高二年級下冊期中復習題（解析版）-2024-2025學年高二數學（人教A版選擇性必修第三冊）

2024-2025學年高二下學期期中復習真題精選（壓軸65題13類題型專

練）

【人教A版（2019）］

題型歸納

■題型2利用導數研究函數零點（方程根）

題型1兩條切線平行、垂直、公切線問題

題型4利用導數研究雙變量問題

題型3導數中的不等式問題

題型6涂色問題

題型5導數中的新定義問題

壓軸?題型歸納—題型8二項式定理及其應用

題型7排列］、組合綜合

題型10條件概率與全概率公式

題型9楊輝三角問題

題型12』分布與胡何分布綜合

題型U期望、方差的綜合應用

題型13正態分布及其綜合應用

兩條切線平行、垂直、公切線問題（共5小題）。|

1.（23-24高二下?安徽合肥?期中）若曲線y=/-aln%在點處的切線與直線丫=》一2垂直，則實數。

的值為（）

A.1B.V5C.2D.3

【解題思路】求導曠=2%-￡,=2-Q與直線y=%-2垂直，求出。的值.

【解答過程】由y=%2-0n%,求導曠=2%-三，

則y=%2-qinx在點處的切線的斜率為y1%=i=2-a,

而y=/-ain%在點處的切線與直線y=第一2垂直，

貝！J2—。=-1,故Q=3.

故選：D.

2.（23-24高二下?四川綿陽?期中）若直線y=kx+b是曲線y=Inx+2的切線，也是曲線y=ln（x+1）的切

線，貝妹=（）

A.2B.3C.1D.1.5

【解題思路】設切點分別為（%i,ln%i+2）、（%2Jn（%2+1））,根據導數幾何意義及公切線列方程求參數值即可.

【解答過程】若f(%)=In%+2,則r(%)=:且%>0,

若g(%)=ln(%+1),則4(%)=*,且%>-1,

又y=kx+b是/(%)=In%+2、g(%)=ln(x+1)的公切線，

設切點分別為+2)、(%21n(%2+1))，則/(%1)=9'(%2)=匕

kxi+b=ln%i+2

kx2+b=ln(x2+1),則｛女(％1一%2)=ln%i+2—ln(x2+1),即k?

x1x2+l

故選：A.

3.(23-24高二下?遼寧沈陽?期中)對于三次函數/(x),若y=/(x)在(0,0)處的切線與g(x)=x/(x)在(1,2)

處的切線重合，則下列命題中真命題的為()

A.1(x)=2B.尸(1)=0C./⑶為奇函數D./(久)圖象關于對稱

【解題思路】根據題意設出三次函數的解析式/(久)=久2+c%+40),由題意(0,0)在/(x)上得

d=0,切線經過(0,0)與(1,2)得k=2,對函數進行求導，把x=0代入得

c=2,再求出函數g(x),由g⑴與歐1)得a與b,即可得到三次函數/(%)的解析式,即可判斷選項A、B、

C,在驗證/⑺+/67—%)=蒜44即可判斷選項D.

【解答過程】設三次函數/(x)=ax3+bx2+cx4-d(a豐0)

???(0,0)在f(%)上

f(0)=d=0

???切線經過(0,0)與(1,2),故切線斜率為卜=存=2

「(%)=3ax2+2b%+c

f(0)=c=2

g(x)=x/(x)=ax4+bx3+2x2,g(l)=a+b+2=2

=4a%3+3bx2+4x,g'(l)=4a+3b+4=2

(a+b+2=2(CL=-2

(4a+3b+4=2=Ib=2

/(%)=-2x3+2x2+2x

/(%)=-6x2+4x+2

故選項A錯誤；

f(l)=0,故選項B正確；

/(%)=-/(-%),故選項C錯誤;

/(|-x)=2X3-2X2-X+署

244

/(久)+/(目-%)=方

故/(%)圖象關于G，If)對稱，即選項D正確.

故選：BD.

4.⑵-24高二下?湖北武漢?期中)已知直線y=kx+b是曲線f(x)=e，T與灰x)=e'+2023—2024的公切線,

則卜=1.

【解題思路】設出公切線與兩曲線的切點坐標，分別求出在切點處的切線方程，利用斜率相等及切線在y軸

上的截距相等即可求解.

【解答過程】設直線y=kx+6與/(%)的圖象相切于點Pi(Xi,yi)

與/CO的圖象相切于點「2(尤222)，

x+2023X11Xz+2023

又「'(x)=e*T,g'(x)=e,且Vi=e~,y2=e—2024.

曲線y=/(x)在點^1(X1，71)處的切線方程為y—eXi-i=6犯-1(尤_巧)，

2023+2023

曲線y=g(x)在點P2(x2,y2)處的切線方程為y-e^++2024=e^(x-x2).

x+2O23x+2O23

故上對一1一%1/-1=e^-x2e^-2024'

解得%1-x2=2024,

當一。即一眇

2_1-12+2023+20241

X1~x2~2024—

故答案為：1.

5.(23-24高二下?北京?期中)已知函數/(%)=%3-2%+2.

⑴求函數/(%)在區間［0,2］上的平均變化率；

(2)設g(x)=2x+g若曲線y=/(x)在點(1/(1))處的切線與曲線y=g(x)在點(l,g(l))處的切線平行，求實

數k的值；

(3)求過點(2/(2))且與曲線y=/(久)相切的直線方程.

【解題思路】(1)根據平均變化率公式，即可求解；

(2)利用導數求的幾何意義求切線斜率，利用斜率相等，即可求解；

(3)首先設切點(久°,就-2配+2),利用導數的幾何意義求切線方程.

【解答過程】(1)函數f(x)在區間［0,2］上的平均變化率為%鏟=9=2；

(2)/(x)=%3—2%+2,//(x)=3x2—2,//(l)=1,

kk

5(%)=2%+-,夕(%)=2—至，，⑴=2-憶

由題意可知，2-k=1,得k=1；

(3)/(2)=6,設切點為(%(),就-2%o+2),/(久0)=3就-2,

則曲線y=/(%)在點(%。潟-2%o+2)處的切線方程為y-(■一2%o+2)=(3就一2)(%-%()),切線過點(2,6),

則6-(焉一2%o+2)=(3舄-2)(2-久0),化簡為就一3就+4=0,

BP(%o—2)(%Q—%o—2)=。，則(%。-2)2(%。+1)=0,

得％o=2或％o=-1,

當第0=2時，切線方程為y=10%—14,

當配=一1時，切線方程為y=%+4,

綜上可知，切線方程為y=10%-14或y=%+4.

題型2利用導致研究函數零點(方程根)(共5小題)

1.(23-24高二下?天津?期中)若函數/(久戶兒；葬陶恰好有四個零點，則實數a的取值范圍

是()

A.(1,+oo)B.(0,2)U{—2}C.(2,3)D.[2,3)

【解題思路】由題意轉化為y=a與g(x)=<0)和%(%)=厘+2(x>0)共有兩個交點，利用導數研

究單調性極值，數形結合得解.

【解答過程】因為/(0)=-1力0,所以x=。不是/(x)的零點，

，—X—1,xJ<C0

,X

當久時，令/(%)=0,得。=lnx+1.、八

-----F2o,x>0

-X

令g(x)=-x-^x<o)，

由對勾函數性質可得g(x)在(-8,-1)上單調遞減，在(-1,0)上單調遞增，

所以g(x)min=g(-l)=2,

令h(x)=W^+2(x>0),

則人⑺=」(黑+1)=要,當xe(0,1)時，h'(x)>G,當xe(i,+8)時，〃(x)<0,

所以/i(x)在(0,1)上單調遞增，在(L+8)上單調遞減，h(x)max=h(l)=3,

且當%趨近正無窮時，h(%)趨近2,如圖所示，

—x—%<0

lnx+1J：八的圖象有且僅有四個交點，

-----F2,%>0

IX

此時函數/(%)恰好有四個零點.

故選：C.

2.(23-24高二下?山東日照?期中)已知函數/(%)=%2已2久+(Q_i)%a+l-a有三個不同的零點％其

中％1V%2<%3，貝久1)(1一%2心2)(1—％3。久3)2的值為()

A.1B.CL—1C.-1D.1-a

【解題思路】令1=乂/,求得導數和單調性，畫出圖象，從而考慮/+(a—l)t+l—a=0有兩個不同的根，

xx

從而可得a<—3或a>1,結合圖象可得》送巧=tr,x2e--t2,x3e--t3,結合韋達定理即可得到所求值.

【解答過程】令《=冊。則噌=(%+l)eX,故當%>-1時，〃>0,當％<-1時，〃<0,

所以函數"xe”在(-1,+8)上單調遞增，在(-8,-1)上單調遞減，且在"=1處取得極小值-《，

當％-?-8,1-0,+00,+00,所以函數力=的圖象如圖所示，

由/(%)=0可化為/+(a-l)t+l-a=0,結合圖象可知方程/+(a-l)t+1-a=。有兩個不同的實數根,

故△=(@-1)2-4(1-0)>0=>。<-3或。>1,不妨設方程的兩根為G，以，

若aV—3,+以=1—a>4,=1—。>4,所以ti>。,以>0，

由圖象易知f(%)=〃/(%)=以共有兩個根，故不成立；

若則方程的兩根為一正一負，不妨設力1<。<七2，

X1X2X3

結合t=%e尢的性質可得，%ie=tlfx2e=t2/x3e=t3,

2

故(1一％1a】)(1一%20)(1一%3白)2=(l-tl)(l-tl)(l-t2)=[l-(ti+以)+：也]2,

又因為七1七2=1—dfG+以=1—a,所以(1—%遇久1)(1—%2眇2)(1—%3e"3)2-(l—i+a+1—a)2=1.

故選：A.

3.(23-24高二下?福建福州?期中)己知函數/'(久)=ax3-6ax2+l(aH0)有且僅有三個不同的零點分別為

%1,冷,無3，則()

A.a的范圍是(一8,圭)B.a的范圍是(2,+8)

X-x

C.%1%23=1D.%1+X2+3=6

【解題思路】求出分a<0、a>0討論，利用導數求出極值可判斷AB；利用f(x)=a(x—x1)(x-x2)

32

(x-x3)=ax-6ax+1可判斷CD.

【解答過程】r(x)=3ax2-12ax=3ax(尤一4)(a力0),

令((x)=0,解得久=0或x=4,

當a<0時，

當xe(4,+8)時，f'(x)<0,7'(*)單調遞減，

當%￡(一8,0)時,f'(x)<0,/(x)單調遞減,

當x6(0,4)時，//(x)>0,/(x)單調遞增，

所以/'(0)極小值=1>0,/(4)極大值=64a—96a+1=1—32a>0,

此時函數fo)只有一個零點，不符合題意；

當a>0時，

當％6(4,+8)時,((久)>0,f(x)單調遞增,

當x6(—8,0)時，((x)>0,打乂)單調遞增，

當x6(0,4)時,f(%)<0,/(x)單調遞減，/(0)極大值=1>0,

要使f(x)有三個不同的零點，則

-1

/4)極小值=64。-96。+1=1-32。<°，解得a>豆，故A錯誤，B正確；

因為函數/(%)=ax3-6ax2+1(。。0)有且僅有三個不同的零點分別為久112X3，

則/(%)=。(％-第1)(%-%2)(%一汽3)

=a%3—a(%x+%2+%3)%2+a(%i%3+xlx2+%2%3)%—

=a%3—6a%2+1

即有一。％1%2汽3=1，+%2+%3=6,X1X3+%1%2+X2X3=。，

故C錯誤，D正確.

故選：BD.

4.(23-24高二下?上海?期中)已知函數/(x)=3(7+(a2-1送+1—有三個不同的零點％1,比2,冷，其中

久1<冷(久3則(1—言?(I—言)(「,)的值為_L.

【解題思路】令卷=t,則原函數會轉化為關于t的一元二次方程的根，通過韋達定理確定根的情況，同時研

究內層函數g(x)=卷的圖象，數形結合研究零點的范圍.

【解答過程】設90)=~

g'(x)=--

當“<1時,g'(x)>0；

當%>1時，g'(x)<0,

故0(%)在(-8,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減,

且%>0時，g(%)>0；]<0時，g(x)<0,

1

???9(X)max=9(1)=]

作出g(%)的圖象，如圖

要使/'0:)=3?+缶2-1送+1-小有三個不同的零點久[如知其中

令卷=t,貝⑶2+(小-1”+1一(12=0需要有兩個不同的實數根五/2(其中五<12)

1—a2..1—a2

可得力1+基=

%<%曲<0，KlJt2G(o,1)

.-.ti<o<t2<p則x1<。<刀2<1<%3，且g(%2)=g(%3)=勿

222

??.(1-舒)2(1—為(1—言)=(i-tl)(i-t2)=[1-&+t2)+tit2]=(1-亨+亨)，1,

故答案為：1.

5.(23-24高二下?湖北武漢?期中)設函數/O)=lnx+NaeR).

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)若/(久)有兩個零點應，X2，

①求。的取值范圍；

②證明：2a<乂1+久2VL

【解題思路】(1)(1)對/(%)求導數，分aW0和a>0兩類情況討論，得到函數的單調區間；

(2)由(1)得a的取值范圍，構造g(x)=/(2a-x)-/(x),證明不等式小+冷>2a,

通過證明ln(xi+冷)<0，證明+x2<l.

n1ny-n

【解答過程】(1)由/(%)=ln%+?%>0,可得/(%)=嚏一哀=WT，x>°

當a40時,/'(%)>0,所以/(%)在(0,+8)上單調遞增；

當a>0時，令廣(x)=菱:>0,得％,a,令/'(%)=得0VxVa,

所以/(%)在(0,a)單調遞減，在(%+8)單調遞增；

(2)①因為函數/(%)=ln%+?有兩個零點，由(1)得Q>0,

此時/(、)的遞增區間為(見+8),遞減區間為(0,a),/(%)有極小值/(a)=Ina+1

當％10,/(%)-?+00,當f(a)=Ina+1<0,/(%)在(0,a)上有一個零點，

當％T+00,f(x)T+00,當/(a)=Ina+1<0,/(%)在(a,+8)上有一個零點，

所以由f(a)=Ina+1<0可得0Va

②證明：由(1)可得/(%)的極小值點為％=Q,貝!J不妨設0V%iVaV%2.

設9(%)=/(2a-x)-f(x)=ln(2a-x)+^￡^-lnx-pxG(0,a),

―rzR，/、—1—Q1a4a(x—

可指g(%)=五三一標7一嚏+與=*(2ar)z>°，X6(0>a)>

所以9(%)在(0,a)上單調遞增，所以0(%)<g(a)=0，

即/(2a—%)—/(x)<0,則f(2a—x)<f(x),x6(0,a),

所以當0<Va<%2時，2a-x1>a,且/(2。一打)</(%i)=/(%2)?

因為當久W(a,+co)時，/(%)單調遞增，所以2a-%iV%2，即久I+%2>2Q

ln%i+—=0,|nxx

設％2=垃1，t>l,貝!li則B=即ln%i=tln%2=tin垃1=+ln￡).

LLLXO----U,,nx24i

%2

所以ln%i=-詈，ln(%i4-%2)=+1)=Inxi+ln(t+1)=一詈+ln(t+1)=七卜(：1)若

設無?)=若，則〃(。=宗”<3所以在(1,+8)上單調遞減,

所以四等〈日，所以也(刈+犯)<0,即/+%2<1.

綜上，2aV%i+%2Vl.

題型3\導數中的不等式問題(共5小題)

1.(23-24高二下?湖北?期中)對任意的xe，，+8),不等式2ae2ax-ex(21nx+1)N0恒成立，則正實數a

的最小值為()

21

A.eB,1C.斯D.正

【解題思路】由題意得2"e2axNe/ln(ex2),令-%)=%/,研究其單調性，進而問題轉化為a2寫H亙成

立問題，構造函數。(%)=堤上，通過求導求解函數最值求解.

【解答過程】2ae2ax-ex(21nx+1)>0恒成立，*,-2axe2ax-ex2ln(ex2)>0恒成立，

2axe2ax>e%21n(e/)恒成立，

令/(%)=%e%，/X%)=(%+l)ex,當％€+8)時，/(工)>0,/(%)單調遞增.

由2axe2ax>ex2ln(ex2),即/(2a%)>/(ln(e%2)),

,."(%)在％E[i,+8)為增函數，且ln(e/)>-1,

???2ax>ln(ex2)=(21nx+1)恒成立，

。之嚶恒成立，令g(%)=上普，

則0(%)=2—41nx1—21nx

4N2%2

1

當xe(言強時0(X)>0,xG(Ve,+8)時，g,(x)<0,

g(x)在E，點)單調遞增，(Ve,+8)單調遞減,

???5Wmax=5(Ve)=■-a>^=,

1

即正實數a的最小值為云.

Ve

故選：D.

2.(23-24高二下?福建泉州?期中)已知函數/0)=奈若不等式/⑺—a(x+l)>0的解集中有且僅有一個

整數，則實數a的取值范圍是()

A.B.DD島

【解題思路】利用導數求出函數/(x)的單調區間及極值，作出函數/(x)的大致圖象，由/(*)-a(x+1)>0僅

有一個整數解，得/(X)>a(x+1)只有一個整數解，再結合圖象即可得解.

【解答過程】尸(乃=燮,

當％<1時，r(x)>0,當久>1時，f(x)<0,

所以f(x)在(-8,1)上單調遞增，在(L+8)上單調遞減，

1

所以/'(X)max=/(l)=)

又當XT-8時，/(%)-?-00,當XT+8時，>0且/■(%)->(),

作出y=/'(%)的函數圖象如圖所示：

由f(x)-a(x+1)>0僅有一個整數解，

得f(x)>a(x+1)只有一個整數解，

設g(x)=a(x+1),由圖象可知：

當aWO時，/(x)>g(x)在(0,+8)上恒成立，不符合題意，

當a>0時，若外幻>9(久)只有1個整數解，則此整數解必為1,

1

>

-2l

獷以

即6<<-

2--a

<Q

--2e

e2

故選：D.

3.(23-24高二下?內蒙古?期中)已知函數f(X)=?,gQ)=e2x—/—a+l,若/"(x)<g(x)對任意的久>0成

立，則a的取值可能是()

A.1B.eC.3D.e+1

【解題思路】根據已知不等式進行常變量分離，得到工,觀察分母，聯想不等式e，2久+1,結合

X

指數的運算性質進行放縮進行求解即可..

【解答過程】由題意可得等-a+l(x>0),

則。<土*+7

X

設/i(x)=ex—%—1,則廳(%)=ex—1.

由加(%)>0,得％>0,由得久V0,則%(%)在(-8,0)上單調遞減,

在(0,+8)上單調遞增，故九(汽)之h(0)=0,即e'之久+1.

因為％e?久=elnx?e2x=elnx+2x,所以％e2T>Inx+2%+1,

當且僅當In%+2%=0時，等號成立，

則xeZ*T：+x-l2lnx+2x+l；lnx+x-l=3故。<3.

故選：AB.

4.(23-24高二下?四川綿陽?期中)已知函數/(x)=eX(x+a)-l,存在&e[0,+8),使得/(孫)<0成立,

則實數。的取值范圍是

【解題思路】分離參數得。<白-祀，令均利用導數求出其最大值即可

【解答過程】因為f(x)=eX(x+a)-l,由/'(%o)<0,得+a)-l<0,

即。<白一"o’

設g(E)=、一比，則g'(x)=-^-1=_g+1)<0，

所以函數g(x)在[0,+8)單調遞減，

所以當x=0時，函數g(x)取得最大值，最大值為g(0)=l,

即實數。取值范圍為(-8,1),

故答案為：(—8,1).

5.(23-24高二下?山東?期中)已知函數/(X)=ae'-lnx.

(1)當a=0時，求/'(久)在x=1處的切線方程；

(2)當a=1時，證明：/(x)>2；

(3)若/■(>)>e+1恒成立，求a的取值范圍.

【解題思路】(1)求導，由點斜式方程即可求解，

⑵方法一：對/'(X)求導，可得單調性，進而得最小值/'(均)=e*Tnxo=e*。+xo=卷+xo>2求解，

方法二：分別利用導數求證e，>x+l和InxWx-1,即可由不等式的性質求解，

(3)分離參數將問題轉化為a2(吟胃)，令F(x)=W2,即可利用導數求解單調性得最值求解，或

emaxe

、111

者由分離討論得a>0時，/(x)min=/(孫)=a-eXo-lnxo=--lnx，進而構造F(x)=;Tnx,G(x)=—,

“00XXc

由導數確定單調性求解.

【解答過程】(1)由/(*)=—Inx得尸(X)=—，

故/⑴=0,r(i)=-1,

所以切線方程為y—0=—(久—1),即y=—x+1.

1

(2)方法1：/(%)=ex-lnx,定義域為(0,+8),p(x)=ex--,

由于函數y=ex,y=均為單調遞增函數，所以((%)在(0,+8)上單調遞增，

/'(!)=V^-2<0,廣⑴=e-l>0,

所以存在唯一為e(i1),使得廣(久o)=e*?！?=0,

當0V%<%0時，/(%)<0,/(%)單調遞減；

當久>%0時，r(x)>0,/(%)單調遞增.

1

所以當％=%o時，/(%)取最小值/(%o)=ex°-lnx=ex°-lne-x°=ex°+x=~+>2.

00%o

因此/(%)>2；

方法2/(%)=ex-lnx,定義域為(0,+8),

令9(%)=e"—%-1，g'(%)=e"-l，

當久>0時，g'[x)>0,g(%)在(0,+8)上單調遞增,g(%)>g(O)=O,

所以當久>0時，ex>x+1.

令h(%)=Inx—x+1,〃(%)=~1=

當ov%<i時，九3>。，九(%)在(0,1)單調遞增;

當%>1時，/(%)<0,九(%)在(1,+8)單調遞減.

所以九(%)<九(1)=0,所以In%4%-1.

因此/(%)>(x+1)—(X—1)=2.

(3)方法1：因為/(x)=a-ex—lnx2e+l恒成立，所以a2(吟龍)

emax

令尸(無)=呵詈1,則F，(尤)=上與!二，

因為G(x)=[-lnx-e-1在(0,+8)上單調遞減，且G(1)=0,

所以當0<x<：時，F(x)>0,F(x)單調遞增；

當時，F'[x)<0,F(x)單調遞減.

所以FQOmax=呢)=3=e1"7-

11

因此。之6二.

方法2：定義域為(0,+8),/'(%)=a-ex-|,

當QMO時，/(%)<0,/(%)單調遞減，%f+8,y(x)^-oo,此時不成立；

1

當Q>0時，)7=。，眇,'=-1均在(0,+8)上單調遞增，所以/(%)在(0,+8)上單調遞增，%T0+，尸(%)-—

00；X->+00,/'(%)7+8,

1

所以存在Xoe(0,+00),使得/(攵0)=a-ex°--=0,

當O<x<Xo時，r(x)<o,f(x)在(O,*o)單調遞減；當x>Xo時，f'(x)>0,f(x)在(比,+oo)單調遞增.

1

所以/'(x)min=fOo)=a-eXo-lnx=--lnx

0人00

1

因為函數F(%)=(-1口%在(0,+8)上單調遞減，

11

所以由;一Inxo2e+1得，0<xT

“00e

11

因為。=短不所以令G(x)==，

則G'O)=-與翳<0,所以G(x)在(0;1)上單調遞減,

1.1

所以。之士，即a2Fe.

題型4利用導致研究雙變量問題(共5小題)

1.(23-24高二下?湖南?期中)已知。也產)，過點P可作曲線/(K)=X—Inx的兩條切線，切點為(省,/。。)，

(x2,/(x2)).求(三二了一1]的取值范圍()

A.(-1,0)B.[-1,0)C.(-2,-1)D.[-2,-1)

【解題思路】先設切點坐標，利用導數的幾何意義確定切線方程，參變分離得方程1+1-產=:+111%有兩不

同解%,%2，構造函數g(x)=：+Inx,判定其單調性求其最小值，化為解嚴一<：+111?:<0,構造函數/1?)=12

-t+lnt,判定其單調性從而解得0<t<l.化簡待求式得勺刀2四*i|=-如即可得結果.

LX1—X2」

1

【解答過程】因為/0：)=1-7設切點坐標為Oo,Xo—lnKo),

則曲線在該點處的切線方程為：y=(l-^)(x-xo)+%o-ln%o.

又P(t/2)在切線上，即t2=(l--i-^(t-x0)+%o-lnxo=t-^+l-ln%0>

則方程t+1-仔=：+Inx有兩不同解巧,刀2，

令9(%)=~+lnx,g'(x)=—,xG(0,+oo),

易知tWO時，g(x)單調遞增不合理，故t>0.

當t>0時，g'(t)=0,當xe(O,t)時，g(x)單調遞減，xe(t,+8)時，g(x)單調遞增，故g(t)為極小值；

要使t+1-尸=(+Inx有兩解，貝!|t+1-/>g(t),gpt2-t+int<0,

令h(t)=t2-t+\nt,h'(t)=2t-l+1>2V2-1>O,h(t)在(0,+8)上單調遞增，

又因為％(1)=0,所以0<t<l.

易知血血〕小比3-1］=打冷理汩嗎，

LXi—%2」LX1—%2」

又因為為方程t+1-t2=g+lnx的解，故有F+lnxi=：+lnx2，

X人142

代入可得X62［嚎詈］=-t,故所求取值范圍為(-1,0).

故選：A.

2.(23-24高二下?四川眉山?期中)已知函數/■(>)=9+a久有兩個零點％1，X2，且久1>冷，則下列說法不正

確的是()

A.a<-eB.亞+亞>InQjx?)+2

C.%i%2>1D./(久)有極小值點

【解題思路】求得函數的導數，得到函數的單調區間，確定函數的極小值，根據極小值小于0,判斷A；根

據方程，指對互化，判斷B；根據極值點的位置，結合/(0)>0,即可判斷C；根據A的判斷，即可判斷

D.

【解答過程】由題意，函數〃x)=e*+ax,則r(x)=ex+a,

當a20時，/(琦=廿+￡1>0在區上恒成立，所以函數f(x)單調遞增，不符合題意；

當a<0時，令/(%)=e*+a>0,解得%>ln(-a),令((x)=e*+a<0,解得x<ln(-a),

所以函數fo)在(-8,ln(-a))上單調遞減，在(In(-a),+8)上單調遞增，

x

因為函數/'(X)=e+ax有兩個零點且>x2,

對A,則/'(In(-a))=einD+aln(—a)--a+aln(-a)=—a(l—ln(—a))<0,且a<0,

所以lTn(-a)<0,解得a<-e,所以A正確；

X2

對B,a<-e,且e*i+axi=0,e+ax2=0,故Xi=In(-ax。，x2=ln(-ax2),

2

所以+x2=ln(ax1x2)=21n(-a)+ln(”2)>24-ln(xi%2)，所以B正確；

對C,由f(0)=l>0,且由A可知，a〈一e,ln(-a)>1,貝!|0<久2<1，但尤2>1不能確定，

所以C不正確；

對D,由函數f(x)在(一8,ln(-a))上單調遞減，在(ln(-a),+8)上單調遞增，

所以函數的極小值點為久o=ln(-a),所以D正確；

故選：C.

3.(23-24高二下?湖北武漢?期中)已知函數/'(久)=xlnK-久與y=a有兩個不同的交點，交點坐標分別為

(^1,71);(久2,丫2)(X1<%2))下列說法正確的有()

A./(均在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增

B.a的取值范圍為(一1,0]

C.x2—x1>ae+e

D.%2—V2a+e+&

【解題思路】根據題意求出函數/(x)的單調區間最值從而可對A、B判斷；然后利用零點附近的割線、切線,

構造函數然后利用導數從而可對C、D判斷求解.

【解答過程】由題意可知/'(%)=xlnx-x定義域為(0,+8),f'(xl=Inx+1-1=Inx,

對A：當xe(0,1)時，/(x)<0，/(%)在區間xe(0,1)單調遞減，

當久6(1,+8)時，尸(%)>0,/(%)在區間xe(1,+oo)單調遞增，故A正確；

對B：由A知當x=l時，f(>)取到極小值也是最小值/(1)=-1,由題值/(%)與y=a有兩個不同的交點，

令/'(%)=(),得％=0或%=6,所以當x-0,當％e(l,e)時，/(x)單調遞增

所以f(e)=0>a>f(x)min=f(l)=-l，所以a的取值范圍為(-1,0)，故B錯誤.

對C：由/(X)的最小值點(1,—1),所以過點(0,0),(1,—1)的直線為丫=—x=p(X),

令。(x)=p(x)-/(x)=-xlnx,x€(0,1),夕(x)=-1-lnx

當xe(0,3，夕(>)>0,當xeg,l),夕(切<0,

所以火工)在(o,9單調遞增，在&,1)單調遞減，

0(|)=1，6(1)=0,所以0(%)=p(x)-/(x)>0在(0,1)恒成立，

所以直線y=—久與y=。的交點為％3=-a>x1；

設過點(1,一1),(e,0)的直線為y=*](%-e)=q(%),

令3(%)=q(x)—/(%)=—[(x-e)—xinx+%,xE(l,e),

則3(%)=q(%)—/(%)=普一1口%-1,當％￡(l,e),a'(%)<0,

所以3(%)在(Le)單調遞減，又因為3(e)=0,所以磯久)=觀%)-/(%)>0在(1￡)恒成立，

所以直線y=-4%-e)與y=a的交點%4=a(e-l)+e<%2，

所以第2—％i>汽4一%3=a(e-l)+e+a=ae+e,故C正確.

對D：因為/(%)=In%,/(e)=0,(0)=1,/(%)在％=e處的切線為y-0=%-e,

設0(%)=%-e,令%(%)=/(%)-9(%)=%ln%-2%+e,h\x)=lnx-1,

當％￡(0,e),h\x)<0,當%W(e,+8),hz(x)>0,

所以/i(%)在(0,e)單調遞減，在(e,+8)單調遞增，所以h(%)2h(e)=0,即〃%)Ng(%),

因為％i<%2，直線V=%-e和y=Q相交于點(%o,a),

所以f(%2)=aN9(%2)=%2-？，可得%2<x0=a+e,

下證：%i>-a-p

由于Q=/(%i),所以要證％iN—a—N—/(%])—/,即證/(%i)++52。，

令夕(X)=%ln%+9'(%)=1+Inx,

當汽C(0,9，0(%)VO,當％eg,+8),0(%)>0,

所以0(%)在(O3)單調遞減，在g,+8)單調遞增，

所以9(%)之W(g)=。，所以％1之一。一;成立，當且僅當％1=，，。=一|時取等號，

由于等號不能同時滿足，所以％1-第2<。+e—(—a—。=2a+e+故D正確.

故選：ACD.

1

4.(23-24高二下?四川遂寧?期中)已知函數/'(久)=In久,g(x)=/+1,若/(孫)=/冷)，則%1-%2的最小值

為_4-21n2_.

【解題思路】令f(久1)=9(型)=如貝此1-々=*-2t+2,求導，利用導數研究函數的最小值即可.

【解答過程】設/'01)=9(*2)=如即Inxi=t,|%2+1=3解得Xi=et/2=2t-2,

所以比i-%2=e‘-2t+2,令九(t)=et-2t+2,則/V(t)=et-2,令〃(t)=0,解得t=ln2,

當t<ln2時，h'(t)<0,當t>ln2時，/i,(t)>0,

所以h(t)在(-8,ln2)上單調遞減，在(In2,+8)上單調遞增，

所以h(t)的最小值為％(ln2)=2-21n2+2=4-21n2,所以打一冷的最小值為4—21n2.

故答案為：4-21n2.

5.(23-24高二下?福建福州?期中)已知函數/(x)=4x-，2-ainx(a>0)

(1)當a=3時，討論函數/(x)的單調性.

(2)若/(久)有兩個極值點久1，久2(久1<x2)

①求a的取值范圍

②證明：/(xi)+/(x2)<10-lna

【解題思路】(1)首先求函數的導數，再根據導數和函數單調性的關系，即可求解；

(2)①首先求函數的導數，轉化為關于一元二次方程有2個不同的正實根，即可求解；

②首先求/'(%i)+/(%2)，再利用韋達定理，轉化為關于a的函數，再通過不等式構造函數g(a)=(l-a)ln

a+a-2,ae(0,4),利用導數判斷導函數單調性，再結合零點存在性定理，求函數的最大值，證明函數的最

大值小于0,即可證明不等式.

【解答過程】(1)當a=3時

f(x)=4x--%2—31nx,(%>0)

f(x)=4-X--=一受*2=(x-3)(x-l),

J、JXXX

令=0得x=l,x=3,

如圖表示x,r(X),/(工)的關系如下,

X(0,1)1(L3)3(3,+oo)

f'(X+0—0+

久久)單調遞增單調遞減單調遞增

/(X)在(0,1),(3,+8)上單調遞減，在(1,3)上單調遞增.

(2)①廣㈤=4—x—?

——x2+4x—a_x2—4x+a

—X—X,

因為/'(x)有兩個極值點%1，%2(乂1<X2)

即：x2-4x+a=。在(0,+8)有兩個不相等的實根，

所以卜1+久2=4>0,

1%i%2=a>0

所以0Va<4,

②由①得%1+%2=4,1I%2=且0<a<4

11

2x2

/(%i)+/(%2)=(4%1-alnxi--%1)+(4%2-ttln%2-22)

1

22

=4(小+第2)—a(ln%i+lnx2)——(%i+%2)

=a—alna+8

要證/(%i)+/(%2)<10-lna

即證：a—alna+8<10—Ina,

只需證(1—a)lna+a—2<0

令g(a)=(1—a)lna+a—2,aE(0,4)

1—a1

Q(d)=-InezH------F1=---Inez

aa

令zn(a)=--Ina

則<0恒成立，

所以?n(a)在(0,4)上單調遞減

又因為m(l)=1>0,m(2)=1—ln2<0

i

由零點存在性定理得：3a0e(1,2),使得租(劭)=0,即1口劭二面,

所以aW(O,ao)m(a)=g(a)>0,g(a)單調遞增.

ae(a(),4)時，m(a)=g<a)<0,g(a)單調遞減.

則g(a)max=<9(ao)=(1—ao)lna()+a()—2=(1—ao)~+a。-2

1

=CLQH-----3

a。

因為y=劭+最一3在劭e(1,2)上單調遞增

所以劭+——3<2+--3=--<0

所以g(a)<0,即f(xD+/(%2)<10以na得證.

N導數中的新定義問題1些題)

1.(23-24高二下?江蘇常州?期中)設f(x)定義在R上，若對任意實數t,存在實數%1，冷，使得“X：1士"2”=廣

(t)成立，貝IJ稱/(X)滿足“性質T”，下列函數滿足“性質T”的有()

A./(%)=%3—3xB./(%)=ex-1C./(%)=sin2xD./(%)=

【解題思路】對題干條件變形，轉化為g(x)=n>)-r(t)x在R上不單調，即可滿足“性質「，再分別對選項

一一判斷即可.

【解答過程】將誓戶=r(t)變形為：=/(%2)-x2f(t).

X1人2

令9(x)=則g(x)在R上至少有2個不等實數使得gOi)=g(%2)，

所以9。)=/(%)-/'(t)x在R上不單調,即可/⑺滿足“性質T”；

對于A,g(x)=f(x)—f'(t)x=x3—3x—(3t2—3)x,當t=0時,g(x)=/在R上單調遞增，所以/(*)=/—3%

不滿足“