2025中考數學二輪復習：圓中的重要模型之四點共圓模型（原卷版）

專題1圓中的重要模型之四點共圓模型

四點共圓是初中數學的常考知識點，近年來，特別是四點共圓判定的題目出現頻率較高。相對四點共

圓性質的應用，四點共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計算題或選擇中四點

共圓模型的應用（特別是最值問題），通常能簡化運算或證明的步驟，使問題變得簡單。本文主要介紹四點

共圓的四種重要模型。

四點共圓：若在同一平面內，有四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”。

模型1、定點定長共圓模型（圓的定義）

【模型解讀】若四個點到一定點的距離相等，則這四個點共圓。這也是圓的基本定義，到定點的距離等于

定長點的集合。

條件：如圖，平面內有五個點0、A、B、C、D,使得。4=08=。。=。。，

結論：A、B、C、。四點共圓（其中圓心為O）。

例1.（2023春?廣東梅州,九年級校考期中）如圖,量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊A2重合（45=6）,

其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，射線CP從6處出發沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉，CP

與量角器的半圓弧交于點E,第20秒時點E在量角器上運動路徑長是—.

例2.（2021?浙江嘉興?統考中考真題）如圖，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC=5，點。在AC上，且AD=2,

點E是AB上的動點，連結。E,點尸，G分別是BC,DE的中點，連接AG,FG,當AG=FG時，線段DE

長為（）

C

D.4

A?拒B?乎。?當

例3.（2023?江蘇淮安?統考三模）如圖，將矩形ABCD的邊A3繞點A逆時針旋轉得到AF,連接班過點

。作所的垂線，垂足E在線段BF上，連接CE.若AD=3,AF=y/3,則ZDEC的度數為°.

例4.（2021?湖北隨州?統考中考真題）如圖，在R^ABC中，ZACB=90°,。為AB的中點，平分NAOC

交AC于點G,OD=O4,3D分別與AC,OC交于點E,尸，連接AD,。，則要的值為；若廢=<?尸，

模型2、定邊對雙直角共圓模型

同側型異側型

1）定邊對雙直角模型（同側型）

條件：若平面上4B、C、。四個點滿足NABD=NACD=90。,

結論：A、B、C、。四點共圓，其中為直徑。

2）定邊對雙直角模型（異側型）

條件：若平面上A、B、C、。四個點滿足NABC=ZAT>C=90。,

結論：A,B、C,。四點共圓，其中AC為直徑。

例1.（2021,湖北鄂州,統考中考真題）如圖，四邊形ABDC中，AC^BC,NACB=90。，AD/BD于點。.若

BD=2,CD=4日則線段A3的長為.

例2.（2022春?山東?九年級專題練習）定義：三角形一個內角的平分線和與另一個內角相鄰的外角平分線

相交所成的銳角稱為該三角形第三個內角的遙望角.

（1）如圖1,SE是0ABe中0A的遙望角.①若0A=40。，直接寫出SE的度數是；

②求回￡與0A的數量關系，并說明理由.（2）如圖2,四邊形ABC。中，0ABe=0AOC=9O。，點E在2。的

延長線上，連"，若aBEC是0ABe中aBAC的遙望角，求證：DA=DE.

例3.（2022?湖北武漢?校考二模）如圖，等腰RtEIABC中，0ACB=9O°,D為BC邊上一點，連接AD.

（1）如圖1,作BEEIAD延長線于E,連接CE,求證：回AEC=45°；

（2）如圖2,P為AD上一點，且EIBPD=45。，連接CP.若AP=2,求回APC的面積；

例4.（2022秋?廣東梅州?九年級校考階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,E是

AC的中點，F是BD的中點，若ABAC=15°,ZDAC=45。，CD=4,貝!JEF的長為（）

A.&B.2&C.2D.2#

模型3、定邊對定角共圓模型

條件：如圖1,平面上A、B、C、。四個點滿足/4D3=NACB,結論：A、B、C,。四點共圓.

條件：如圖2,AC,BD交于H,AHCH=BHDH,結論：AB、C、。四點共圓.

例1.（2023?江蘇?九年級假期作業）如圖，在中，0BAC=90°,0ABe=40。，將AA3C繞A點順時

針旋轉得到△ADE,使D點落在BC邊上.

（1）求SBA。的度數；（2）求證：A、D、B、E四點共圓.

例2.（2023?浙江紹興?九年級校聯考期中）如圖1,在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,BC=6.如圖2,在底

邊BC上取一點D,連結AD,使得回DACWACD.如圖3,將回ACD沿著AD所在直線折疊，使得點C落在點E

處，連結BE,得到四邊形ABED.則BE的長是（）

A

例3.（2022?江蘇無錫?中考真題）AA8C是邊長為5的等邊三角形,△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線

與直線AE交于點尸.如圖，若點。在AABC內，SDBC=20。，貝崛8AF=。；現將△￡）（7￡繞點C

旋轉1周，在這個旋轉過程中，線段A尸長度的最小值是

例4.（2022?貴州遵義?統考中考真題）探究與實踐："善思"小組開展"探究四點共圓的條件”活動，得出結論:

對角互補的四邊形四個頂點共圓.該小組繼續利用上述結論進行探究.

提出問題：如圖L在線段AC同側有兩點D,連接AD,AB,BC,CD,如果=那么A,

B,C,。四點在同一個圓上.

圖4

探究展示：如圖2,作經過點A,C,。的。。，在劣弧AC上取一點E（不與A,C重合），連接AE,CE

則NAEC+ND=180。（依據1）

?.?ZB=ND..ZAEC+/B=180°

.??點A,B,C,E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

:?點、B,。在點A,C,E所確定的。O上（依據2）

.,.點A,B,C,E四點在同一個圓上

⑴反思歸納：上述探究過程中的“依據1"、"依據2"分別是指什么？

依據1：;依據2：.

（2）圖3,在四邊形ABCD中，Z1=Z2,Z3=45°,則N4的度數為.

⑶拓展探究:如圖4,己知MBC是等腰三角形，AB=AC,點。在BC上（不與BC的中點重合）,連接AD.作

點C關于AD的對稱點E,連接并延長交AD的延長線于尸，連接AE,DE.①求證：A,D,B,E

四點共圓；②若48=2應，AD-AF的值是否會發生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由.

模型4、對角互補共圓模型

條件：如圖1,平面上A、B、C、。四個點滿足/4BC+/4DC=180。，結論：A,B、C、。四點共圓.

條件：如圖2,BA,8的延長線交于尸，PAPB=PDPC,結論：A、B、C,。四點共圓.

1.（2023?浙江,統考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZC=45°,以A3為腰作等腰直角三角

形&a，頂點E恰好落在8邊上，若AD=1,則CE的長是（）

例2.（2023?河南周口,校考三模）在AABC中，C4=CB,M是41BC外一動點，滿足？OVW?CBM180?,

若NCMA=60。，MA=4,MB=2,則MD的長度為

c

例3.（2023?江蘇?九年級假期作業）如圖，AB1BC,AB=5,點E、F分別是線段A3、射線BC上的動

點，以為斜邊向上作等腰RtaDEF,ID90?,連接AD,則AD的最小值為

例4.（2023?山東日照?統考中考真題）在探究“四點共圓的條件”的數學活動課上，小霞小組通過探究得出:

在平面內，一組對角互補的四邊形的四個頂點共圓.請應用此結論.解決以下問題：

如圖1,"WC中，AB=AC,ABAC=a（60°<a<180°）.點。是3c邊上的一動點（點。不與3,C重

合），將線段AD繞點A順時針旋轉a到線段AE,連接BE.

圖2備用圖

（1）求證：A,E,B,。四點共圓；⑵如圖2,當45=8時，。。是四邊形AEBD的外接圓，求證：AC是

。。的切線；（3）已知e=120。，BC=6,點M是邊3C的中點，此時。尸是四邊形AE&9的外接圓，直接寫

出圓心P與點M距離的最小值.

課后專項訓練

1.（2023秋?河北張家口?九年級校考期末）如圖①，若BC是R3ABC和RtADBC的公共斜邊，則A、B、

C、D在以BC為直徑的圓上，則叫它們“四點共圓如圖②，AABC的三條高A。、BE、C尸相交于點區

則圖②中〃四點共圓〃的組數為（）

6

2.（2023?安徽合肥?校考一模）如圖，。是A3的中點，點8,C,。到點。的距離相等，連接AC,BD.下

列結論不一定成立的是（

C.ZABC+ZADC=1^0D.AC平分NB4D

3.（2023?江蘇宿遷?九年級校考期末）如圖，在RtA4BC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,點P為平面

內一點，且NCP3=NA,過C作CQ，C尸交PB的延長線于點Q,則CQ的最大值為（）

1715

A.B.—D.罕

y4

4.（2023?北京海淀?九年級校考期中）如圖，點O為線段的中點，點B,C,。到點。的距離相等，連

接AC,3。.請寫出圖中任意一組互補的角為和（不添加輔助線，不添加數字角標和

字母）

AOB

5.（2023,廣東?二模）如圖，點。為線段8C的中點，點AC、。到點。的距離相等，若/ABC=50。,則—ADC

的度數是____________

6.（2023?浙江金華?統考二模）如圖，在AABC中，ZB=75°,ZC=45°,BC=6-2拒,尸是BC上一動點,

PE上AB于點、E,PDJ_AC于點。，則線段DE的最小值為（）

A.上B.1C.3百-3D.4拒-6

7.（2023?浙江?模擬預測）如圖，R△ABC中，AB=AC=12^2,及△ADE中，AD=AE=6A/2,直線BO

與CE交于尸，當NEW）繞點A任意旋轉的過程中，尸到直線A3距離的最大值是

8.（2023春?湖北武漢?九年級校考階段練習）如圖，在“LBC中，點。為3C上一點，NADC=60。，點E

在線段AD上，ZBEC=120°,若BC=3^,AE=2?,則AC的最大值為.

E.

B

9.（2023?廣東惠州?九年級校考階段練習）如圖，將AABC繞點A逆時針旋轉90。，得到VADE,其中點8與

點。對應，點C與點E對應.（1）畫出VADE.（2）直線8C與直線DE相交于點證明：A,C,F,E四

點共圓.

10.（2023?湖北九年級課時練習）如圖1,中，AC=BC=4,0ACB=90°,過點C任作一條直線CD,

將線段3c沿直線C￡）翻折得線段CE,直線AE交直線C。于點尺直線BE交直線于G點.

⑴小智同學通過思考推得當點E在上方時，0AEB的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成以下

推理過程：

0AC=BC=EC,她、B、E三點在以C為圓心以AC為半徑的圓上，

00AEB=_0ACB,（填寫數量關系）

aaAEB=°.

（2）如圖2,連接BE求證A、B、F、C四點共圓；

⑶線段AE最大值為」若取8c的中點M,則線段的最小值為一

11.（2023春?重慶南岸?八年級校考期末）己知：菱形ABCD的對角線AC、BD交于點O,以AD為斜邊構

造等腰必連接BE.

圖1圖2

⑴如圖1,若ND鉆=60。，AD=4,求的面積.（2）如圖2,延長OE交A3于點F,過點。作OG_LCD

于點G,過點C作CHLDF于點H,CH與。G交于點M,SLOM=BF.求證：AO=2插BE.

12.（2023春?湖北武漢?九年級校考階段練習）問題提出如圖1,點E為等腰AABC內一點，AB=AC,

ZBAC^a,將AE繞著點A逆時針旋轉a得到AD,求證：AABE^ACD.

嘗試應用如圖2,點。為等腰Rt^ABC外一點，AB=AC,BDLCD,過點A的直線分別交OB的延長線

和CO的延長線于點MM,求證：S^+S^^AN-AM.

問題拓展如圖3,AASC中，AS=AC,點。，E分別在邊AC,BC上，ZBDA=ZBEA=60°,AE,BD

交于點”.若CE=a,AH=b,直接寫出BE的長度（用含a,6的式子）.

13.（2023?江蘇?九年級假期作業）綜合與實踐

“善思"小組開展"探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓.該小組繼續利用

上述結論進行探究.

提出問題：如圖1,在線段AC同側有兩點3,D,連接AD,AB,BC,CD,如果02=回。，那么A,B,C,

。四點在同一個圓上.

探究展示：如圖2,作經過點A,C,。的回。，在劣弧AC上取一點E（不與A,C重合），連接AE,CE,

貝lj0AEC+E]D=18O。（依據1）

005=0000A￡C+0B=18O°

團點A,B,C,E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

團點B,。在點A,C,E所確定的回。上（依據2）

團點A,B,C,。四點在同一個圓上

⑴上述探究過程中的“依據1"、"依據2"分別是指什么？

依據1：—;依據2：.

（2）如圖3,在四邊形A8CD中，01=02,03=45°,貝靦4的度數為.

拓展探究：⑶如圖4,已知AABC是等腰三角形，AB=AC,點。在8C上（不與BC的中點重合），連接AD作

點C關于的對稱點E,連接功并延長交的延長線于死連接AE,DE.①求證：A,。，8,E四

點共圓；②若AB=2應，AD?A尸的值是否會發生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由

14.（2022?江蘇揚州?模擬預測）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內，其中

0DAB=45°,回。12=30。，點。為斜邊AB的中點，連接交A8于點E.設AB=L

（1）求證：A、B、C、。四個點在以點。為圓心的同一個圓上；

（2）分別求BABC和的面積；（3）過點。作。flSBC交43于點R求。E：。尸的比值.

15.（2023?重慶九年級課時練習）如圖，四邊形ABC。內接于。。，對角線AC13。，垂足為E,CF±AB

于點F,直線CP與直線于點G.

（1）若點G在。。內，如圖1,求證：G和。關于直線AC對稱；

（2）連接AG,若AG=3C,且AG與。。相切，如圖2,求—ABC的度數.

16.（2023?江蘇?九年級假期作業）【問題情境】如圖①，在四邊形ABCD中，ZB=ZD=90。,求證：A、B、

C、。四點共圓.

小吉同學的作法如下：連結AC,取AC的中點。，連結。3、OD,請你幫助小吉補全余下的證明過程；

【問題解決】如圖②，在正方形ABC。中，AB=2,點E是邊8的中點，點尸是邊BC上的一個動點，

連結AE,AF,作EP_LAF于點P.

（1）如圖②，當點P恰好落在正方形ABCD對角線3。上時，線段”的長度為

（2）如圖③，過點P分別作于點M,PNLBC于HN,連結MN,則MV的最小值為

圖①

17.（2023春?江蘇南京?九年級校聯考階段練習）在RtZXABC和RtADEF中，ZC=ZF=90°,ZB=ZE=30°,

AC=AF=6,用這兩個直角三角形研究圖形的變換.

【翻折】⑴如圖1，將4