所成的二面角為．(1)證明:平面；(2)求面與面所成的二面角的正弦值．【解】（1）設，所以，因為為中點，所以，因為，，所以是平行四邊形，所以，所以，因為平面平面，所以平面，因為平面平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）因為，所以，又因為，所以，以為原點，以及垂直于平面的直線分別為軸，建立空間直角坐標系.因為，平面與平面所成二面角為60°，所以.則，，，，，.所以.設平面的法向量為，則，所以，令，則，則.設平面的法向量為，則，所以，令，則，所以.所以.所以平面與平面夾角的正弦值為.【知識拓展】1.判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點)．②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．③利用面面平行的性質(α∥β，a?α?a∥β)．④利用面面平行的性質(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．2.利用空間向量計算平面與平面夾角大小的常用方法(1)找法向量：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大小．(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，然后通過這兩個向量的夾角可得到平面與平面夾角的大小．18．已知函數，其中．(1)證明：在區間存在唯一的極值點和唯一的零點；(2)設分別為在區間的極值點和零點.（i）設函數·證明：在區間單調遞減；（ii）比較與的大小，并證明你的結論．【解】（1）由題得，因為，所以，設，則在上恒成立，所以在上單調遞減，，令，所以當時，，則；當時，，則，所以在上單