尺規(guī)作圖題型總結（作相等角、作角平分線、作線段垂直平分線、作垂直、利用無刻度直尺作圖）原卷版

重難點11尺規(guī)作圖題型總結（作相等角、作角平分線、

作線段垂直平分線、作垂直、利用無刻度直尺作圖）

題型將步I樵型枸建I真題—他詞繪I摸圖通關試煉

模型01作相等角

模型02作角平分線

模型03作線段垂直平分線

模型04作垂直

模型05利用無刻度直尺作圖

本專題主要對初中階段的一般考查學生對基本作圖的掌握情況和實踐操作能力，并且在作圖的基礎上進

一步推理計算（或證明）。尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖。尺規(guī)作圖是中考必考知識點之一，

復習該版塊時要動手多畫圖，熟能生巧！本專題主要總結了五個常考的基本作圖題型，（1）作相等角；（2）

作角平分線；（3）作線段垂直平分線；（4）作垂直（過一點作垂線或圓切線）；（5）用無刻度的直尺作圖。

勘摸核四建

模型01作相等角

wTwlWi!...............................

作相等角該題型近年主要以解答題形式出現(xiàn)，一般為解答題型的其中一問，難度系數(shù)較小，在各

類考試中基本為送分題型。解這類問題的關鍵是根據(jù)題意熟練應用尺規(guī)作圖，一般考試中涉及的做相

等角包含角相等或者作平行線，需要我們很好的理解題意，根據(jù)題意畫圖，保留清晰的作圖痕跡。

答?題?技?巧

1.作任一射線；

2.以所作角的頂點為圓心，任意長為半徑畫弧，然后以同樣長為半徑，以射線端點為圓心畫弧;

3.以原角中所畫弧中一個交點為圓心，到另一個交點的距離為半徑畫弧；

4.以射線中的交點為圓心，同樣長為半徑畫弧，交于一點，連接射線端點與弧的交點，所得角即為所求;

［題型三例

1.（2024?吉林）如圖，用尺規(guī)作圖完成下列作圖步驟:

①以點。為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交射線OB于點C、D；

②以點3為圓心，以OC長為半徑畫〃，交射線8。于點E,點F與點C在的異側）;

③以點E為圓心，以8長為半徑畫MN，交"于點N,作射線3N即可得到NOBN,連接CD、EN.

則下列說法中錯誤的是（

C.CD=EN,CD//END.△OCD四的依據(jù)是SAS

）支式

1.綜合實踐課上，嘉嘉畫出NAO3,如圖1,利用尺規(guī)作圖作NAO3的角平分線OP.其作圖過程如下：⑴

如圖2,在射線（M上取一點不與點。重合），作/ADC=NA03,且點C落在內(nèi)部；

⑵如圖3,以點。為圓心，以長為半徑作弧，交射線。C于點P,作射線。尸，射線0P就是NAO3的

平分線.

在嘉嘉的作法中，判斷射線。尸是“AO3的平分線過程中不可能用到的依據(jù)是（）

A.同位角相等，兩直線平行

B.兩直線平行，內(nèi)錯角相等

C.等邊對等角

D.到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上

2.如圖①，在V45C中，。是A3邊的中點，且按照如下尺規(guī)作圖的步驟進行操作（如圖②所

示）：

①以點B為圓心，以適當長為半徑畫弧，交線段3D于點M,交2C于點N；

②以點。為圓心，以長為半徑畫弧，交線段DA于點P,交線段于點R；

③以點尸為圓心，以長為半徑畫弧，交尸R于點。，點。與點C在直線A3同側;

④作直線。。，交AC于點E.則下列結論錯誤的是（）

A.ZADE=ZABCB.ZDEC+ZC=180°

C.AE=CED.DE=-AB

2

3.已知：如圖，在矩形ABC。中，/是邊4B上的點，連接DM.

⑴尺規(guī)作圖，以BC為邊，3為頂點作NCBN=ZAZW,BN交線段CD于氤N（要求：基本作圖，保留作圖

痕跡，不寫作法）.

（2）求證：四邊形3ND暇為平行四邊形（請完善下面的證明過程）.

證明：在矩形ABCD中，有AB=CD,AD=CB,AB//CD,NA=NC=90。.

在AADM和△CBN中

ZA=ZC

■AD=CB

①（）

；.AA￡>M%C8N（ASA）.

，②—.

，③—.

四邊形為平行四邊形（④—）（填寫推理依據(jù)）.

4.如圖，已知

⑴尺規(guī)作圖：以點。為頂點，在DE的下方作使得=交A8于點尸.（要求：不寫作法,

保留作圖痕跡）

(2)在(1)的條件下，求證：DF//BC.

證明：^AB//DE(己知)

0ZB=(1)(②)

田/EDF=/B(已知)

回③(④)

^DF//BC(⑤)

5.如圖，在VA5c中，D,E分別是邊Afi,AC的中點.

⑴尺規(guī)作圖：在邊BC上找一點尸，連接。尸，使/EDP=NC.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，連接所，求證：EF//AB.

模型02作角平分線

浮而函.麗......................

作角平分線該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，在解答題中主要考查角平分線的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)作對

應圖形，難度系數(shù)不大，在各類考試中得分率較高。掌握角平分線的性質(zhì)是考試的重點，在應用題型中，

根據(jù)題意會進行尺規(guī)作圖畫角平分線，有時依據(jù)題意畫平行線時也是畫角平分線。

答|題|技|巧

1.以角的頂點為圓心，任意長為半徑畫弧，交兩點M、N；

2.以M點為圓心，MN的距離為半徑畫弧，再以N點為圓心，同樣長為半徑畫弧，兩弧相交于點P；

3.連接角的頂點和P點，所畫直線即為所求.

1.（2024?山東泰安）如圖，在AABC中，ZB=40°,NC=50。.小明按以下操作進行尺規(guī)作圖:

以A為圓心，任意長為半徑畫弧，交AC、AD于點/、點N,分別以〃、N為圓心，大于!的長為

2

半徑畫弧，兩弧交于點H,畫射線AH交8C于點E；分別以點A、3為圓心，大于〈A3的長為半徑畫弧,

兩弧交于P、G點，作直線PG交A3于F,交BC于D,連接AO.可以求得4M￡=度.

,支式

A.ZADE=ZBACB./BAD=NCAD

C.DEJ.ABD.AE=AC

2.如圖，已知VABC.

⑴尺規(guī)作圖：作/ABC的平分線取，在加上截取9=AC,連接CD；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法,

標明字母）

(2)若ZAC8=g/ABC.求證：AABC/DCB.

3.如圖，已知VA3C.

⑴求作四邊形BCDE,使得點。在AC上，點E在AB上，且￡>E〃BC,DE=BE；（要求:尺規(guī)作圖，不

寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）所作圖形中，若NA=40。，AD=BE,求NADB的度數(shù).

4.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°.

⑴尺規(guī)作圖：作Rt^ABC的內(nèi)切圓。。，并分別標出。。和A3、BC、C4相切的切點。，后,廠；（要求：保

留作圖痕跡，不寫做法，不需證明）

（2）連接OE、OF,四邊形QECV是正方形嗎？為什么？

（3）若AD=6,BD=4,求。。的半徑「的長.

模型03作線段垂直平分線

wjsiww.........................

作線段垂直平分線該題型近年在尺規(guī)作圖題型中主要考①到兩點的距離相等的點；②作三角形的外接

圓；③找對稱軸（旋轉中心）；④找圓的圓心等幾個方面。讓學生真正理解線段垂直平分線的性質(zhì)是本節(jié)內(nèi)

容的重心，尺規(guī)作線段垂直平分線是中考的必考內(nèi)容之一。考題常以選擇、填空等形式出現(xiàn)，該題型主要

難點在熟練應用線段垂直平分線的性質(zhì)，會畫線段的垂直平分線，難度系數(shù)不是很大，屬于容易得分項。

答I題I技I巧

1.以線段任一端點為圓心，大于一半的長為半徑上下畫弧;

2.以線段另一端點為圓心，同樣長為半徑畫弧，所畫弧交于兩點MN；

3.連接MN,MN所在直線即為所求；

［題型三例

1.（2024.山東）如圖，在AABC中，ZB=40°,NC=5O。.小明按以下操作進行尺規(guī)

作圖：以A為圓心，任意長為半徑畫弧，交AC、AD于點/、點N,分別以A/、N為圓心,

大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點”，畫射線交3C于點E;分別以點A、8為圓心,

大于g的長為半徑畫弧，兩弧交于尸、G點，作直線PG交A3于尸，交8c于。，連接AD.可

以求得ZDAE=度.

1.我們在蘇科版數(shù)學七年級下冊第九章中學習了一些基本尺規(guī)作圖.請用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列基

本作圖.（保留作圖痕跡，不寫作法）

⑴在圖①中，請作出已知線段4?的垂直平分線CD；

（2）在圖②中，請作出已知角ZEFG的平分線FH；

⑶在圖③中，請作出過直線外一點尸，且垂直于直線的直線尸。（點。是垂足）.

2.如圖，在VABC中，ZA=45°,AC>BC.

⑴尺規(guī)作圖：作線段A3的垂直平分線/,分別交A3,AC于點D,E；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法,

標明字母）

⑵在（1）所作的圖中，連接班，若AB=8,求AME的周長.

3.在學習了特殊平行四邊形的性質(zhì)之后，小德發(fā)現(xiàn)：對于夾在兩條平行線之間的線段，作其垂直平分線與

兩條平行線分別交于兩點，則該線段的兩個端點和垂直平分線與兩條平行線的兩個交點所構成的四邊形是

菱形.小德證明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知識得到此結論.根據(jù)他的想法和思路，完成

以下作圖和填空：

（1）如圖，AB//CD,連接3c.用尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線EG,分別交A3,3c和C。于點E,

尸和G,連接CE和BG（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）已知：AB//CD,連接BC.線段5c的垂直平分線EG分別交A3,2C和于點E,尸和G,連接CE

和BG.求證：四邊形3ECG是菱形.

證明：SAB//CD,

I3EG垂直平分3C.

SEG±BCS.BF=（2）.

在A即近和ACG尸中,

ZEBF=ZGCF

BF=CF

NBFE=（3）

0AB￡F^ACGF（ASA）.

SEF=GF,

則四邊形3ECG是④.

團EGJ_CB,

回四邊形BECG是菱形.

進一步思考，如果/4fiC=45。，請你模仿題中的表述，寫出你猜想的結論:

四邊形BECG是⑤.

⑴作線段8。的垂直平分線，垂足為點0,與邊A。、BC分別交于點E、F（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法,

保留作圖痕跡）；

⑵求證：BF=DE.

模型04作垂線（過一點作垂線或圓的切線）

WTilWii................................

作垂線（過一點作垂線或圓的切線）該題型主要包括①過直線上一點作垂線；②過直線外一點作

垂線；③過圓上一點作切線；④作高等。幾種題型的核心點均是作線段的垂直平分線，線段垂直平分

線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，結合線段垂直平分線的性質(zhì)進行解題。

答?題?技?巧

i.以所過點為圓心，以一定長度為半徑截取線段長（如果點在線段上以任意長度為半徑，如果點在線段外

以大于點到線段的長為半徑）；

2.作該線段的垂直平分線；

3.過該點的線段垂直平分線即為所求；

［題型三例

＞哀倒1.下面是"過圓上一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：。。和。。上一點p.

求作：。。的切線MN,使經(jīng)過點尸.

作法如下：①連接0P并延長，以P為圓心，線段0P長為半徑作弧，交射線。尸于點8；

②分別以點。，3為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧交于M點，同樣操作，得N點（不與點M重

合）；

③作直線MN,則就是所求作的。。的切線.

請根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟和痕跡，回答下列問題：

⑴步驟③中判斷是。。的切線的依據(jù)是（）

A.與圓只有一個公共點的直線是圓的切線

B.與半徑垂直的直線是圓的切線

C.如果圓心到直線的距離等于半徑，則該直線是圓的切線

⑵連接NMOP=45。，MO=42,求。。的半徑的長.

＞變式

1.已知：如圖，鈍角三角形ABC.

⑴尺規(guī)作圖：作AC的垂直平分線，與邊48、AC分別交于點。、E（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）尺規(guī)作圖：在（1）的條件下，作垂足為“，連接C。，直接確定/CDE與NAB”的大小關系

為_?

2.如圖，已知VA3C,AD是2C邊上的中線，垂足為E.

A

BDC

⑴求作：射線。使小1AC,垂足為F（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）在（1）得到的圖形中，若BE=CF,求證：VA3C是等腰三角形.

⑴尺規(guī)作圖：過點尸作0。的另一條切線用，8為切點；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若ZAPS=60°,。。的半徑為3,求A3的長.

4.如圖，在等腰VA3C中，為底邊2C上的高，NACB的角平分線交A”于點。，。。經(jīng)過C、。兩點

且圓心。在VABC的腰AC上.

⑴請畫出。。（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；

⑵求證：與。。相切；

⑶當AB=12,cosB=；時，求。。的半徑.

模型05僅用無刻度直尺作圖

SWSFW...............................

僅用無刻度直尺作圖該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在應用題型中或者

與幾何相結合的題型中，具有一定的綜合性和難度。無刻度直尺作圖，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，

等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識點是解題的關鍵。

答I題I技I巧

1.確定所求結論（一般作角相等或垂直）；

2.無刻度直尺只能連線，根據(jù)題意連接線段長或射線；

3.注意利用幾何知識點的性質(zhì)，比如說角相等的判定、圓的相關知識點等;

［題型三例

1.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）實踐操作：如圖，是5x5正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長都

為1.

⑴請在圖中畫出等腰AABC,使得點C在格點上，AC=BC,且NACB<90。；

⑵僅用無刻度直尺作出&4BC的中位線使得點E、歹分別在AB、AC上，并保留作圖痕跡.

）支式

1.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，等邊三角形A8C內(nèi)接于圓，且頂點A,8均在格點上.

（0）線段的長等于;

（回）若點。在圓上，A3與CD相交于點P,請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點。，使ACPQ

為等邊三角形，并簡要說明點。的位置是如何找到的（不要求證明）.

2.如圖，在VA3C中，ZABC=90°,AB=BC,直線MN過點A,45°<ZM4B<90°.過點8作3r>_LMN

于。.在的延長線上取點E,使得DE=BD,連接BE,CE.

⑴依題意用沒有刻度的直尺和圓規(guī)補全圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）；

（2）用等式表示AD,DE,CE之間的數(shù)量關系，并證明（請補全下方思路）.

思路：

①在4￡）的延長線上取點尸，使得=連接M.

②由垂直平分AF,依據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得,結合已知=可得BC=3尸；

根據(jù)等腰三角形的"三線合一"可得=；

③設/ABE=a,可以用含。的代數(shù)式表示出/EBC=,ZABD=ZFBD=,從而

證明出NEBC=NEBF；

④于是可證△EBC四△E8尸（）,從而得到EC=EF=（用含AD,DE的代數(shù)式表

示）.

砂虞岐煉

1.（2024?山東）如圖，△OAB中，點A在第二象限，點6在V軸正半軸上，AB_Ly軸，AB=3,OB=2,

反比例函數(shù)y="經(jīng)過點A.

x

⑵尺規(guī)作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法）

①求作等腰三角形QIC,點C在第一象限，Q4=OC,點8為AC的中點；

②求作菱形AOCD;

⑶將菱形AOCD沿y軸向下平移多少個單位長度后點C會落在該反比例函數(shù)的圖象上?

2.（2024?四川）（1）如圖1,在VABC中，尺規(guī)作圖：畫出“ABC的角平分線和NACE的角平分線，NABC

的角平分線交AC于點尸，交NACE的角平分線于點。（保留作圖痕跡，不寫作法，標出點尸和點。）

（圖1）

已知/?=45。，點G在2c上且3G=FG,求NGFC的大小.

（圖2）

Z7h

3.（2024?南京）如果三個數(shù)久b、c滿足?=2,即62=碇，那么稱。是。和。的比例中項.比例中項在數(shù)

bc

學、物理和工程學等領域都有著廣泛的應用.數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的重要思想方法，我們知道任何實

數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示.如圖，點AC在數(shù)軸上分別表示實數(shù)。、c,現(xiàn)嘗試用尺規(guī)作圖的方法，在

正半軸上畫出點8,使得點3表示的正數(shù)6,恰好是數(shù)。和c的一個比例中項.方法如下：

第1步：作以AC為直徑的圓M；

第2步：的其中一點記為點N；

A.以A為圓心，A"為半徑畫圓，交圓M

B.以原點。為圓心，為半徑畫圓，交圓M

C.以為直徑作圓尸，交圓M

。.作AM的垂直平分線，交圓M

E.以OC為直徑作圓P,再過點A作AC的垂線/,交圓產(chǎn)

第3步：以原點。為圓心，ON長為半徑畫弧交數(shù)軸正半軸于點3,則點3即為所求.

⑴請選出你認為第2步中正確作法對應的字母：（只填一個選項即可），并說明理由，用尺規(guī)按照所

選的作法在圖中作出點8,要求保留作圖痕跡，不需要寫出作法.

（2）若8C=a=2,寫出此時圓M的直徑AC=

4.（2024?安徽）閱讀下面材料，完成相應任務:

尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖是指用無刻度的直尺和圓規(guī)進行作圖.無刻度的直尺不具有度量長度的功

能，它用來作經(jīng)過兩點的直線、射線或線段、圓規(guī)用來畫弧、圓規(guī)的兩腳還可以截取線

段或兩點之間的長度.尺規(guī)作圖的關鍵是確定線與線，線與弧，弧與弧的交點，從而構

造出符合要求的圖形.

數(shù)學課上，在用尺規(guī)作角的平分線時，同學們自主探究出很多不同于教材的作法.

已知：NZO3求作：—408的平分線.

小明的作法：如圖①，在射線上取點C,E,分別以。為圓心；OC,OE長

為半徑畫弧，交射線02于點。，F(xiàn),連接CF,DE交于點P,過點尸畫射線。尸，則射

線OP為ZAOB的平分線.

小華的思路：如圖②，在Q4上任取一點E,在E的右側作射線使得

ZAEM=ZAOB,在射線EM上取一點尸，使用=OE,過點尸畫射線。尸，則射線0P是

—的平分線.

趙老師因勢利導，引導同學們對各種作法進行研究，感受它們的異同并進行了拓展

訓練.

任務一：小明的作法中，可以得出絲△OFC,請你寫出證明過程.

任務二：根據(jù)小華的思路完成下列問題：

(1)根據(jù)小華的作法，證明。尸是的平分線；

(2)拓展訓練：如圖③，在VABC中，8。平分/ABC,CO平分/AC3,取經(jīng)過點。，與A3,AC相

交于點E,F,且EP〃BC.當鉆=7,AC=6,求尸的周長.

圖③

模板運用

1.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形.

FC

(1)尺規(guī)作圖：作NABC的平分線8E,交AD于點E;(