2025年中考數學二輪復習考前預測：命題與證明（含解析）

2025年中考數學二輪復習考前預測：命題與證明

選擇題（共10小題）

1.（2025?安陽模擬）下列命題屬于真命題的是（）

A.同旁內角相等，兩直線平行

B.相等的角是對頂角

C.同位角相等

D.垂線段最短

2.（2025?山東一模）下列命題中正確的是（）

A.如果a,b,c是一組勾股數，那么4m4b,4c?也是一組勾股數

B.如果一個三角形的三個內角的度數之比是1：2：3,那么這個三角形三個內角所對的邊之比也是1：

2：3

C.如果直角三角形的兩邊分別是3,4,那么斜邊一定是5

D.任何一個定理都有逆定理

3.（2024?天山區校級二模）下列選項中，可以用來證明命題“兩個無理數的乘積一定是無理數”是假命

題的反例是（）

A.a=V§，b=V2B.a=V3>b=2V3

C.a=2,b=3D.a~y/~3，b=2

4.（2024?南山區校級三模）下列命題中，真命題的是（）

A.矩形的對角線互相垂直

B.一個正數的算術平方根一定比這個數小

C.點（-2,-3）關于無軸的對稱點坐標是（-2,3）

D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

5.（2024?宜興市模擬）下列選項中可以用來說明命題“若7>1,則x>l”是假命題的反例是（）

A.尤=-1B.尤=1C.尤=3D.x=-3

6.（2024?羅湖區校級模擬）能說明命題“對于任意實數，#=2?"是假命題，其中。可取的值是（）

A.-1B.0C.1D.V2

7.（2024?南山區三模）下列命題中是假命題的是（）

A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

C.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

8.（2024?興隆臺區校級三模）下列圖形中，能說明“相等的角是對頂角”為假命題的是（）

9.（2024?太平區二模）下列各命題的逆命題成立的是（）

A.全等三角形的面積相等

B.如果a=b,那么/=房

C.對頂角相等

D.兩直線平行，同旁內角互補

10.（2024?坪山區校級一模）下列命題正確的是（）

A.方程7-X-1=0沒有實數根

B.兩邊成比例及一角對應相等的兩個三角形相似

C.平分弦的直徑垂直于弦

D.反比例函數的圖象不會與坐標軸相交

填空題（共5小題）

11.（2025?佛山一模）在平面直角坐標系xOy中，點M在y軸的非負半軸上運動，點N在無軸上運動，

滿足0M+0N=8.點Q為線段的中點，則點Q運動路徑的長為.

12.（2024?石景山區一模）某酒店在客人退房后清潔客房需打掃衛生、整理床鋪、更換客用物品、檢查設

備共四個步驟.某清潔小組有甲、乙、丙三名工作人員，工作要求如下：

①“打掃衛生”只能由甲完成；每間客房“打掃衛生”完成后，才能進行該客房的其他三個步驟，這三

個步驟可由任意工作人員完成并可同時進行；

②一個步驟只能由一名工作人員完成，此步驟完成后該工作人員才能進行其他步驟；

③每個步驟所需時間如表所示：

步驟打掃衛生整理床鋪更換客用物品檢查設備

所需時間/分鐘9764

在不考慮其他因素的前提下，若由甲單獨完成一間客房的清潔工作，需要分鐘；若由甲、乙、

丙合作完成四間客房的清潔工作，則最少需要分鐘.

13.（2024?蚌山區三模）寫出定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命

題：.

14.（2024?樂山模擬）命題"等角的余角相等”的逆命題是,這是一個命

題.（填“真”或“假”）

15.（2024?西安校級模擬）《原本》是古希臘數學家歐幾里得的著作，它以公理和原名為基礎推演出更多

的結論，是流傳最廣、影響最大的一部世界數學名著.請寫出命題“如果a=b,那么/=必”的逆命

題：?

三.解答題（共5小題）

16.（2025?江北區模擬）如圖，在Rt^ABC中，ZB=90°,AO平分/8AC.小智在剛學完”三角形全

等的判定”這節課后，老師給出了一個富有挑戰性的題目，利用所學知識推導出△A3。和△AC。面積

的比值與邊AB和AC長度的比值之間的關系.經過小組討論他們的總體思路是控制變量法，即過點D

作AC的垂線，垂足為點E,再根據三角形全等來證明△A3。和△ACD的高相等，從而得到結論，請根

據小智他們的思路完成以下作圖與填空：

（1）尺規作圖：過點。作AC的垂線，交AC于點E（不寫作法，保留作圖痕跡）.

（2）證明：平分N8AC,

二①.

'：DE±AC,

：.ZAED=ZB=90°.

又②,

：.AABD^AAED（AAS）.

'/S/xABD——AB,DB,SAACD=^AC*DE,

22

.SAABDAB

??----~--.

^AACDAC

小智他們再進一步研究發現，只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，均有此結論.請

你依照題意完成下面命題：

如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么這兩個三角形面積的比值與該角對

應的兩邊長度的比值④.

17.（2024?沙坪壩區模擬）如圖，在RtAABC中，ZB=90°,AD平分/BAC.小明在剛學完"三角形

全等的判定”這節課后，想利用所學知識，推導出△A3。和△ACZ）面積的比值與42,AC兩邊比值的

關系.他的思路是：過點。作AC的垂線，垂足為點再根據三角形全等來證明△42。和的

高相等，進一步得到△A8O和△ACD的面積之比等于NBAC的兩鄰邊邊長之比.請根據小明的思路完

成以下作圖與填空：

（1）用直尺和圓規，過點。作AC的垂線，垂足為點H（只保留作圖痕跡）.

（2）證明：-：DH±AC,

:.NAHD=90°=NB.

平分/BAC,

①.

在△AB。和中，

'ZB=ZAHD

，ZBAD=ZHAD

.。②（）

AAABD^AAHD（AAS）.

二③.

..1

SAACD^AODH，

.SAABDAB

??------"?

^AACDAC

小明再進一步研究發現，只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，均有此結論.請你

依照題意完成下面命題：

如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么④

18.(2024?遂平縣一模)電動切割機以其高效、準確和便捷的特點，成為現代工作中不可或缺的工具，圖

1是從電動切割機抽象出來的幾何模型，ON為固定臺，切割片OA與擺臂相切于點P,圖2是切

割機完成工作時候的模型圖，此時切割片08與ON相切.已知切割片的半徑為30cm,轉軸0A長是

60cm,ZMON=9Q°(此次切割片在工作時候的磨損忽略不計).

(1)求圖2中點2到的距離；

(2)求砂輪工作前后，圓心A運動軌跡長度.

19.(2024?重慶二模)如圖，在RtAABC中，/B=90°,AD平分N8AC.小明在剛學完“三角形全等

的判定”這節課后，想利用所學知識，推導出△A3。和△AC。面積的比值與ABAC兩邊比值的關系.他

的思路是：過點D作AC的垂線，垂足為點”，再根據三角形全等來證明和△AC。的高相等，

進一步得到△A3。和的面積之比等于/8AC的兩鄰邊邊長之比.請根據小明的思路完成以下作

圖與填空：

(1)尺規作圖：過點。作AC的垂線，垂足為點”(保留作圖痕跡，不寫作法，要下結論).

(2)證明：'：DH±AC,

：.ZAHD=90°=NB

平分NBAC,

在△ABO和中，

,ZB=ZAHD

<ZBAD=ZHAD

.()

二△ABD0AAHD(A4s).

：.BD=DH.

..1

.SAABD^^BD，

SAACD4'AC'DH，

_SAABD_=

SAACD

小明再進一步研究發現，只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，均有此結論.請你

依照題意完成下面命題：如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那

20.（2024?渝中區校級三模）學習了菱形后，小莉進行了拓展性研究：過菱形的一個頂點分別向兩條對邊

作垂線，則這兩條垂線與對角線產生兩個交點，那么這兩交點到此頂點的距離關系如何？她的解決思路

是通過證明對應線段所在的兩個三角形全等得出結論.請根據她的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規，過點A作的垂線，垂足為點交BD干點、N.（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，四邊形45。是菱形，過A作AEL8C于點E,并交對角線8。于點孔作于

點M,交對角線8。于點N.求證：AF=AN.

證明：：四邊形A3。是菱形

：.AB=_________

ZABC=ZADC

ZABD=yZABC=yZADC=ZADB

'：AELBC,AMLCD

：.ZAEB=ZAMD=90°

,：ZAEB+ZABC+ZBAE=180°

ZAJWD+ZA￡）C+ZDAM=180°

AABF^___________

:.AF=AN

請你依照題意完成下面命題：過菱形的一個頂點向兩條對邊作垂線，與對角線產生兩個交點,

2025年中考數學二輪復習考前預測：命題與證明

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?安陽模擬）下列命題屬于真命題的是（）

A.同旁內角相等，兩直線平行

B.相等的角是對頂角

C.同位角相等

D.垂線段最短

【考點】命題與定理.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】D

【分析】根據平行線的判定定理、對頂角相等、垂線段最短判斷即可.

【解答】解：A、同旁內角互補，兩直線平行，故本選項說法是假命題，不符合題意；

8、相等的角不一定是對頂角，故本選項說法是假命題，不符合題意；

C、同位角不一定相等，故本選項說法是假命題，不符合題意；

。、垂線段最短，是真命題，符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真

假關鍵是要熟悉課本中的性質定理.

2.（2025?山東一模）下列命題中正確的是（）

A.如果a,b,c是一組勾股數，那么4a,4b,4c也是一組勾股數

B.如果一個三角形的三個內角的度數之比是1：2：3,那么這個三角形三個內角所對的邊之比也是1：

2：3

C.如果直角三角形的兩邊分別是3,4,那么斜邊一定是5

D.任何一個定理都有逆定理

【考點】命題與定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】A

【分析】利用勾股數的定義、三角形的性質、勾股定理等知識分別判斷后即可確定正確的選項.

【解答】解：A、如果a,b,c是一組勾股數，那么4m4b,4c也是一組勾股數，正確，符合題意；

B,如果一個三角形的三個內角的度數之比是1：2：3,那么這個三角形三個內角所對的邊之比也是1：

V3：2,故原命題錯誤，不符合題意；

C、如果直角三角形的兩邊分別是3,4,那么斜邊是5或故原命題錯誤，不符合題意；

。、任何命題都有逆命題，但定理不一定有逆定理，故原命題錯誤，不符合題意，

故選：A.

【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解勾股數的定義、三角形的性質、勾股定理等知識，

屬于基礎題，比較簡單.

3.（2024?天山區校級二模）下列選項中，可以用來證明命題”兩個無理數的乘積一定是無理數”是假命

題的反例是（）

A.\>=y/~2B.>b=2>/3

C.a=2,b=3D.a=V3>b=2

【考點】命題與定理；實數的運算.

【專題】實數；運算能力.

【答案】B

【分析】錯誤的命題即為假命題，無限不循環小數即為無理數，再把每個選項的數值進行運算，即可作

答.

【解答】解：4V2xV3=V6?無法說明兩個無理數的乘積一定是無理數是假命題，故該選項是錯

誤的；

B、V3x273=2X3=6-說明兩個無理數的乘積一定是無理數是假命題，故該選項是正確的；

C、2,3不是無理數，無法說明兩個無理數的乘積一定是無理數是假命題，故該選項是錯誤的；

。、2不是無理數，無法說明兩個無理數的乘積一定是無理數是假命題，故該選項是錯誤的；

故選：B.

【點評】本題考查了假命題的定義以及無理數的定義，掌握錯誤的命題即為假命題是解題的關鍵.

4.（2024?南山區校級三模）下列命題中，真命題的是（）

A.矩形的對角線互相垂直

B.一個正數的算術平方根一定比這個數小

C.點（-2,-3）關于x軸的對稱點坐標是（-2,3）

D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

【考點】命題與定理；關于x軸、y軸對稱的點的坐標；線段垂直平分線的性質；矩形的性質；正方形

的判定.

【專題】線段、角、相交線與平行線；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】c

【分析】根據矩形的性質、算術平方根、軸對稱以及正方形性質，進行逐項分析，即可作答.

【解答】解：A、矩形的對角線相等，故原說法是錯誤的，不符合題意；

B.1的算術平方根是1,故一個正數的算術平方根不一定比這個數小，故該選項是錯誤的，不符合題

-zfe.

思；

。、點（-2,-3）關于x軸的對稱點坐標是（-2,3）,故該選項是正確的，符合題意；

。、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故原說法是錯誤的，不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了命題的真假以及矩形的性質、算術平方根、軸對稱以及正方形性質，關鍵是矩形性

質的應用.

5.（2024?宜興市模擬）下列選項中可以用來說明命題“若/>1,則x>l”是假命題的反例是（）

A.x=-1B.x=lC.x=3D.x=-3

【考點】命題與定理.

【專題】推理填空題.

【答案】D

【分析】根據有理數的乘方法則、假命題的概念解答.

【解答】解：A、尤=-1時，不滿足/>1,本選項不符合題意；

B、X=1時，不滿足尤2>1,本選項不符合題意；

C、x=3時.滿足/>1,則x>l.本選項不符合題意；

D、'：（-3）2=9>1,-3<1,

.?.當x=-3時，說明命題“若/>1,則x>l”是假命題，本選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查的是命題的真假判斷，任何一個命題非真即假.要說明一個命題的正確性，一般需要

推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可.

6.（2024?羅湖區校級模擬）能說明命題“對于任意實數，衣=2?"是假命題，其中。可取的值是（）

A.-1B.0C.1D.我

【考點】命題與定理；二次根式的性質與化簡.

【專題】實數；運算能力.

【答案】A

【分析】分別把各選項的值代入即可進行判斷.

【解答】解：A.當。=-1時，M（TV珀=責_1，符合題意；

B.當。=0時,V?=Vo^=0,不符合題意；

C.當。=1時，｛a2=yj12=],不符合題意；

D.當&=、歷時，叱H5）2=圾,不符合題意.

故選：A.

【點評】本題考查的是命題的真假判斷，要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個

命題是假命題，只需舉出一個反例即可.

7.（2024?南山區三模）下列命題中是假命題的是（）

A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

C.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

【考點】命題與定理；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理；垂徑定理；切線的性質.

【專題】空間觀念.

【答案】B

【分析】利用三角形的中位線定理、垂徑定理、切線長定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質分別判

斷后即可

【解答】解：4三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，是真命題，故此選

項不符合題意；

8、平分弦（弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，故原命題是假命題，本選項符

合題意；

C、從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角，

是真命題，故此選項不符合題意；

。、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是真命題，故此選項不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了命題與定理的知識，掌握三角形的中位線定理、垂徑定理、切線長定理以及直角三

角形斜邊上的中線的性質是解題的關鍵.

8.（2024?興隆臺區校級三模）下列圖形中，能說明“相等的角是對頂角”為假命題的是（）

【考點】命題與定理；對頂角、鄰補角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】A

【分析】根據對頂角的定義，再結合舉反例的方法可得到答案.

【解答】解：選項A中的圖形，滿足兩個角相等，但是不是對頂角，故A符合題意；

選項8中的圖形是對頂角，故B不符合題意；

選項C中的圖形兩個角不相等，故C不符合題意；

選項。中的圖形兩個角不相等，故。不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查的是真假命題的判定，對頂角的含義，掌握判斷命題為真假命題的判定方法是解本題

的關鍵.

9.（2024?太平區二模）下列各命題的逆命題成立的是（）

A.全等三角形的面積相等

B.如果a=b,那么/二戶

C.對頂角相等

D.兩直線平行，同旁內角互補

【考點】命題與定理；對頂角、鄰補角；全等三角形的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】D

【分析】正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題，據此解答即可.

【解答】解：A、“全等三角形的面積相等”的逆命題是“面積相等的三角形是全等形”是假命題，故A

不符合題意；

2、“如果a=b,那么/=必”的逆命題是，，如果/=必，那么々=6”是假命題，故8不符合題意；

C、“對頂角相等”的逆命題是“相等的角是對頂角”是假命題，故C不符合題意；

。、“兩直線平行，同旁內角互補”的逆命題是“同旁內角互補，兩直線平行”是真命題，故D符合題

-zfe.

思；

故選：D.

【點評】本題主要考查了逆命題，熟悉課本中的性質定理是解題的關鍵.

10.（2024?坪山區校級一模）下列命題正確的是（）

A.方程*-尤-1=0沒有實數根

B.兩邊成比例及一角對應相等的兩個三角形相似

C.平分弦的直徑垂直于弦

D.反比例函數的圖象不會與坐標軸相交

【考點】命題與定理；相似三角形的判定；根的判別式；函數的圖象；垂徑定理.

【專題】一元二次方程及應用；反比例函數及其應用；圓的有關概念及性質；圖形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】根據一元二次方程根的判別式、相似三角形的判定定理、垂徑定理的推論、反比例函數的性質

判斷即可.

【解答】解：4方程/-X-1=0的判別式A=62-4ac=（-1）2-4XlX（-1）=5>0,則方程有

兩個不相等的實數根，故本選項命題錯誤，不符合題意；

B、兩邊成比例及夾角對應相等的兩個三角形相似，故本選項命題錯誤，不符合題意；

C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項命題錯誤，不符合題意；

。、反比例函數的圖象不會與坐標軸相交，命題正確，符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真

假關鍵是要熟悉課本中的性質定理.

二.填空題（共5小題）

11.（2025?佛山一模）在平面直角坐標系xOy中，點M在y軸的非負半軸上運動，點N在無軸上運動，

滿足0M+0N=8.點Q為線段的中點，則點0運動路徑的長為一

【考點】軌跡；坐標與圖形性質.

【專題】推理能力.

【答案】8圾.

【分析】根據題意找出點。的運動軌跡是兩條線段設點M的坐標為（0,機），點N的坐標為Gi,0）,

則點。的坐標為華，,），根據。M+ON=8,得出同+M=8,然后分兩種情況，-8，＜0或0,

W8,得出螞與4的函數關系式，即可得出。橫縱坐標的關系式，找出點。的運動軌跡，根據勾股定理

22

求出運動軌跡的長即可.

【解答】解：???點M在y軸的非負半軸上運動，點N在x軸上運動，

設點M的坐標為（0,相），點N的坐標為（小0）,

??,點。為線段MN的中點，

則點Q的坐標為（￡,5）,

?：OM+ON=8,

|n|+|m|=8,（-8W〃W8,0WmW8）,

二?當-8W〃V0時，間+|刑=-n+m=8,

?nm/

??7為=4，

??萬而+4,

此時點Q在一條線段上運動，線段的一個端點在x軸的負半軸上，坐標為（-4,0）,另一端在y軸

的非負半軸上，坐標為（0,4）,

???此時點。的運動路徑長為4（-4）2+42=蚯；

當0W〃W8時，|川+|加|=〃+機=8,

...此時點。在一條線段上運動，線段的一個端點在x軸的正半軸上，坐標為（4,0）,另一端在y軸的

非負半軸上，坐標為（0,4）,

,此時點Q的運動路徑長為V42+（-4）2=4加；

綜上分析可知，點。運動路徑的長為472+4&=8亞.

故答案為：8V2.

【點評】本題主要考查了平面直角坐標系中的動點問題，一次函數的應用，化為最簡二次根式，掌握平

面直角坐標系中的動點問題，一次函數的應用是解題的關鍵.

12.（2024?石景山區一模）某酒店在客人退房后清潔客房需打掃衛生、整理床鋪、更換客用物品、檢查設

備共四個步驟.某清潔小組有甲、乙、丙三名工作人員，工作要求如下：

①“打掃衛生”只能由甲完成；每間客房“打掃衛生”完成后，才能進行該客房的其他三個步驟，這三

個步驟可由任意工作人員完成并可同時進行；

②一個步驟只能由一名工作人員完成，此步驟完成后該工作人員才能進行其他步驟；

③每個步驟所需時間如表所示：

步驟打掃衛生整理床鋪更換客用物品檢查設備

所需時間/分鐘9764

在不考慮其他因素的前提下，若由甲單獨完成一間客房的清潔工作，需要26分鐘;若由甲、乙、

丙合作完成四間客房的清潔工作，則最少需要43分鐘.

【考點】推理與論證；統計表.

【專題】推理填空題；統計的應用；數據分析觀念；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】在不考慮其他因素的前提下，若由甲單獨完成一間客房的清潔工作，所需時間為四個步驟所需

時間的和，若由甲、乙、丙合作完成四間客房的清潔工作，所需時間為“打掃衛生”和“整理床鋪”2

個步驟所需時間的和.

【解答】解：在不考慮其他因素的前提下，若由甲單獨完成一間客房的清潔工作，所需時間為：9+7+6+4

=26（分鐘）；

若由甲、乙、丙合作完成四間客房的清潔工作，甲完成四間客房''打掃衛生”需36分鐘，甲完成一間

客房“打掃衛生”需9分鐘，隨后乙、丙進行其他三個步驟，可完成四間客房整理床鋪、更換客用物品

的工作，其中一人完成四間客房整理床鋪需28分鐘，可再完成二間客房檢查設備的工作，一人完成四

間客房更換客用物品需24分鐘，也可再完成二間客房檢查設備的工作，所以若由甲、乙、丙合作完成

四間客房的清潔工作，則最少需要36+7=43分鐘.

故答案為：26,43.

【點評】本題考查了統計的知識，理解題意是解題的關鍵.

13.（2024?蚌山區三模）寫出定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題：如果一個三

角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

【考點】命題與定理.

【答案】見試題解答內容

【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題.命題''直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半”的條件是直角三角形，結論是斜邊上的中線等于斜邊的一半，故其逆命題：如果一個三角形一邊

上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

【解答】解：定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題：如果一個三角形一邊上的中

線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

【點評】本題考查了互逆命題的知識及命題的真假判斷，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個

命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一個命

題稱為另一個命題的逆命題.

14.（2024?樂山模擬）命題"等角的余角相等”的逆命題是如果兩個角的余角相等，那么這兩個角也相

等，這是一個真命題.（填“真”或“假”）

【考點】命題與定理.

【答案】見試題解答內容

【分析】先把等角的余角相等寫成“如果…那么…”的形式，然后交換題設和結論即可得到逆命題，再

判斷其真假.

【解答】解：“等角的余角相等”的逆命題為“如果兩個角的余角相等，那么這兩個角也相等”，這是一

個真命題.

故答案為如果兩個角的余角相等，那么這兩個角也相等；真.

【點評】本題考查了命題：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題.

15.（2024?西安校級模擬）《原本》是古希臘數學家歐幾里得的著作，它以公理和原名為基礎推演出更多

的結論，是流傳最廣、影響最大的一部世界數學名著.請寫出命題“如果a=b,那么/=房”的逆命

題：如果/=必，那么”=b.

【考點】命題與定理.

【專題】實數；數感.

【答案】如果/=后，那么。=從

【分析】將原命題的條件和題設互換即可寫出逆命題.

【解答】解：逆命題為：如果/=必，那么

故答案為：如果/=店，那么a=6.

【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是能夠寫出該命題的逆命題.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?江北區模擬）如圖，在RtaABC中，N8=90°,AD平分NA4c.小智在剛學完“三角形全

等的判定”這節課后，老師給出了一個富有挑戰性的題目，利用所學知識推導出△A8O和△AC。面積

的比值與邊和AC長度的比值之間的關系.經過小組討論他們的總體思路是控制變量法，即過點D

作AC的垂線，垂足為點E,再根據三角形全等來證明△A3。和的高相等，從而得到結論，請根

據小智他們的思路完成以下作圖與填空：

（1）尺規作圖：過點。作AC的垂線，交AC于點E（不寫作法，保留作圖痕跡）.

（2）證明：平分NBAC,

①NCAD=/8Ar>.

'：DE.LAC,

:./AED=/B=90°.

又②,

AAABD^/\AED（A4S）.

.,.③DE=BD.

S^ABD=—AB,DB,S^ACD=—AC'DE,

22

.SAABDAB

^AACDAC

小智他們再進一步研究發現，只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，均有此結論.請

你依照題意完成下面命題：

如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么這兩個三角形面積的比值與該角對

應的兩邊長度的比值④相等.

【考點】命題與定理；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；作圖一復雜作圖.

【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；尺規作圖；推理能力.

【答案】ZCAD=ZBAD,AD=AD,DE=BD,相等.

【分析】（1）以。為圓心畫弧交AC于M、N,作線段的垂直平分線交AC于E；

(2)判定(AAS),推出DE=BD,由三角形面積公式推出也空上J殳，由以上證明

,△ACDAC

即可得到結論.

【解答】(1)解:如圖所示：DE1AC；

(2)證明：平分NBAC,

：.ZCAD^ZBAD,

'：DE±AC,

：.ZAED^ZB^9Q°,

又AD^AD,

:.△ABDgLAED(AAS).

:.DE=BD.

SAABD=^-AB-DB,SAACD^^-AC-DE,；.望.

22S^ACDAC

小智他們再進一步研究發現，只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，均有此結論,

如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么這兩個三角形面積的比值與該角對

應的兩邊長度的比值相等.

故答案為：ZCAD=ZBAD,AD=AD,DE=BD,相等.

【點評】本題考查命題與定理，全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，作圖-復制作圖，關鍵是

掌握尺規作圖：過直線外一點作已知直線的方法，判定△ABO0ZXAED(AAS),推出。E=BZ).

17.(2024?沙坪壩區模擬)如圖，在RtAABC中，ZB=90°,AD平分/BAC.小明在剛學完”三角形

全等的判定”這節課后，想利用所學知識，推導出△A3。和△AC。面積的比值與AB,AC兩邊比值的

關系.他的思路是：過點。作AC的垂線，垂足為點”，再根據三角形全等來證明△ABO和△ACD的

高相等，進一步得到和△ACD的面積之比等于NBAC的兩鄰邊邊長之比.請根據小明的思路完

成以下作圖與填空：

(1)用直尺和圓規，過點。作AC的垂線，垂足為點H(只保留作圖痕跡).

(2)證明：'：DH±AC,

：.ZAHD=90°=/B.

平分/BAC,

①NBAD=/HAD.

在△ABO和中，

'ZB=ZAHD

<ZBAD=ZHAD

()②()

AAABD^AAHD(44S).

.,.③BD=DH.

..1

15&^^研咂，

SAACD^AODH,

.SAABDAB

??.

^AACDAC

小明再進一步研究發現，只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，均有此結論.請你

依照題意完成下面命題：

如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么④這兩個三角形的面積之比，等

于這個角的兩條鄰邊邊長之比..

【考點】命題與定理；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；作圖一基本作圖.

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)分別以4C點為圓心，/AC長為半徑在線段4。兩側畫弧，各有兩個交點，連接這兩個

交點交AC邊與H,則直線QH即為AC的垂線；

(2)根據AAS,再找一條公共邊，證明△A3。之得到進而將面積之比轉化長相應

邊的比

【解答】解：（1）如圖，直線DH為所作垂段;

(2)解：證明：-：DH±AC,

：.ZAHD=9Q°=/B.

平分/BAC,

：.ZBAD=ZHAD.

在△A3。和中，

'ZB=ZAHD

<ZBAD=ZHAD

AD=AD

:.△ABDQAHD(AAS).

:.BD=HD.

..1

?S^ABD^MBD，

SAACD^AODH,

S

?.?--A-A--B-D-~-A--B.

^AACDAC

所以：如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么這兩個三角形的面積之比,

等于這個內角的兩條鄰邊邊長之比.

【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的作圖，掌握三角形全等的判定和性質是解題的關鍵.

18.（2024?遂平縣一模）電動切割機以其高效、準確和便捷的特點，成為現代工作中不可或缺的工具，圖

1是從電動切割機抽象出來的幾何模型，ON為固定臺，切割片OA與擺臂相切于點P,圖2是切

割機完成工作時候的模型圖，此時切割片08與ON相切.已知切割片的半徑為30cm轉軸0A長是

60cm,/MON=90°（此次切割片在工作時候的磨損忽略不計）.

（1）求圖2中點8到OM的距離；

（2）求砂輪工作前后，圓心A運動軌跡長度.

【考點】軌跡；勾股定理的應用；垂徑定理；切線的性質.

【專題】與圓有關的計算；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力.

【答案】⑴點B到0M的距離為30如刖；

(2)圓心A運動軌跡長度為IOTTCWI.

【分析】(1)過點B作BQ_LON,BCL0M.則42=8。=30。小OA=OB=60c〃z.由勾股定理得0Q

的長，根據/8(7。=/8。。=/加07=90°,得出四邊形8c。。為矩形.則8c=OQ=3(h/5cm；

(2)在RtZXOQB中，sin/BOQ且?小，則/8。。=30°,同理可得/4。尸=/80。=30°.則/

0B2

AOB=90°-60°=30°.所以圓心A運動軌跡眾的長迎12s也二1°兀().

【解答】解：(1)過點8作5QL0N,BCLOM,垂足分別為。，C.

由勾股定理得OQ=^Qg2_gQ2=^602-302=30V3cm,

VZBCO=ZBQO=ZMON=90°,

???四邊形BCOQ為矩形.

BC=OQ=30y[3cm,

???點B到OM的距離為30V3cm；

⑵在Rt/\OQB中，sinNB0Q=-^_[，

UDN

：.ZBOQ=30°,

同理可得NAOP=N5OO=30°.

ZAOB=90°-60°=30°.

圓心A運動軌跡窟的長為30n*60=]0兀（加＞

180

答：圓心A運動軌跡長度為lOirc/n.

【點評】本題考查軌跡、勾股定理的應用、垂徑定理、切線的性質，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活

運用.

19.(2024?重慶二模)如圖，在RtAABC中，ZB=90°,AD平分N8AC.小明在剛學完“三角形全等

的判定”這節課后，想利用所學知識，推導出△48。和△AC。面積的比值與ABAC兩邊比值的關系.他

的思路是：過點。作AC的垂線，垂足為點再根據三角形全等來證明△A3。和△AC。的高相等，

進一步得到△A3。和△AC。的面積之比等于/BAC的兩鄰邊邊長之比.請根據小明的思路完成以下作

圖與填空：

(1)尺規作圖：過點。作AC的垂線，垂足為點“(保留作圖痕跡，不寫作法，要下結論).

(2)證明：'：DH±AC,

：.ZAHD=9Q°=/B

平分/BAC,

/BAD=NHAD.

在△ABD和△AHD中，

,ZB=ZAHD

<ZBAD=ZHAD

)

AAABD^AAHD(A4s).

:.BD=DH.

..1

.S&iBD而g,BD，

SAACD^AODH，

.SAABDAB

,△ACDAC

小明再進一步研究發現，只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，均有此結論.請你

依照題意完成下面命題：如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分