2026屆新高考數學熱點沖刺復習 冪函數、指數函數、對數函數的綜合應用

2026屆新高考數學熱點沖刺復習

冪函數、指數函數、對數函數的綜合應用01課前自學02課堂導學目錄【課時目標】掌握冪函數、指數函數、對數函數的圖象及其性質，能利用函數的圖象與性質解決有關的綜合問題.【考情概述】冪函數、指數函數、對數函數的綜合應用是新高考考查的重點內容之一，常以選擇題或填空題的形式進行考查，有時與其他知識交匯考查，難度中等，屬于高頻考點.

知識梳理1.與指數、對數函數相關的較復雜函數的研究，往往與函數的單調性、奇偶性、對稱性等性質相聯系，解題時當底數a與1的大小關系不確定時，一般要分類討論.2.換元法經常用于研究指數型、對數型函數的性質、三角函數式的化簡求值、解析幾何的計算等.回歸課本1.判斷：

（2）若函數y＝lg（x2＋ax＋1）的值域為R，則實數a的取值范圍是（－2，2）.

（

?

）（3）

（RA一P161復習參考題4第11題改編）函數f（x）＝loga（x＋1）＋loga（x－1）是偶函數.

（

?

）（4）

（RA一P135探究與發現改編）函數y＝log2x與y＝2－x的圖象關于直線y＝x對稱.

（

?

）????

A.

a＜b＜cB.

b＜c＜aC.

c＜a＜bD.

c＜b＜a3.已知函數y＝log2（ax－1）在區間（1，2）上單調遞增，則實數a的取值范圍是（

C

）A.

（0，1]B.

[1，2]C.

[1，＋∞）D.

[2，＋∞）DC

A.

f（x）＝x2C.

f（x）＝2xD.

f（x）＝lnxBD

－1

（－1，0）

6.

（RA一P140習題4.4第7題）判斷下面各對函數是否互為反函數.若是，則求出它們的定義域和值域：（1）

y＝lnx，y＝ex；解：（1）

y＝lnx與y＝ex互為反函數，y＝lnx的定義域和值域分別為（0，＋∞），R；y＝ex的定義域和值域分別為R，（0，＋∞）.

A.

a＜b＜cB.

b＜c＜aC.

c＜b＜aD.

b＜a＜cD

（2）設3a＝8，b＝log0.50.2，c＝log424，則a，b，c的大小關系為（

B

）A.

a＜b＜cB.

a＜c＜bC.

b＜a＜cD.

b＜c＜aB解：由題意，得a＝log38＜log39＝2，b＝log0.50.2＝log25＝log425＞log424＝c＞log416＝2，則a＜c＜b.總結提煉

指數式、對數式、冪值比較大小的思路（1）思路一：對于同底數的指數式、對數式或冪值，直接根據函數的單調性比較大小.（2）思路二：對于不同底數的指數式、對數式或冪值，①可化為同底數的指數式、對數式或冪值，再根據單調性比較大小；②找中間量（通常找0和1）進行比較；③用作差法、作商法比較大小.

A.

b＞c＞aB.

b＞a＞cC.

c＞b＞aD.

c＞a＞bA考向2

構造函數比較大小例2

（1）

（一題多解）已知a，b，c∈（0，＋∞），且lna＝a－1，blnb＝1，cec＝1，則a，b，c的大小關系是（

C

）A.

c＜b＜aB.

a＜b＜cC.

c＜a＜bD.

b＜a＜cC（2）

（多選）若正實數x，y滿足lny－lnx＞y－x＞sin

y－sin

x，則下列關系式可能成立的是（

AD

）A.

0＜x＜1＜yB.

y＞x＞1C.

0＜y＜x＜1D.

0＜x＜y＜1AD總結提煉

指數、對數比較大小（1）對于結構相同的，利用相應函數的單調性比較大小；（2）結構不同，但通過變形能轉化為熟悉的函數的，可以利用圖象求解，或轉化為結構相同的函數的不同函數值，再構造函數求解.【對點訓練】2.

（2023·黃石模考）已知a＝e－2，b＝1－ln2，c＝ee－e2，則下列大小關系正確的是（

D

）A.

c＞b＞aB.

a＞b＞cC.

a＞c＞bD.

c＞a＞bD

（2）已知函數f（x）＝2｜2x－m｜（m為常數）.若f（x）在區間[2，＋∞）上單調遞增，則實數m的取值范圍是

（－∞，4]

.（－∞，4]

[－1，＋∞）

【拓展探究】將例3（2）中的條件改為“若函數f（x）＝2｜x－a｜（a∈R）滿足f（1＋x）＝f（1－x），且f（x）在區間[m，＋∞）上單調遞增”，則實數m的最小值為

1

.1

總結提煉

求解與指數函數有關的復合函數的問題時，要明確復合函數的構成，常應用換元法簡化問題.當涉及值域、單調區間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷，最終將問題轉化為與內層函數相關的問題并加以解決.考點三

與對數有關的復合函數綜合問題

（1）求函數f（x）的定義域D，并判斷f（x）的奇偶性；

（2）用定義證明函數f（x）在D上是增函數；

（3）

當x∈（t，a）時，若函數f（x）的值域是（－∞，1），求t與a的值.總結提煉

求與對數函數有關的復合函數的值域和單調性問題時，必須弄清三方面的問題，一是定義域，所有問題必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的.【對點訓練】3.已知函數f（x）＝loga（3－ax）.（1）

當x∈[0，2]時，若函數f（x）恒有意義，求實數a的取值范圍.

（2）是否存在這樣的實數a，使得函數f（x）在區間[1，2]上是減函數，