2025年上海高考數學二輪復習：熱點題型6 解答壓軸題（五大題型）原卷版+解析

熱點題型?解答題攻略

專題06解答壓軸題(五大題型)

?>----------題型歸納?定方向------------<>

題型01新定義導數.............................................................................1

題型02導數在三角函數的應用...................................................................3

題型03導數與數列.............................................................................4

題型04數列綜合...............................................................................5

題型05導數、數列與常用邏輯用語..............................................................6

*>----------題型探析?明規律----------*>

【解題規律?提分快招】

1、同構法的三種基本模式：①乘積型，如ae"61nb可以同構成恁上(1116)*&,進而構造函數於)=xet②

比商型，如^■〈昌可以同構成]^羨<名，進而構造函數_/(x)=a；③和差型，如e"±a>b±lnb,同構后可以

Cl111U111C111U1114

構造函數fix)—ev+x-或fix)=x±lnx.

2、涉及函數的零點(方程的根)問題，主要利用導數確定函數的單調區間和極值點，根據函數零點的個數尋

找函數在給定區間的極值以及區間端點的函數值與0的關系，從而求得參數的取值范圍.

3、“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質，深刻挖掘內含條件，進行等價變換，常見的等價轉

換有

(1)VX1，X2GD,/Ul)>g(X2)"x)min>g(x)max.

，))(尤)

(2)VX1G￡)1,3X2￡D2/Ul)>g(X2"Xmin>gmin.

(3)3XleDl,v%2G。2,尤l)>g(%2)5x)max>g(尤)max.

4、數列與函數、不等式的綜合問題關鍵在于通過函數關系尋找數列的遞推關系，求出數列的通項或前n項

和，再利用數列或數列對應的函數解決最值、范圍問題，通過放縮進行不等式的證明.

題型01新定義導數

【典例1-1].(2023.上海黃浦?二模)三個互不相同的函數y=〃x),y=g(x)與y=〃(x)在區間D上恒有

f(x)>h(x)>g(x)或恒有f(x)<h(x)<g(x),則稱y=人(無)為y=y(X)與y=g(X)在區間。上的“分割函

數”.

(1)設九(X)=4x也⑺=X+1,試分別判斷y=4(x),y=為(X)是否是y=2d+2與y=-d+公在區間

(F,y)上的“分割函數，，，請說明理由；

(2)求所有的二次函數y=ax1+cx+d(a^O)(用。表示c,d)，使得該函數是y=21+2與y=4x在區間

(-00,+00)上的“分割函數”；

(3)若[m,n]^[-2,2],且存在實數k,b,使得y=丘+6為y=/-4爐與y=4/-16在區間[m,n\上的“分割函

數”,求〃-機的最大值.

【典例1-2].(2024-2025?上海高三?專題練習)若函數/(X)在區間/上有定義，且Vxe/,則

稱/是的一個“封閉區間”.

⑴己知函數/(x)=x+sinx,區間/=[0,r](r＞0)且的一個“封閉區間”，求r的取值集合；

⑵己知函數8(彳)=皿%+1)+%3,設集合P={x|g(x)=x}.

(i)求集合P中元素的個數；

(ii)用力-。表示區間的長度，設機為集合尸中的最大元素.證明：存在唯一長度為優的閉區

間。，使得。是g(x)的一個“封閉區間”.

【變式1-1].(23-24高三下.上海浦東新?階段練習)設函數y=/(x)的定義域為開區間/,若存在不

使得y=〃x)在x=x0處的切線/與y=的圖像只有唯一的公共點，則稱y=/(x)為“L函數”，切線/為

一條“L切線”.

⑴判斷.v=x-l是否是函數y=的一條“心切線”，并說明理由；

⑵設g(x)=e2-6x,求證：y=g(x)存在無窮多條“L切線”;

⑶設/(力=尤3+62+1(。〈尤＜c)，求證：對任意實數a和正數Gy=/(x)都是“L函數”

【變式1-2】.(2024.上海嘉定.一模)設A為非空集合，函數/(X)的定義域為。.若存在不€。使得對任意

的均有則稱/'(%)為函數〃x)的一個A值，尤()為相應的A值點.

⑴若4=[-2,0],〃力=$也.證明：％=2E+；;i,keZ是函數的一個A值點，并寫出相應的A值；

⑵若4=[0,+力),〃力=-％8("=犬+%+1.分別判斷函數〃力拓(力是否存在人值？若存在，求出相應的

A值點；若不存在，說明理由；

(3)若A=(Y,0],且函數〃H=原+依2(4€2存在人值，求函數〃x)的A值，并指出相應的A值點.

【變式1-3].(2024?上海普陀二模)對于函數y=/(無)，xeD而y=g(x),尤e2,設R=。，若占，

x2eD,且工產馬，皆有|/(不)一〃9)|三米(不)一8(*2)|(/＞。)成立，則稱函數y=/(x)與y=g(x)“具有性

質“⑺”.

⑴判斷函數〃尤)=尤2,xe[l,2]與g(a)=2x是否“具有性質小2)”，并說明理由；

⑵若函數/(x)=2+/,彳€(0,1]與8食)=!"具有性質”“)，，，求/的取值范圍；

X

⑶若函數〃元)=二+21nx-3與y=g⑺"具有性質H(l)”，且函數y=g(x)在區間(0,+8)上存在兩個零點4,

x2,求證工；+%；>2.

題型02導數在三角函數的應用

【典例2-1］.(2024?上海徐匯.一模)已知定義域為。的函數y=/(久)，其導函數為丫=尸(久)，若點(%,%)

在導函數y=尸(為圖象上，且滿足/'(不>/'(%)20,則稱/為函數y=/(久)的一個“T類數”，函數y=f(x)

的所有“T類數”構成的集合稱為“T類集”.

⑴若〃x)=sinx,分別判斷!■和日是否為函數y=fO)的“T類數”，并說明理由；

(2)設y=((x)的圖象在R上連續不斷，集合M={x|r(x)=0}.記函數y=f⑴的"類集”為集合S,若

SuR,求證：M蠱；

⑶己知=-Lcos3尤+9)3>0),若函數y=/⑺的“T類集”為R時。的取值構成集合A,求當eWA時

CD

。的最大值.

【變式2-1】.(2024?上海崇明?一模)定義：若曲線G和曲線g有公共點尸，且曲線G在點P處的切線與

曲線g在點P處的切線重合，則稱G與G在點尸處“一線切

⑴己知圓(了-。)2+/"。>0)與曲線)=/在點(1,1)處“一線切，，,求實數。的值;

(2)設/(尤)=4+2)+。,g(尤)=ln(無+1),若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在點尸處“一線切”,求實數。的值;

(3)定義在R上的函數y=/(x)的圖象為連續曲線，函數y=/(x)的導函數為y=/(x),對任意的尤eR,都

1/3<3成立.是否存在點尸使得曲線y=sinX和曲線y=1在點尸處“一線切”？若存在,請求

出點尸的坐標，若不存在，請說明理由.

【變式2-2］.(22-23高三上?上海長寧?期中)已知》=制幻是定義在［p,q］上的函數，如果存在常數M>0,

對區間［PM的任意劃分:

p=x0<xl<x2<...<xn_1<xn=q(,n&N,n>,3),<M恒成立，則稱函數y=m(x)為區間

i=l

［p,0上的“有界變差函數

⑴試判斷函數/(x)=sin尤-cosx是否為區間0彳上的“有界變差函數”，若是，求出M的最小值；若不是,

說明理由；

⑵若y=g(x)與y=h(x)均為區間［p,q］上的“有界變差函數”，證明：尸(X)=g(x)+Mx)是區間［p,q］上的“有

界變差函數”；

71

r,,/\XCOS----0-<X"1不是［0,1］上的“有界變差函數”;

(3)證明：函數9(%)=：2%

0x=0

題型03導數與數列

【典例3-1】.(2023?上海嘉定?一模)已知/(x)=W，g(x)=也.

e尤

⑴求函數y=f(X)、y=g(x)的單調區間和極值；

(2)請嚴格證明曲線y=f(x)、y=g(x)有唯一交點；

⑶對于常數若直線y=a和曲線y=/(x)、y=g(x)共有三個不同交點(小。)、(々4)、(七,。)，其

中玉<%<W，求證：占、%、當成等比數列.

【典例3-2].(24-25高三上?上海浦東新?期末)過曲線y=/(x)上一點尸作其切線，若恰有兩條，則稱p為

fM的“A類點”;過曲線y=/(X)外一點Q作其切線，若恰有三條，則稱Q為f(x)的“3類點”;若點R為了(X)

的“A類點”或“B類點”，且過R存在兩條相互垂直的切線，則稱R為/(無)的“C類點”.

⑴設/(x)=J,判斷點P(U)是否為了(尤)的“A類點”，并說明理由；

⑵設=若點。(2,0)為/⑺的“B類點”，且過點。的三條切線的切點橫坐標可構成等差數列，

求實數加的值；

⑶設/(%)=W，證明：y軸上不存在八%)的"。類點

e

【變式3-1].(23-24高三下?上海閔行?階段練習)已知函數/(x)=ln%,取點(4,/(4)),過其作曲線/(x)=lnx

切線交,軸于點(0，初，取點(出,〃4)),過其作曲線/(x)=lnx作切線交,軸于(0,4)，若44。，則停止

操作，以此類推，得到數列%.

⑴若正整數相,2,證明=10^-1

(2)若正整數機22,試比較冊與4,1-2大小；

(3)若正整數左23,是否存在太使得^，出，…，4依次成等差數列？若存在，求出左的所有取值，若不存在，

試說明理由.

【變式3-2].(23-24高三上?上海靜安?階段練習)已知函數〃引=尤?-1)-加.

⑴若。=：,求的單調區間；

⑵若xe(0,1]時W0恒成立，求實數a的取值范圍.

⑶定義函數y=〃x),對于數列色卜也｝，若凡=/5),"〃)=”,則稱｛%｝為函數y=f(x)的“生成數列”,

也｝為函數y=〃尤)的一個，源數列”.

①已知/(x)=e，,｛2｝為函數y=〃x)的“源數列”，求證：對任意正整數〃，均有6”4(〃-1)二

②已知/(力=2'+蒼｛叫為函數y=/(x)的“生成數列”，｛2｝為函數y"(x)的“源數列”,｛%｝與也｝的

公共項按從小到大的順序構成數列｛%｝,試問在數列｛%｝中是否存在連續三項構成等比數列？請說明理由.

【變式3-3].（24-25高三上.上海.階段練習）設。＞0,"x）=4-2ln；,g（x）=依.

⑴求函數y=/O）的單調區間；

⑵求證：/（x）N（（4-G）；

（3）設函數y=M%）與y=q（x）的定義域的交集為。，集合A=若對任意/eA,都存在占,飛?。，使得

升,馬,%成等比數列，且（飛），。（々）成等差數列，則稱y=MM與＞=4（%）為3關聯函數"?求證：若

y=f（X）與y=9（K）為"[1,+8）關聯函數”，則?e[l,e4）.

【變式3-4].（2024-2025?上海高三?專題練習）已知函數y=〃x）,其中〃尤）=%?一日2,左^R.若點A在

函數y=/（x）的圖像上，且經過點A的切線與函數y=/（x）圖像的另一個交點為點B,則稱點8為點A的一

個“上位點”，現有函數y=/（x）圖像上的點列M，M2,Mn,使得對任意正整數"，點也都是

點川的一個“上位點

⑴若左=0,請判斷原點。是否存在“上位點”，并說明理由；

⑵若點給的坐標為（3阮o）,請分別求出點加2、加3的坐標；

⑶若M的坐標為（3,0）,記點Mn到直線y=〃，的距離為4,.問是否存在實數m和正整數T,使得無窮數列dT、

dT+l....辦+■…嚴格減？若存在，求出實數加的所有可能值；若不存在，請說明理由.

【變式3-51.（2024?上海黃浦?二模）若函數y=/（x）的圖象上的兩個不同點處的切線互相重合，則稱該切

線為函數＞=/（幻的圖象的“自公切線”，稱這兩點為函數＞=/（無）的圖象的一對“同切點

⑴分別判斷函數X（x）=sinx與力（x）=lnx的圖象是否存在“自公切線”，并說明理由；

（2）若“eR,求證：函數g（x）=tanxT+a（xe（-若））有唯一零點且該函數的圖象不存在“自公切線”；

（3）設“eN*,〃（x）=tan尤-x+rniaeC-l，]））的零點為，re（-p-|）,求證：“存在$€（2兀,+?）,使得點（s,sins）

與（f,sinf）是函數y=sinx的圖象的一對，同切點”，的充要條件是“/是數列｛%｝中的項”.

題型04數列綜合

【典例4-1].（22-23高三上?上海浦東新?階段練習）已知無窮數列｛4｝滿足|以1-。"|=1,其中“=1,2,3,…,

對于數列｛4｝中的一項ak,若包含人的連續j（j＞2）項at,aM,W力+八1）滿足

q＜@+i/-1）或者4＞%|＞■?■＞生+“，則稱4,4+1，?，《+尸1為包含氏的長度為/的“單

調片段”.

⑴若a“=sin啰，寫出所有包含的的長度為3的“單調片段”；

(2)若對任意正整數%,包含出的“單調片段”長度的最大值都等于2,并且4=9,求｛%｝的通項公式；

(3)若對任意大于1的正整數%,都存在包含小的長度為人的“單調片段”，求證：存在正整數時,使得〃2乂

時，都有,“-覬|=〃一乂.

【變式4-1】.(2022?上海嘉定?模擬預測)若項數為-左eN*且"3)的有窮數列｛凡｝滿足：

\al-a2\^a2-a3\■■■?\ak_,-ak\,則稱數列｛%｝具有“性質V

(1)判斷下列數列是否具有“性質M”，并說明理由；

①1,2,4,3；②2,4,8,16.

⑵設/=1。“-％/(，〃=1,2,???,f,若數列｛%｝具有“性質M”，且各項互不相同.求證：“數列｛%｝為

等差數列”的充要條件是“數列也”｝為常數列”；

(3)已知數列&｝具有“性質若存在數列｛4｝,使得數列｛。,｝是連續火個正整數1,2,左的一個排

Hha

列，且Iq-%I+1%-a31----It-i-ak\=k+2,求％的所有可能的值.

【變式4-21.(2023?上海崇明?一模)已知數列｛4｝滿足舊一-歸臉1——|?=1，2,…,〃-2).

(1)若數列｛%｝的前4項分別為4,2,%，1，求。3的取值范圍；

⑵已知數列｛。“｝中各項互不相同.令以=寓-%/(加=1,2,…,〃-1),求證：數列｛%｝是等差數列的充要條件

是數列也｝是常數列；

用一1

(3)已知數列｛%｝是根(機EN且加23)個連續正整數1,2,根的一個排歹!J.若2鼠-。%+1|二m+2,求

k=l

m的所有取值.

題型05導數、數列與常用邏輯用語

【典例5-1].(24-25高三上?上海?階段練習)對于一個各項非零的等差數列｛4｝,若能從中選出第左，右，…，幻

(左〈心<...<幺)項，能構成一個等比數列電｝,則稱｛2｝為｛叫的嘴比子列”.若此“等比子列”具有無窮

項，則稱其為“完美等比子列”.

⑴若數列4,=2,,〃>0,〃eN,直接寫出3個符合條件的“等比子列”，其中1個必須為“完美等比子列”.

⑵對于數列%=3〃-1,w>0,weN,猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，請寫出一個并證明；如

果不存在，請說明理由.

(3)證明：各項非零的等差數列｛%｝中存在“等比子歹『'的充要條件是數列｛%｝滿足％=5(d為公差，

上eQ,左20).

【變式5-1].(2024?上海青浦.二模)若無窮數列他“｝滿足：存在正整數T,使得對一切正整數〃成

立，則稱｛七｝是周期為T的周期數列.

⑴若a“=sin[&+M(其中正整數機為常數，“eN,”21),判斷數列｛"〃｝是否為周期數列，并說明理由；

Vm3)

(2)若a,M=a“+sin%5eN,"?l),判斷數列｛%｝是否為周期數列，并說明理由；

(3)設也』是無窮數列，已知。前=6"+sina"("eN,〃Nl).求證：“存在q,使得｛4｝是周期數列”的充要條件

是“｛a｝是周期數列”.

【變式5-2】.(2023?上海浦東新?模擬預測)設y=〃x)是定義在R上的奇函數.若y=0(x>0)是嚴格

X

減函數,則稱y=〃x)為“。函數”.

⑴分別判斷了=-%卜|和丫=$111￥是否為。函數，并說明理由；

(2)若y=是。函數，求正數。的取值范圍；

⑶已知奇函數y=*x)及其導函數y=P(x)定義域均為R.判斷"y=F'(x)在(0,+向上嚴格減”是

“丫=/(力為。函數”的什么條件，并說明理由.

【變式5-3].(24-25高三上?上海?期中)若定義在R上的函數y=/(x)和y=g(x)分別存在導函數尸(刀)和

g'(x).且對任意實數X,都存在常數鼠使_f(x)N都〈力成立,則稱函數y=f(x)是函數y=g(x)的“”控

制函數”，稱左為控制系數.

⑴求證：函數=2x是函數g(x)=sin龍的“2-控制函數”；

⑵若函數/(x)=rJ4/—12/-20x是函數g(x)=e，的""控制函數”，求控制系數4的取值范圍；

⑶若0(力=6*+屐-，，函數丁=4(%)為偶函數，函數y=p(x)是函數y=q(x)的“1-控制函數”，求證:“%=1”

的充要條件是“存在常數c,使得p(x)-q(x)=c恒成立”.

o-----------題型通關?沖高考-----------*>

一、解答題

1.(2023?上海嘉定?一模)對于函數y=/(X),把尸⑺稱為函數y=/(%)的一階導，令(⑴=g(x),則將g'(x)

稱為函數>=/(尤)的二階導，以此類推L得到〃階導.為了方便書寫，我們將w階導用"'(無)]“表示.

⑴己知函數/(x)=e'+〃lnx-尤2,寫出其二階導函數并討論其二階導函數單調性.

⑵現定義一個新的數列：在y=/(尤)取4=/⑴作為數列的首項，并將"'(1+")],，〃21作為數列的第〃+1項.

我們稱該數列為y=/(x)的，階導數列”

①若函數g(x)=x"數列｛%｝是、=8。)的，階導數列”，取Tw為｛%｝的前〃項積，求數列；聲|的

通項公式.

②在我們高中階段學過的初等函數中，是否有函數使得該函數的“階導數列”為嚴格減數列且為無窮數列，

請寫出它并證明此結論.(寫出一個即可)

2.(2024.上海寶山.一模)已知y=/(x),y=g(x)都是定義在實數集上的可導函數.對于正整數左，當相、九分

別是y=/(x)和y=g(x)的駐點時，記Ax=|"7-川，若AxV左，則稱/(x)和是X)滿足尸(?性質;當占、x2eR,

且g(X)Hg(X2)時，記Ay=,若AyNk,則稱f(x)和g(x)滿足。(外性質.

8(占)一8(々)

⑴若/(x)=2尤+1,g(x)=x,判斷f(x)和g(x)是否滿足。(2)性質，并說明理由；

⑵若/(x)=(x-l)2,g(x)=￥，且/(x)和g(x)滿足P⑴性質，求實數。的取值范圍；

e

(3)若y=/(x)的最小正周期為4,且g(-l)=/(-L),g(l)=y⑴.當xeT3］時,y=/(尤)的駐點與其兩側區間

的部分數據如下表所示：

X-1(-1,1)1(L3)3

/(x)0+0—0

y(x)極小值-1極大值1極小值-1

己知f(x)和g(x)滿足。(幻性質，請寫出/(x)=g(x)的充要條件，并說明理由.

3.(2024?上海奉賢.一模)若函數y=/(x)的圖象上存在七個不同點片、鳥、L、6(左N2,無eN)處的切線

重合，則稱該切線為函數y=/(x)的一條左點切線，該函數具有七點切線性質.

⑴判斷函數>=/-2忖，xeR的奇偶性并寫出它的一條2點切線方程(無需理由)；

⑵設〃句=/-1吟判斷函數y=f(力是否具有左點切線性質，并說明理由；

⑶設g(x)=cosx+2x,證明：對任意的meN,函數y=g(x)具有優點切線性質，并求出所有相應

的切線方程.

4.(2024.上海楊浦二模)函數y=〃x)、y=g(x)的定義域均為R,若對任意兩個不同的實數。，b,均

有/(a)+g(6)>0或〃6)+g(a)>0成立,則稱y=〃x)與y=g(x)為相關函數對.

⑴判斷函數/(X)=X+1與g(x)=-x+l是否為相關函數對，并說明理由；

⑵已知〃x)=e，與g(x)=r+左為相關函數對，求實數上的取值范圍；

⑶已知函數、=〃尤)與y=g("為相關函數對，且存在正實數對任意實數xeR,均有|〃x)歸M.求

證：存在實數〃%使得對任意xe(租,〃)，均有〃x)+g(x)N-+“

2

5.(2024?上海徐匯二模)已知各項均不為0的數列｛4｝滿足=an+lan+an+l(〃是正整數)，q=%=1,

n1

定義函數ynZXxXl+Ev;—(xNO),e是自然對數的底數.

(1)求證：數列［乎I是等差數列，并求數列｛%｝的通項公式；

(2)記函數y=g“(X),其中gn(x)=l-e-工(x).

⑴證明：對任意xNO,0<g3(x)</；(%)-/,(%)；

(ii)數列他,｝滿足2=21，設1為數列也｝的前“項和.數列｛瑁的極限的嚴格定義為:若存在一個常數T,

an

使得對任意給定的正實數M(不論它多么小)，總存在正整數機滿足：當心機時，恒有用-4<”成立，則

稱T為數列區｝的極限.試根據以上定義求出數列區｝的極限T.

熱點題型?解答題攻略

專題06解答壓軸題(五大題型)

*>-----------題型歸納?定方向----------<>

題型01新定義導數.............................................................................1

題型02導數在三角函數的應用..................................................................11

題型03導數與數列............................................................................16

題型04數列綜合..............................................................................28

題型05導數、數列與常用邏輯用語.............................................................33

-----------題型探析?明規律-----------o

【解題規律?提分快招】

3、同構法的三種基本模式：①乘積型，如ae"61nb可以同構成國y(1113*外進而構造函數於)=xe5②

、"hQah_.x一

比商型，如"〈記7可以同構成百?<而引進而構造函數五功=嬴；③和差型，如e"土。>b±lnb,同構后可以

構造函數fix)=或J(x)—x+lnx.

4、涉及函數的零點(方程的根)問題，主要利用導數確定函數的單調區間和極值點，根據函數零點的個數尋

找函數在給定區間的極值以及區間端點的函數值與0的關系，從而求得參數的取值范圍.

3、“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質，深刻挖掘內含條件，進行等價變換，常見的等價轉

換有

(1)VX1，X2^D,_/(Xl)>g(X2)=/(X)min>g(X)max.

(2)VX1G,3X2G。2,/Ul)>g(X2)=/(X)min>g(X)min.

(3)3X1GDl,VX2G。2，/Ul)>g(X2)=/(X)max>g(X)max.

4、數列與函數、不等式的綜合問題關鍵在于通過函數關系尋找數列的遞推關系，求出數列的通項或前n項

和，再利用數列或數列對應的函數解決最值、范圍問題，通過放縮進行不等式的證明.

題型01新定義導數

【典例1-1】.(2023.上海黃浦?二模)三個互不相同的函數y=/(x),y=g(x)與y=/7(x)在區間￡(上恒有

〃x)N/z(x)Ng(x)或恒有/(%)</?(%)<§(%),則稱y=〃(x)為y=〃x)與y=g(x)在區間。上的“分割函

⑴設4(x)=4X,/Z2(X)=X+1,試分別判斷y="(x)，＞=4(x)是否是y=+2與y=-*+4尤在區間

(e,母)上的，，分割函數，，，請說明理由；

⑵求所有的二次函數、=加+5+1(?關0)(用。表示c,d),使得該函數是y=2d+2與y=4x在區間

(-co,-K0)上的“分割函數”；

(3)若[m,n]^[-2,2],且存在實數％,6,使得y=履+6為y=/-4/與y=4尤?一16在區間上的“分割函

數，，，求〃一機的最大值.

【答案】(1)y="(X)是y=2必+2與y=-%2+4x在(-℃,+oo)上的“分割函數”；

了="(0不是>=2》2+2與〉=-%2+以在(-8,+8)上的"分割函數”；

(2)y=ax2+(4—2a)x+a(0<a<2)；

(3)273.

【分析】(1)根據題意可得當xe(』+8)時2犬+216*+4恒成立，結合“分割函數”的定義依次判斷,

即可求解；

(2)根據“分割函數”的性質，貝|2/+22依2+小+我4%對一切實數x恒成立，由導數的幾何意義和恒成立

可得(2-a)。-1)220且〃。-1)22。對一切實數苫恒成立，結合圖形即可求解；

(3)利用導數求出函數>-4尤2的極值，則尢=(4--8,)也=4〃一3八，作出其函數與函數y=41-16的圖

象，設直線y=履+6與y=4/-16的圖象交于點(%,%),區，％)，利用代數法求出弦長回一馬|vJ-+16+b0

V16

=Vi3-7s2+85+16(S=/e[2,4]),結合導數研究函數Ms)=$3-7s?+8s+16的性質即可求解.

【解析】(1)因為2-+2—4》=20—1)220恒成立，且4工一(-尤2+4》)=》220恒成立，

所以當xe(9,+8)時，2^2+2>4X>+4x恒成立，

故y=4(x)是y=2f+2與y=-d+4x在(-℃,+℃)上的“分害U函數”.

又因為彳+1-(-4+4幻=丁-3工+1,當尤=0與1時，其值分別為1與-1,

所以為(乃>-公+4彳與似在(一<?,+8)上都不恒成立，

故>=似用不是y=2/+2與y=-d+4x在(一℃,+8)上的“分割函數”.

(2)設y=a?+ex+d(a片0)是y=2/+2與y=4尤在(-co,+oo)上的“分割函數,

則2/+22??+cx+424x對一切實數x恒成立，由(2尤2+2)'=4x,

當x=l時，它的值為4,可知y=21+2的圖象在x=l處的切線為直線y=4x,

它也是y=a^+cx+"的圖象在x=l處的切線，

2a+c=4c=4-2a,

所以可得

a+c+d=4-d—a.

所以2x2+2><2x2+(4-2a)x+?>4x對一切實數x恒成立,

即(2-a)(x—Ip之0且?%—1了之0對一切實數％恒成立，

可得2—々之0且a>0,BP0<a<2,

又a=2時y=依2+(4-2“)x+a與y=2.x2+2為相同函數，不合題意,

故所求的函數為y=ax2+(4-2o)x+a(0<a<2).

(3)關于函數y=/-4Y,令y，=4V一函=0,可得x=O,±0,

當xe(_._&)與xe(。，魚)時,y'<0；當尤e(-&,。)與xe("+oo)時,y'>0.

可知土及是函數V=d一4f極小值點，0是極大值點，

該函數與y=4f-16的圖象如圖所示.

由y=履+6為y=/-4/與y=4/-16在區間⑶,上的"分割函數”，

故存在均使得6V%且直線y=辰+%與y=/-4/的圖象相切，

并且切點橫坐標匹[-2,-拒]U[A/2,2],此時切線方程為y=(4戶-8少+4/一夕",

即1=(4戶-8。也=4/-3/,

設直線>=依+6與y=4f_i6的圖象交于點(占,%),(々，必)，

y=kx+b,

則由.1,可得_點_16_6=0,

y=4x2-16

哈+16+b求+16+%

I2

所以占-%\=y](,xl+x2)-4XYX2=

=7(f3-27)2+16+4z2-3?4=〃一7/+8產+16=G-7s?+8s+16G=/e[2,4]),

令MS)=$3—7S?+8S+16(se[2,4]),

k'(s)=3s2-14s+8=(3i-2)(s-4)V0(僅當s=4時，S⑸=0),

所以％(s)嚴格減，故％(s)的最大值為左⑵=12，可知皿-三|的最大值為庇=2也,

所以"-"2的最大值為2也.

【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去

解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.對于此題中的新概

念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”

不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.

【典例1-2】.(2024-2025?上海高三?專題練習)若函數/(X)在區間/上有定義，且Vxe/,則

稱/是的一個'封閉區間”.

⑴己知函數/(x)=x+sinx,區間/=[0,r](r>0)且/(x)的一個“封閉區間”,求r的取值集合；

(2)已知函數8(》)=111(天+1)+/3,設集合P={x|g(x)=x}.

(i)求集合P中元素的個數；

(ii)用6-a表示區間[。/](。<切的長度，設機為集合戶中的最大元素.證明：存在唯一長度為機的閉區

間。，使得。是g(x)的一個“封閉區間”.

【答案】⑴[(2"1)兀,2E]仕eN*)

⑵(i)2；(ii)證明見解析

【分析】(1)根據“封閉區間”的定義，對函數/(H=x+sinx求導并求出其值域解不等式可得「的取值集合；

3

(2)(i)對〃(尤)=ln(x+l)+ad-元(x>-l)求導得出函數〃(x)的單調性，利用零點存在定理即可求得集合

P中元素的個數為2個；

(ii)根據區間長度的定義，對參數。進行分類討論得出g(x)的所有可能的“封閉區間”即可得出證明.

【解析】(1)由題意，Vxe[O,r],/(^)e[O,r],

???廣(x)=1+cosx“恒成立,所以“X)在[0,r]上單調遞增,

可得了(x)的值域為[0,r+sinr],

因此只需[0,廠+sinr]c[0,r],

即可得r+sinrVr,BPsinr<0(r>0),

則廠的取值集合為[國一1)兀,2E]ueN*).

3

(2)(i)記函數/2(%)=8(％)-1=111(%+1)+^%3-%(%>-1),

22

IQ4+9x(x+l)-4(x+l)9x(%+1)-4%M3X+4)(3X-1)

貝！Jhf(x)=——+-x2-l=

v7x+144(7+1)4(7+1)4(.x+l)I)

由〃(力>0得一1<彳<0或彳>；由"(x)<0得0<x<g；

所以函數Mx)在(-1,0)和上單調遞增，在[。,上單調遞減.

其中欠0)=0,因此當xe(TO)U(O,J時，人(#<0,不存在零點；

由M》)在(0,j單調遞減，易知〃〃⑼=0,而Ml)=ln2-;>0,

由零點存在定理可知存在唯一的5e]使得〃(毛)=°；

當xe(l,+?O時，”(力>0,不存在零點.

綜上所述，函數可力有。和為兩個零點，即集合尸中元素的個數為2.

(ii)由⑴得加=/，假設長度為，"的閉區間。=|?,。+即是g(尤)的一個“封閉區間,

則對Vxe[a,a+Xo],g(<x)&[a,a+x0],

當-l<a<0時，由⑴得/z(x)在(TO)單調遞增，

.,./z(fl)=g(o)-a</z(0)=0,即g(a)<a,不滿足要求;

當°>0時，由⑴得/z(x)在小,—)單調遞增，

."./2(tZ+^))=g(tZ+Xo)-(?+Xo)>/2(Xo)=O,

即g(a+Xo)>a+Xo,也不滿足要求；

當a=0時，閉區間。=[0,x0],而g(x)顯然在單調遞增，

.1.g(O)<g(x)<g(xo),

由⑴可得g(0)=〃(0)+0=0,g(Xo)=/z(Xo)+/=%,

.'.g(x)e[O,xo]=D,滿足要求.

綜上，存在唯一的長度為加的閉區間。=[0,何，使得￡>是g(x)的一個“封閉區間”.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于理解“封閉區間”的定義，結合導函數判斷出各函數的單調性和對應的單

調區間，再結合區間長度的定義分類討論即可得出結論.

【變式1-1].(23-24高三下.上海浦東新?階段練習)設函數y=〃x)的定義域為開區間/,若存在不",

使得y=〃x)在彳=不處的切線/與y=的圖像只有唯一的公共點，則稱y=〃x)為“乙函數”，切線/為

一條“L切線”.

⑴判斷y=x-l是否是函數y=的一條“切線”，并說明理由；

(2)設g(x)=e2—6x,求證：y=g(x)存在無窮多條“切線”;

⑶設/(x)=^+蘇+l(O<x<c)，求證：對任意實數。和正數c，,=/(可都是“乙函數”

【答案】(1)是，理由見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)記/(力=3，設切點為卬山石)，利用導數的幾何意義求出玉，再證明直線y=尤-1與/(x)=lnx

的圖象只有唯一的公共點，將y=x-l與函數y=lnx聯立，得lnx-x+l=0,記〃(x)=lnx-x+l,利用導數

說明函數的單調性，即可得到方程的解.

(2)將點(%送(%2))處的切線/的方程與y=g(x)聯立得g(x)-g(無2)=8'(%乂%-%2)，記

/z(x)=g(x)-gfxj)-g'G)"-9),利用導數說明函數方(x)存在唯一零點馬，即可得證；

(3)類似第(2)問的思路得到(%-毛)2(犬+2/+4)=0在(O,c)上有且僅有一解4,貝I]/=-2%-。€(。,0或

"e(O,c)再分。20、”0兩種情況說明即可.

[一2%0_Qg(0,c)

【解析】(1)記/(x)=lnx,則尸(x)=1,設切點為(％,In玉)，

由切線方程為y=xT知/(玉)=1,則一=1,解得玉=L

玉

所以切點為(1,0),下面證明直線y=x-l與/(x)=lnx的圖象只有唯一的公共點，

將y=x-l與函數y=lnx聯立，得lnx-x+l=0.

記”(x)=lnx-x+l,則w'(x)=L-l,

當xe(0,1)時〃(龍)>0,當xe(L+0°)時?，(%)<0,

故“(X)在(0,1)上單調遞增,在(1,+oo)上單調遞減,〃(力厘=項)=0,

故函數"(x)=ln%T+l只有一個零點x=l,故y=x-l是一條“L切線”；

(2)因為g(x)=e2'-6x,所以g'(x)=2e2，-6,

則點色⑼%))處的切線/方程為y-gNAg'C^Xx-Z)，

將點(々送(％))處的切線/的方程與y=g(x)聯立得g(x)-g(x2)=g'(x2Xx-X2)，

記/i(x)=g(x)—g?)—g'G)(x-蒼),

則直線/為“L切線”O函數Mx)有且僅有一個零點馬(此時，一個X?對應一條“切線”)，顯然X2是Mx)的

零點，

故只要五(無)沒其它零點,此時〃(x)=g'(x)-零(巧六?工一野馬,

當％<12時，/7'(X)<O，當X>Z時，〃(X)>O,

則/?(%)在(F,赴)上單調遞減，在,W)上單調遞增，

故此時苫2為/i(x)唯一的極小值點(也是最小值點)，而/2(々)=0,

故網力無其他零點，故直線/為“L切線”，因為々的任意性，

故函數y=g(尤)存在無窮多條“L切線”，

(3)因為/'(x)=J+依?+1(無w(0,c)),貝l|/(x)=3d+26，

設點。(%,%)在函數y=〃x)的圖象上，

則點。的切線為/：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),與y=〃x)聯立得：

/(x)-/(x0)=r(x0)(x-x0)

<=>(d+依2-—^2^)=(3年+2ox0)(x—x0)

0(龍一/)(九2+/1+/+ax+ax^=(3XQ+2OX0)(X—X0)

22

^(^X-XQ^X+X0X-2XQ+ax-axo)=O<^>(x-xo)(x+2xo+<7)=O(*),

由題意得直線l為“七切線”，故方程(*)在(0,c)上有且僅有一解與,

則-—阻0?或仁；2(M，

若a?0,則5e(O,c)是方程(*)的唯一解(此時有無數條“刀切線”，切點橫坐標為(0?上的任意值).

a

c>——

若。<0,貝43(此時只有一條“刀切線”，切點的橫坐標為-￡)

卜。=-§a3

0<c<~—.、

或3(此時有無數條“L切線”，切點橫坐標為(0,c)上的任意值)，

X。6(0,C)

綜上，oeR,即證.

【點睛】關鍵點睛：對于新定義問題的關鍵是理解定義，將問題轉化為方程有唯一解問題.

【變式1-2】.(2024?上海嘉定?一模)設A為非空集合，函數/(x)的定義域為。.若存在不€。使得對任意

的均有則稱/(%)為函數/(X)的一個A值，％為相應的A值點.

(1)若4=[-2,0],〃力=豆1?.證明：與=2船+；私丘2是函數〃%)的一個人值點，并寫出相應的A值；

⑵若A=[0,+力)J(x)=-x,g⑺=d+x+1.分別判斷函數〃x)、g⑺是否存在A值？若存在，求出相應的

A值點；若不存在，說明理由；

(3)若A=(-oo,0],且函數/("=11^+依2(。€2存在人值，求函數〃x)的A值，并指出相應的A值點.

【答案】(1)證明見解析，1為相應的A值；

⑵/(》)不存在A值，理由見解析，g(x)存在A值，毛=-)是相應的A值點；

(3)A值為InJ-----」，A值點為J-；.

2a2V2a

【分析】(1)根據正弦函數的值域和A值的定義即可證明；

(2)計算/(x)-/(尤0)=-5+2)-(-0)=-2e4即可判斷〃力，對g(x)取尤o=-g,再利用A值的定義

即可判斷；

(3)分析得函數的A值即為最大值，A值點即最大值點，再利用導數求出其最大值和最大值點即可.

【解析】(1)函數〃x)=sinx的定義域為R.對飛=2左；r+；萬/eZ,以及任意xeR,

由/(x)-/(%o)=sinx-l及-lWsinxWND/(X)-/(x())e[-2,O],

即/(%)-/(A-0)eA,所以%=2左萬+1?萬，左eZ是函數